----第十四 穩(wěn)定狀態(tài)模 微分方程穩(wěn)定性理論(x,t) 1稱一個常微分方程（組）是自治的，如果方程（組f1(x,

fN(t)中的F(x,t)F(x)，即在F中不含時間變量ty，G(y)事實上，如果增補一t程，一個

可以轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，就是說，如 F(x,1s，則方程（1） G(y)的相定義2以(x1,Lxn)為坐標(biāo)的空間Rn2空間R

dxF( nn{(x1,Lxn)|xixi(t)滿足2),i1,L

x0稱為系統(tǒng)（2）的奇點（或平衡點）dy(t)cx當(dāng)ad bc0時，有 續(xù)的奇點的集合。當(dāng)ad bc0時，(0,0)是這個系統(tǒng)的fi定理 設(shè)F(x)是實解xj，且x0系統(tǒng)（2）的奇點。若F(x)在點x0處Jacobian

J(x0) lim|x(t x| lim|x(t x|0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的， （i）x000| x0|，則| x0|對所有的t都成立tt是說x0是穩(wěn)定的。另一方面，如果當(dāng)t 時這些軌線趨于x0，則x0是漸近穩(wěn)定的。定義5一個奇點不是穩(wěn)定的，則稱這個奇點是不穩(wěn)定的。定理2設(shè)xx(t)是系統(tǒng)（3）的通解。則如果系統(tǒng)（3）的系數(shù)矩陣A的一切特征根的實部都是負(fù)的，則系統(tǒng)（3）的A的特征根中至少有一個根的實部是正的，則系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)如果A的一切特征根的實部都不是正的，但有零實部，則系統(tǒng)（3）的零解2告訴我們：系統(tǒng)（3）的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是A的一切特征根的穩(wěn)定性。為克服這一，在奇點附近用一個線性系統(tǒng)來近似這個非線性系統(tǒng)，用這個Taylor公式，可將Fx)展開成FxAxO(|x|)，其定義6 設(shè)x0是系Taylor公式，可將Fx)展開成FxAxO(|x|)，其nFx)x0x的某鄰域內(nèi)n1A

xnMLdx A A 的行列式detA0的條件下，可知是abcddet( I)（特征根）4設(shè)線性系統(tǒng)（3）2pq其中p(ad)，q bc。設(shè)1和2是它的根，則當(dāng)q0時關(guān)于奇點（i）120，O（ii）120，O是穩(wěn)定結(jié)點120，O120，O是不穩(wěn)定結(jié)點102，O1,2i,0，O1,2i,0，O定理x定理dyaxby(x,中的和滿足條件 limlim0，（rx2y2）

在點

0r r的奇點O的類型相同，并有相同的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性。 資源有限的生x()rx(1環(huán)境對種群的繁衍，生長有抑制作用，而且這一作用與魚群記時刻t漁場中魚量為x(t)，我們可以得到x(t)LogisticxN N0)/N其中r是固有增長率，N是環(huán)境容許的最大魚量。由分離變量法求得方程（6）x(t) （6）式有兩個平衡點，即x10，x2N，其中x1是不穩(wěn)定的，x2在正半軸內(nèi)全局設(shè)單位時間的捕撈量與漁場魚量x(t)成正比，比例系數(shù)k表示單位時間捕撈率，k可以進一步分解為kqE，E稱為捕撈強度，用可以控制的參數(shù)如出海漁船數(shù)來度量；q稱為捕撈系數(shù)，表示單位強度下的捕撈率。為方便取q1，于是單位時間的捕撈量為h(xEx(t)。h(x)常數(shù)，表示一個特定的捕撈策略，即要求捕魚者每天只能捕x&(t)

x NScheafer希望知道漁場的穩(wěn)定魚量和保持穩(wěn)定的條件，即時間t足夠長以后漁場魚量x(t)x10，x2NE

0，方程（7）)。顯然，它r在Er的情況下，x2是一正平衡點。（7）x&(t)

x( x2 易知，當(dāng)0xx2時，x&(t0；xx2時，x&(t)0，即平衡解x1x2是穩(wěn)定平衡解。即在捕撈強度Er的情況下，漁場魚量將穩(wěn)定在x2的水平，因此產(chǎn)量（單位時間的捕撈量）也將穩(wěn)定在Ex2的水平，即此時可獲得持續(xù)收獲量。x()N益”可理解為產(chǎn)量hEx(t)hmaxmax約束條件為rx(t N

Ex(t0這里它可以歸結(jié)為E的二次函數(shù)h(E) E)的最大值問題。簡單的推導(dǎo)r難得到最大持續(xù)捕撈強度為Emax

r，最大持續(xù)產(chǎn)量為hmax

。捕撈強度Emax銷售單價為常數(shù)p，單位捕撈強度（如每條出海漁船）的費用為常數(shù)c，那么單位時間的收入T和支出S分別為Tph(x)pEx，SR S hE穩(wěn)定在xx2N

r)的約束條件下的RmaxR(E) E r的最大值。容易求出使RE)Emaxr xmax 2 22 xmaxc2rN chmaxrxmax

) pRmax c的增長而變大，隨著p的增長而變小，這顯然是符合實際情況的。規(guī)律。記x1(tx2(t)r1,r2是它們的固有增長率，N1N2是它們的)其中，因子(1

x&(t)r1x1 1N1而言單位數(shù)量的甲消耗的食物量（1）。當(dāng)兩個種群在同理地在因子

)1N1x&1(t)r1x1 N N

)1的意義是，單位數(shù)量乙（N2而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（)N1）1倍，類似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應(yīng)x&2(t)r2x2 N N2

1121可作相應(yīng)的理解。一1,21,2相互獨立的情形。目的是研究兩個種群相互競爭的結(jié)局，即t 時，x1(t),x2(t)的趨向，不必要f(x1,x2)r1x1 1N)(x,x)rx

) N N

N1 1)N2 2

11 2

1 1得到四個平衡點分別為PN1,0)，P2(0N2)，P3

04(為分析這些點的穩(wěn)定性，需使用相空間的技巧。首先找出在x1x2平面上使x&i(t 12或x&i(t)0(i1,2)的區(qū)域。注意到，當(dāng)r1 12N N使x10和x&1(t0 x1

122類似地x&1(t0 N Nx1x2平面中,

x10 N N 2 2把平面劃分為x&1(t0x&1(t0兩個區(qū)域。類似地x2進行分析得x&2(t0

x2

2 x&2(t0 N1N

N N

將x1x2平面劃分為x&2(t)0和x&2(t)0兩直線（12）和（13）1（i）11,211（b）x10,x20)S1:x&1(t)0,x&2(t)S2:x&1(t)0,x&2(t)S3:x&1(t)0,x&2(t)

可以說明不論軌線從哪個區(qū)域出發(fā)，t時都將趨向P1N1,0)。若軌線從S1發(fā)，由（14）式可知隨著t的增加軌線向右上方運動，必然進入S2；若軌線從S2出發(fā)，由（15）P1點，或者進入S3，但進入S3t1經(jīng)直線（12）式進入S3，則x&1(t10，由式（9）（10）不難看出1&x&(t) N1

x1(t)x&

(t1由式（15）、（16）知x&2(t10，故&x&1(t10，表明x1(t1)在t1達到極小值，而這是不可能的，因為在S2中x&1(t)0，即x1(t1)一直是增加的。若軌線從S3出發(fā)，由（16）式可知軌線向左下方運動，那么它或者趨向P1點，或者進入S2，而進入S2后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向P1。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因為直線（12）式上dx10，所以在（12）式上軌線方向垂直于x軸；在（13）式上dx20，軌線方向平行于x1軸。圖11,21，類似的分析可知P2(0N)11,21，P311,21，P3不穩(wěn)定（鞍點）因為軌線的初始位置不同，其也不同或趨于P1或趨于P2。根據(jù)建模過程1,2的含義，可以說明P1,P2P311,21：11意味著在對供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲，21意即x1(tx2(t)趨向平衡點P1(N1,0)11,2111,21：因為在競爭甲的資源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較弱，P311,21 VolterraD'Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中1914～1923年期間，意大利阜姆港收購的家V.Volterra，希望建立一個食餌—捕食者系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個問題。表年 為建立這樣的模型，我們分別用x1(t)和x2(t)記食餌和捕食者在時刻t的數(shù)量。因為大海中魚類的資源豐富，可以假設(shè)如果食餌獨立生存則食餌將以增長率r1按指數(shù)規(guī)律x&1(tr1x1(t)者數(shù)量成正比，于是x1(t)x&1(t)x1 1x2 捕食者離開食餌無法生存，若設(shè)它獨自存在時率為r2，即x&2(t)r2x2(t)，成正比，于是x2(t)x&2(t)x2(r22x12

關(guān)系，是Volterra最簡單的模型。這個模型沒有引入競爭項。

r2研究x1(t),x2(t)的變化規(guī)律。容易得到方程（17）和（18）的平衡點為P1(0,0),P2 P1(0,0)x1(tC1ert，x2(t)0和x1(t)0，x2C2ert。因此，x1軸和x2dx1r1)

tt0都保持在第一象限內(nèi)。當(dāng)x1x2(x1rex)(x2rex)c c是任意常數(shù)。因此，方程（17），（18）的軌線是由式（20）定義的曲線族，我們來證引理和

當(dāng)x1,x20時，方程（20）定義了一組封閉曲線。我們首先來確定當(dāng)x1,x20時函數(shù)2若它們的極大值分別mm，則不難確定x1、x2滿圖 (x10)m，x10

2

21）和（22）與（19）式比較可知(x1,2

，將式顯然，僅當(dāng)（20）式右端常數(shù)cmm 正是平衡點P2，所以P2是相軌線的點 cmm時(c0)軌線的形狀，我們只需考慮cm的情況，其中0m。首先注意到：方程x1rex具有一個解x1x'1x10和另一個解x1x''1x10。因此，當(dāng)x1x'1或x1x''1時，方程x1

x2x1x'1x1x1x2x2大的解總是大于x2。當(dāng)x1趨于x'1或x1，x2x1)和x2x1)都趨向于x2。因此0(12()8（0 x1x2是正數(shù)時，由（20） 和（18）的具有初始條件x1(0)0，x2(0)0的所有的解x1(t)，x2(t)都是時間的周期函數(shù)。也就是說，（17）和（18）的具有初始條件x1(0)0，x2(0)0的每一個解x1(t)，x2(t)都具有這樣的性質(zhì)：x1(tTx1(t)，x2(tT)x2(t)，其中T圖把這些數(shù)據(jù)同方程組（17）和（18）的結(jié)果進行比較，對于（17）和（18）x1(t)x2(t)，須算出x1(t)和x2(t)的“平均值”。值得注意的是，即使還沒有準(zhǔn)確地))這時，xx，xx。換句話說，x(t)和x(t)的平均值是平2設(shè)x1這時，xx，xx。換句話說，x(t)和x(t)的平均值是平 x1

1 1T 0 0x1(t)dtT 證明把（17）的兩端除以

1

1x2 1T

Tx&10x1

dtln

(T ln

(0)--- T0r1dtr1 1 01x2(t)dt于是，x2

。類似地，把（18）的兩端除以Tx2(t)，由0到T積分，我們得到x1

x1減少，而2(t)x2(22x1率2(r2)x22