第一章，二次曲線簡(jiǎn)介(12學(xué)時(shí))這一章討論用一般方程給出的二次曲線，在適當(dāng)選取的坐標(biāo)系中可以把它們的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，從而達(dá)到判斷一般方程所表示的曲線的類(lèi)型與位置的目的。§1.1平面直角坐標(biāo)變換平面上的一般坐標(biāo)變換可以看成是平移與旋轉(zhuǎn)兩種變換連續(xù)進(jìn)行的結(jié)果。因此下面先分別介紹這兩種變換，再研究一般的坐標(biāo)變換。1.1.1平移y'設(shè)Oxy和oxy是同一個(gè)平面上的兩個(gè)直角坐標(biāo)系，它xO'(x,y)(x,y)們的軸的方向和度量單位相同，只是原點(diǎn)位置不同(圖1.1)，那么平面上任意一點(diǎn)P在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)(x,y)和在坐標(biāo)系Ofxfyf中的坐標(biāo)y'xO'(x,y)(x,y)yO圖1.1設(shè)。'在Oxy中的坐標(biāo)為(x°,yO圖1.1x=x'+x,0(1.1.1)y=y+y0這就是將原點(diǎn)O平移到O'(xo,yo)的坐標(biāo)變換，其中(x,y)和(x',y')分別是平面上同一點(diǎn)P在舊坐標(biāo)系Oxy和新坐標(biāo)系Ofxfyf中的坐標(biāo)。這種坐標(biāo)變換叫做平移。如果用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)，那么有x，=x-x,0(1.1.2)y=y—y0(1.1.1)和(1.1.2)都是平移公式。例1用平移化簡(jiǎn)x2-2x-4y+9=0，并畫(huà)出它的圖形。解原方程可以移項(xiàng)、配方成(x-12=務(wù)(-2)將原點(diǎn)o移到O'(1,2)，即作平移：Jx'=x-1[y，=y-2

那么，在新坐標(biāo)系。了礦中，方程簡(jiǎn)化成/2=4礦。這是一條開(kāi)口向上，焦參數(shù)為2的拋物線，如圖1.2。圖1.2圖1.21.1.2旋轉(zhuǎn)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)。不動(dòng)，將坐標(biāo)系的兩條軸同時(shí)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度0得到一個(gè)新的坐標(biāo)系Oxryr（圖1.3），那么平面上任意一點(diǎn)P的新、舊坐標(biāo)之間的關(guān)系又如何呢？如圖1.3所示，有（x=OM=1OPIcosZMOP=1OPIcos（甲+0）[y=MP=IOPIsinZMOP=IOPIsin（甲+0）利用兩角和的三角展開(kāi)式，我們有Jx=IOPIcos甲cos0-1OPIcos甲sin0[y=IOPIcos甲sin0+1OPIsin甲cos0但X=OM'=IOPIcos中，y'=MP=IOPIsin中，以此代入上面兩個(gè)展開(kāi)式中，即得（1.1.3）x=Xcos0—y'sin0y=xsin0+y'（1.1.3）這就是轉(zhuǎn)角為0的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式，其中（x,y）和（x‘,y'）分別是平面上同一點(diǎn)P在舊坐標(biāo)系Oxy和新坐標(biāo)系Oxryr中的坐標(biāo)。如果用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)，那么從（1.3）中解出x,y'，則得到（1.1.4）x=xcos0+ysin0y'=—xsin0+y（1.1.4）（1.1.3）和（1.1.4）都是旋轉(zhuǎn)公式。例2把坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)45°，求曲線xy=8在新坐標(biāo)系中的方程。解因?yàn)閟in45°=cos45°=,v2代入所給的方程即得x馬d，）化簡(jiǎn)后就是X‘2-"2=16，這是一條等軸雙曲線。1.1.3一般坐標(biāo)變換我們現(xiàn)在來(lái)討論一般坐標(biāo)變換。設(shè)平面上有坐標(biāo)系Oxy代入所給的方程即得x馬d，）化簡(jiǎn)后就是X‘2-"2=16，這是一條等軸雙曲線。1.1.3一般坐標(biāo)變換我們現(xiàn)在來(lái)討論一般坐標(biāo)變換。設(shè)平面上有坐標(biāo)系Oxy，以平面另外一點(diǎn)O'為原點(diǎn)建立一個(gè)新的坐標(biāo)系O'xV，這個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向與舊坐標(biāo)系的方向成。角。那么這兩個(gè)坐標(biāo)系可以通過(guò)兩步變換得到，先將坐標(biāo)系Oxy的原點(diǎn)平移到O'得到一個(gè)坐標(biāo)系O'x’y，再將這個(gè)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)。角得到坐標(biāo)系O'x'y'。假設(shè)O'在舊坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)為O'（x°,y0），平面上任意一點(diǎn)P依次在Oxy、O'xy"、O'xy'中的坐標(biāo)為（x，y）、（x",y。、（x‘,y'），那么有Ix=x"+xIy=y〃+yV0x"=x'cos0—y'sin0

y〃=x'sin0+y'cos0從上面兩組公式中消去x",y〃，則得到x=x'cos0—y'sin0+x0y=x'sin0+y'cos0+y0(1.1.5)如果要用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)，從（1.1.5）中解出x',，則得到x'=(x—x)cos0+(y—y)ysin0

y'=—(x—x)sin0+(y—y)cos0(1.1.6)例3將坐標(biāo)系Oxy平移到點(diǎn)O'（-1,2），再旋轉(zhuǎn)45°，寫(xiě)出新舊坐標(biāo)之間的變換公式。解由（1.1.5）式，有x=x'cos45°—y'sin45°—1

y=x'sin45°+y'cos45°+2尤=g(5)-1

y=-^(x'+y')+2由(1.1.6)有11

x=*x+y)-芷1,「、3y=T2(-x+y)一毛習(xí)題1.1在坐標(biāo)系平移后，舊坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(2,-1)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為P(-2,1)，求新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。將坐標(biāo)系Oxy旋轉(zhuǎn)30°得到新坐標(biāo)系Ox'y'，求舊坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(1,2)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；新坐標(biāo)系中的點(diǎn)N(3,-2)在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。橢圓的兩焦點(diǎn)為F(2,5),F(2,-1)，長(zhǎng)半軸為5,求這橢圓的方程。12雙曲線的兩焦點(diǎn)為匕(-2,3)￡(-2,-7)，一個(gè)頂點(diǎn)為(-2,1)，求它的方程。3、拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1)，焦點(diǎn)為F(2,-彳)，求它的方程。求雙曲線16x2—9y2-32x-18y-137=0的漸近線方程?！?.2二次曲線方程在坐標(biāo)變換下系數(shù)的變化在中學(xué)學(xué)習(xí)的二次曲線方程是不含交叉項(xiàng)的二元二次方程ax2+ay2+2ax+2ay+a=022132333含有交叉項(xiàng)的二次曲線方程的一般形式為F(x,y)=ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a=0(1.2.1)1222132333記:

'x.'aaa)111213X=y,X'=(x,y,1),A=aaa2122231\L)H1a32a33J這里%=%;i,j=1,2,3;ioj，那么方程（1.7）可以利用矩陣運(yùn)算的特征改寫(xiě)成(x,y,i)'a(x,y,i)'a11a21〔a'31a12a22a32a13]a23a)33即XAX=0(1?2?D本節(jié)我們討論坐標(biāo)變換對(duì)一般二元二次方程系數(shù)的變化規(guī)律。1.2.1一般二次曲線方程在坐標(biāo)平移下系數(shù)的變化將坐標(biāo)平移公式（1.1.1）代入（1.2.1）a(x'+x)2+2a(x'+x)(y'+y)+a(y'+y)2+2a(xf+x)+2a(y'+y)+aTOC\o"1-5"\h\z110120022013023033展開(kāi)整理得：ax'2+2ax'y'+ay'2111222+2(ax+ay)x'+2(ax+ay)y'(1)110120120220+(ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a)=0110120022013023033并記展開(kāi)整理后對(duì)應(yīng)于(1.2.1)的方程為ax2+2a‘xfyf+ay2+2ax+wy‘+a=0(1.2.1)111222132333與(1)式比較得：_一一,_a—a,a—a,a—a9a=ax+ay+aJ1311012013(1.2.2)TOC\o"1-5"\h\za'=ax+ay+a2312022023a=ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a33110120022013023033這說(shuō)明坐標(biāo)平移不會(huì)改變二次項(xiàng)的系數(shù)。所以不能通過(guò)坐標(biāo)平移消去二次曲線方程的交叉項(xiàng)。利用二元函數(shù)的偏微分形式，(1.2.2)還可以表示成：(9一一'~—a11=“11，a12=a12，a22=a22(1?2?2')a'=1F(x,y)132x00<a'=1F'(x,y)232y00a'=F(x(1?2?2')顯然，如果線性方程組ax+ay+a=0\11012013(1.2.3)ax+ay+a=0022023

有唯一解（七,七），將原點(diǎn)移到（七,七），可以使方程不含一次項(xiàng)。這時(shí)，二次曲線有唯一的對(duì)稱中心。利用線性方程組的知識(shí)，我們知道方程組1.2.3）有唯一解的充要條件是系數(shù)行列式"ua2i=aa-a2更0（1.2.4）aaii2212因此（1.2.4）是判斷一個(gè)二次曲線方程是否有對(duì)稱中心的判別條件。1.2.2一般二次曲線方程在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下系數(shù)的變化將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式（1.1.3）代入（1.2.1）a（xrcos。一y'sin6）2+2a（xfcos。一yrsin0）（xfsin0+yrcos0）+a（x'sin0+yrcos8）2+2a（Xcos0-yfsin0）+2a（x'sin0+y'cos0）+a=0展開(kāi)整理得：（a.cos20+2a.sin0cos0+asin20）x'2+2[-（a_-a）sin0cos0+a^（cos20-sin20）]x'y'（＞）+（asin20-2asin0cos0+acos20）y'233（1?2?1勺+2（acos0+asin0）x'+2（-asin0+acos33（1?2?1勺仍然記展開(kāi)整理后對(duì)應(yīng)于（1.2.1）的方程為ax'2+2a‘xy+ay2+2ax+2ay+a=0TOC\o"1-5"\h\z111222132333與（2）式比較得：a=acos20+2asin0cos0+asin2011111222（1.2.5）a=-（a-a）sin0cos0+a^（cos20-sin20）a'=asin20-2asin0cos0+acos20522111222a'=acos0+asin0a'=-asin0+acos0231323a=a33（1.2.5）這說(shuō)明坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變常數(shù)項(xiàng)，同時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)的改變只與二次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，一次項(xiàng)系數(shù)的改變只與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)。利用三角變換，（1.2.3）可以改寫(xiě)成：af=1(a+a)+1(a-a)cos20+asin20TOC\o"1-5"\h\z211222112212.1，…f_a=——(a-a)sin20+acos202112212<ar=1(a+a)一1(a-a)cos20-acos20(1*2，5)22211222112212a'=acos0+asin0132323a'=-asin0+acos09_a=a333323顯然，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角0滿足：a-a22cot20=F22（1.2.6）222a12時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的新方程不含交叉項(xiàng)，所以只有通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)才能消去二次方程的交叉項(xiàng)。利用二倍角公式（1.2.6）可以改寫(xiě)成：tan20+^h~^22tan0-1=0（1.2.6，）a12旋轉(zhuǎn)角0滿足（1.2.6）的旋轉(zhuǎn)變換，稱為二次曲線的主軸變換。在主軸變換下，新方程的二次項(xiàng)系數(shù)變成：af=a+atan0=acot0+a1111121222a'=0(1.2.7)12IIa'=a一atan0=-acot0+a22221212一次項(xiàng)系數(shù)滿足:II(1.2.8)a‘2=(acos0+asin0)2

af2=(acos0-asin0(1.2.8)習(xí)題1.2判斷下列二次曲線方程是否是中心型曲線，如果是，求出對(duì)稱中心：（1）x2+6xy+y2+6x+2y一1=0；（2）3x2—2xy+3y2+4x+4y一4=0（3）x2一4xy+4y2+2x一2y一1=0旋轉(zhuǎn)角取多大時(shí)，可以消去下列方程的交叉項(xiàng)?（1）x2—6xy+9y2—12x+14y一7=0；x2+xy+y2+2x+3y-3=05x2一3xy+y2一3x+2y一5=03、證明(1.2.8)§1.3二次曲線方程的化簡(jiǎn)1.3.1中心型曲線的化簡(jiǎn)通過(guò)1.2.1的學(xué)習(xí)，我們知道，當(dāng)aa2^-a了0時(shí)，二次曲線方程(1.2.1)F(x,y)=ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a=0111222132333是中心型曲線。對(duì)于中心型曲線，通過(guò)先平移后旋轉(zhuǎn)的順序要比先旋轉(zhuǎn)后平移的順序簡(jiǎn)單一些。具體步驟是：第一步，先解方程組ax+ay+a=0Z11012013(1.2.3)ax+ay+a=0TOC\o"1-5"\h\z12022023求出曲線的中心(x0,y0)，第二步，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到中心(x0,y0)處，，由于平移不會(huì)改變二次項(xiàng)的系數(shù)，因此得到一個(gè)不含一次項(xiàng)的二次曲線方程：\o"CurrentDocument"ax2+2axy+ay'2+a'=0(1)11122233其中a；3=F(x0,y0)。第三步，利用(1.2.6)確定旋轉(zhuǎn)角o，消去(1)式的交叉項(xiàng)，得到方程：ax,r2+ay‘‘2+a=0(2)112233其中d=a+atano，a'=a一atano，a'=F(x,y)1111122222123300例3化簡(jiǎn)方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并作出它的圖形。解由于a11a22-a2=10-16主0，所以曲線是中心型曲線，先解方程組：J5x+2y-12=0[2x+2y-6=0得中心坐標(biāo)為(2,1)，作坐標(biāo)平移：x'=x-2,y'=y-1

此時(shí)F(2,1)=20+8+2-48-12+18=-12所以平移后的方程為：5x'2+4x，'+2y'2-12=0其次，由于cot29=%~紜=—,此時(shí)2tan20+3tan0-2=0,解之得tan0=-氣42(tan9(tan9=-2舍去)于是sin0=—L,cos0=v541.3.2非中心型曲線的化簡(jiǎn)64當(dāng)氣.〃-a2=0時(shí)，方程組（1.2.3）沒(méi)有唯一解，這時(shí)二次曲線是非中心型曲線。對(duì)于非中心型曲線，化簡(jiǎn)的步驟就要先旋轉(zhuǎn)、后平移才相對(duì)簡(jiǎn)單。具體步驟是：第一步：利用（1.2.6）確定旋轉(zhuǎn)角0，消去（1.2.1）式的交叉項(xiàng)，由于曲線是非中心型曲線，利用（1.2.6'），選取適當(dāng)?shù)?，使新方程不含＞'2（或矽2）得到方程:a'xf2+2afx'+2a'yf+a=0(a'yf2+2afx'+2afyf+a=0或(3)TOC\o"1-5"\h\z1113233322132333其中a'=a+atan0，af=a一atan0111112222212a'2=(acos0+asin0)2,a'2=(acos0一asin0)2。1323232313第二步，對(duì)(3)式配方成為a'(X+h)2+2a'(yr+k)=0(或a'(yf+k)2+2a'(X+h)=0)的形式，再作平11232213

移:移:X〃=X'+h,yn=y+k就可以將方程（1.2.1）標(biāo)準(zhǔn)化為a'x‘‘2+2a'y〃=0（或a'y‘‘2+2a'x''=0）。11232213例4化簡(jiǎn)方程9x2-24xy+16y2+20x+15y-50=0,并作出它的圖形。解由于七氣2-氣=9X16-122=0，所以曲線是非中心型曲線。利用（梭6）得:cot2cot20=9-16_7-24-24即12tan20+7tan0-12=0解之得于是作旋轉(zhuǎn)a解之得于是作旋轉(zhuǎn)a3°4…tai?=—（tan0=-舍去）

4334sin0=,cos0=，554x'一3y'x'+4x=,y=55代入9x2-24xy+16y2+20x+15y一50=0得:9f空空）2-24竺上坦丑也:+16f丑宜fI5）55[5）+20^+15^^-50=055展開(kāi)整理得：y'2+x'-2=0再作平移x〃=x'-2,y"=y'得y〃2+x"=0圖1.6

習(xí)題1.3圖1.6化簡(jiǎn)下列二次曲線方程，并作出其圖像：x2+4xy+4y2-20x+10y一50=08x2+12xy+17y2+20,‘‘5y+20=06xy+8y2-12x一26y+11=040x2+36xy+25y2-8x一14y+1=06xy+8y2-12x一26y+11=0x2+2xy+y2—8x+4=0§1.4二次曲線方程類(lèi)型的判定1.4.1二次曲線的不變量對(duì)于二次曲線方程（1.2.1'）（XAX=0），它完全由系數(shù)矩陣'a11a21a12a22a'a11a21a12a22aa13]a23a.33(a^=a/i,j=1,2,3;i，j)I=a+a,I111222a=11a21a12,I=a322a11a21a31a12a22a23a13a23a33卜J=a112a31a13+a33a22a32a23a33JIa、3132唯一確定。這個(gè)矩陣是對(duì)稱矩陣?，F(xiàn)用它的元素引進(jìn)下列記號(hào):(1.4.1)容易驗(yàn)證，七與J2還可以寫(xiě)成:I=aI一aa2—aa2+2aaa333211232213121323I（142）J=aI-a-aJ利用這些量構(gòu)造一個(gè)方程：人2-1\+12=0（1.4.3）對(duì)于給定的二次曲線方程（1.2.1），有時(shí)我們并不想通過(guò)繁瑣的坐標(biāo)變換來(lái)尋求其標(biāo)準(zhǔn)方程，而是想知道它的圖形形狀。那么，能否直接根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行判斷與運(yùn)算呢？

答案是肯定的。TOC\o"1-5"\h\z首先，我們來(lái)觀察在坐標(biāo)平移下，I,I,I的變化特點(diǎn)。123由于坐標(biāo)平移不會(huì)改變二次項(xiàng)系數(shù)，所以，I和12都是平移不變量。其次，在坐標(biāo)平移下，(1.2.1)的系數(shù)矩陣的行列式變成aaa'111213I'=aaa'3212223a!a'a'313233其中ar=ax+ay+a,13110120其中ar=ax+ay+a,1311012013af=ax23120+ay+a，ar=F(x,y)220233300將行列式的第一列、第二列分別乘以-七、-y°后都加到第三列，由于-a'x-a!y130230x,y)=ax+ay+a，0013023033aaa111213I'=aaa3212223aaax+ay3132130230這時(shí)+a33再將后面一個(gè)行列式的第一、第二行分別乘以-%、-y加到第三行，那么aaa111213If=aaa3212223aaa313233=I3從而I3也是平移不變量。即I,I,I都是坐標(biāo)平移不變量。123其次，再來(lái)看坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的情形。對(duì)于(1.2.5')，1，，a=-(a+a1121122a'=-2(a_-a)sin20+a.cos20a'=1(a+a)一—(a一a)cos20-asin2022211222112212)+-(a-a)cos20+asin202112212將首尾兩個(gè)等式相加，即得a+a=a!+a'，所以I是旋轉(zhuǎn)不變量。112211221同時(shí)a9a'1122(a+aa-a-h22+22cos20+asin20"2212Ya+aa一a9a'1122(a+aa-a-h22+22cos20+asin20"2212Ya+aa一a-.Q—h22——h22cos20-asin20212)a2=12(a+a、11o22I2(a-a)22I2a一acos220-a2sin220-2a11>22sin20cos202a一asin220-a2sin220-&11>22sin20cos20+aa(a一a、2._a一a.t22Isin220-2at22sin20cos20+a2cos22012212于是a'a'一a'2=-a2sin220一a2cos220+aa11221212121122=a11a22-a122所以I=aa-a=I即12也是旋轉(zhuǎn)不變量。由此立即得到方程（1.4.3）的解也是坐標(biāo)變換不變量。這個(gè)方程的根叫做二次曲線（1.2.1）的特征根。"教學(xué)時(shí)限和篇幅，七的旋轉(zhuǎn)不變性這里就不證明了，留給讀者自己證明。所以我們有定理1.4.1二次曲線（L2』）叫,/2，13和特征根都是坐標(biāo)變換不變量。下面我們?cè)?2=13=0的條件下來(lái)討論J2在坐標(biāo)變換下的性質(zhì)。首先，在主軸變換下，由（129）及a33,《的旋轉(zhuǎn)不變性，得J'=aI-a‘2—a‘2=aI-(acos0+asin0)2-(acos0-asin。)22331132333113232313=aI一a一a=J所以J2是主軸變換不變量。其次，當(dāng)方程（1.2.1）經(jīng)過(guò)主軸變換后，得到a'X2+a'yf2+2a'xf+2afyf+a=0(1.2.1)11221323332由于/2=/3=0，所以方程O(píng).2.1'的平方項(xiàng)不能同時(shí)出現(xiàn)（否則曲線是中心型，那么有00的矛盾），不失一般性，不妨設(shè)《=0。由于13=13=0，所以I=-a'a!2=0=a1=03221313即方程（1.2.1）2成為：00a，a=+22a230aa332333此時(shí)JJ2a22=aa-a'2223323方程（1.2.1）2可以配方成:y2+2a'y'+a=0(1.2.1)23332a.aa—a2a(y2+23)2+223323=022aaa作坐標(biāo)平移:方程（1.2.1）2化成x=x,y〃=y+a3,22作坐標(biāo)平移:方程（1.2.1）2化成此時(shí)J=2即j=r22a此時(shí)J=2即j=r22ay%+a"=0,22330-ffa33a+2200-ffa33a”=財(cái)33一a?33a22=aaf2=aaa—a2=j22132233232所以，當(dāng)12=13=0時(shí)，J所以，當(dāng)12=13=0時(shí)，最后，由于12—41=（a+a）2—4（aa—a）=（a—a）2+4a>0，所以二121122112212112212次曲線（1.2.1）的特征方程（1.4.3）人2—1\+12=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。1.4.2用不變量確定二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程同一條曲線在不同的坐標(biāo)系中有不同的方程，對(duì)二次曲線來(lái)說(shuō)，這表現(xiàn)為它們方程系數(shù)的不同。而這些不同的方程既然要表示同一條曲線，那么它們的系數(shù)就應(yīng)該有某些共同特點(diǎn)，也就是它們的系數(shù)應(yīng)該有某些不因?yàn)樽鴺?biāo)變換而改變的共同的東西。由于12-41=（a+a）2—4（aa—a）=（a—a）2+4a>0，所以二次曲線121122112212112212（1.2.1）的特征方程（1.4.3）人2—!\+12=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。即定理1.4.2：二次曲線（1.2.1）的特征方程人2—〈人+12=0（1.4.3）一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根有了不變量及特征根做基礎(chǔ)，我們就可以用來(lái)解決二次曲線（1.2.1）的標(biāo)準(zhǔn)方程用不變量表示的問(wèn)題了。定理1.4.3二次曲線（1.2.1）的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換后，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以用不變量給出如下：1）當(dāng)12壬0時(shí)，曲線是中心型（橢圓或雙曲線型）曲線，曲線方程是：人X'2+人y'2+車(chē)=0（1.4.4）12/22）當(dāng)12=0,I女0時(shí)，曲線是非退化的拋物線型，曲線方程是:(1.4.5)3)當(dāng)13)當(dāng)12=13=0時(shí)，曲線是退化的拋物線型（一對(duì)平行或重合的直線），曲線方程是:2)當(dāng)12=0,I3。0時(shí)3)當(dāng)I=I=0時(shí)X100I'=300X2)當(dāng)12=0,I3。0時(shí)3)當(dāng)I=I=0時(shí)X100I'=300X200IX22=XX12I2I3=I3，顯然有I'=0+I=I,1'=I'=30000I1000JI-121112(1.4.6)證明我們只需證明1.4.4）、（1.4.5）、（1.4.6）在各自的前提條件下與（1.2.1）的不變量和半不變量相同即可。1）