第三節(jié)合理推理與演繹推理一、填空題1.推理“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”錯誤的原因是________．2.(2011·江蘇海安高級中學(xué)模擬)公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中，Sn是{an}的前n項和，則數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，且公差為100d，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有________．3.(2011·江蘇宿遷模擬)無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，如：0.eq\o(1,\s\up6(·))，0.eq\o(23,\s\up6(··))，0.eq\o(456,\s\up6(···))，…觀察0.eq\o(1,\s\up6(·))＝eq\f(1,9)，0.eq\o(2,\s\up6(·))＝eq\f(2,9)，0.eq\o(3,\s\up6(·))＝eq\f(1,3)，…，則可歸納出0.eq\o(23,\s\up6(··))＝________.4.觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)2個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，由此可以歸納出n個點可以連成________條弦．5.下列幾種推理形式是演繹推理的是________．①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝π；②由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)；③某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測高三各班都超過50人；④在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)由此歸納出數(shù)列{an}的通項公式．6.(2011·江蘇鹽城模擬)由“若直角三角形兩直角邊的長分別為a，b，將其補成一個矩形，則根據(jù)矩形的對角線長可求得該直角三角形外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)”.對于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球半徑為R＝________.7.(2011·江蘇徐州模擬)已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為R(定值)，分別按圖(1)、圖(2)作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖(1)作出的矩形面積的最大值為eq\f(1,2)R2tanα，則按圖(2)作出的矩形面積的最大值為________．8.(創(chuàng)新題)若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋2,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)＝k(k為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列{an}是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中a1＝1，a2＝2，則a2011＝______.二、解答題9.觀察下列等式，歸納出一個一般性的結(jié)論，并且驗證結(jié)論的真假．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝eq\f(3,2)；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝eq\f(3,2)；sin215°＋sin275°＋sin2135°＝eq\f(3,2).10.(2011·廣東東莞五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)＋ax，x∈(0，＋∞)(a為實常數(shù))．(1)當(dāng)a＝0時，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．11.(2010·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD＝PD＝2MA.(1)求證：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．參考答案8.21005解析：根據(jù)給定的新定義得數(shù)列{an}的前幾項為：1,2,2,4,4,8,8,16,16，…，歸納得該數(shù)列的奇數(shù)項為an＝2eq\f(n－1,2)，所以a2011＝21005.9.觀察所給等式中的三個角依次構(gòu)成以60°為公差的等差數(shù)列，所以可以歸納出一般性的結(jié)論為：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).證明：左邊＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝eq\f(3,2)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(3,2)＝右邊，即該一般性結(jié)論是真命題．10.(1)a＝0時，f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，f′(x)＝eq\f(x－1,x2)，當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0，∴f(x)min＝f(1)＝1.(2)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＋a＝eq\f(ax2＋x－1,x2).當(dāng)a≥0時，ax2＋x－1在[2，＋∞)上恒大于零，即f′(x)＞0，符合要求；當(dāng)a＜0時，令g(x)＝ax2＋x－1，g(x)在[2，＋∞)上只能恒小于或等于零．故Δ＝1＋4a＜0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4a＝0，,g2≤0，,－\f(1,2a)≤2，))解得a≤－eq\f(1,4).∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪[0，＋∞)．11.(1)證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥DC.又∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，因為G、F分別為PB、PC的中點，∴GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(2)因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA＝1，則PD＝AD＝2，∴VP-ABCD＝eq\