第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場1主要內容電流密度J（重點）電流連續(xù)性原理恒定電流場的基本方程（重點）歐姆定律、焦耳定律的微分形式恒定電流場的邊界條件靜電比擬法（難點）學習目的掌握恒定電流場與靜電場的區(qū)別和聯(lián)系掌握電流密度J的定義及物理意義，其與電流強度I的關系利用恒定電流場的本構關系和靜電場基本知識求解恒定電流場問題：接地電阻、漏電電導等。主要內容電流密度J（重點）學習目的掌握恒定電流場與靜電場的區(qū)2一.電流密度

電流的分類

傳導電流：

導體中的自由電子或者電解液中的離子在電場作用下定向運動形成的電流。運流電流：

電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。

恒定電流：電荷是運動的，但是任意點的電荷分布不隨時間而變化。由恒定電流形成的電場稱為恒定電場。一.電流密度電流的分類傳導電流：3電流強度：單位時間內穿過某一截面的電荷量，又簡稱為電流，以I表示，單位為A（安培）。因此，電流I與電荷q的關系為

電流密度：是一個矢量，以J

表示。電流密度的方向為正電荷的運動方向，其大小為單位時間內垂直穿過單位面積的電荷量。那么，穿過任一截面S的電流I為此式表明，穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的通量。S電流強度：單位時間內穿過某一截面的電荷量，又簡4如下圖所示，△t時間內通過截面△S的電量為垂直通過橫截面的電流I為則電流密度J為如下圖所示，△t時間內通過截面△S的電量為垂直通過橫截面的電5電流I與電流密度J的關系：（1）J為體電流密度，且為I的偏導；I為J的積分。（2）I描述導線內總電流的強弱，J描述導線內某點的電流強弱。電流I與電流密度J的關系：6二.電流連續(xù)性原理

電荷守恒定律：電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到另一部分；在轉移的過程中，電荷的總量保持不變。二.電流連續(xù)性原理電荷守恒定律：7由電荷守恒定律知：通過任意封閉曲面S流出的電流等于以S為邊界的體積V內單位時間減少的電荷量。即根據(jù)高斯定理，求得電流連續(xù)性原理的積分形式電流連續(xù)性原理的微分形式由電荷守恒定律知：通過任意封閉曲面S流出的電8已知恒定電流場中的電荷分布與時間無關，即，由此得此式表明，在恒定電流場中電流線是連續(xù)閉合的。恒定電流場是無散場。已知恒定電流場中的電荷分布與時間無關，即9三.歐姆定律的微分形式由歐姆定律積分形式：由于對于橫截面均勻的導體代入歐姆定律積分形式可得：在外源的作用下，大多數(shù)導電媒質中某點的傳導電流密度J

與該點的電場強度E

成正比，即式中

稱為電導率，其單位為S/m。值愈大表明導電能力愈強。歐姆定律的微分形式三.歐姆定律的微分形式由歐姆定律積分形式：由于對于橫截面均10電導率為無限大的導體稱為理想導電體。電導率為零的媒質，不具有導電能力，這種媒質稱為理想介質。媒質電導率(S/m)媒質電導率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠常用材料的電導率電導率為無限大的導體稱為理想導電體。11四.恒定電流場的基本方程恒定電流場的環(huán)路定理與靜電場相同由歸納恒定電流場的基本方程如下：與靜電場的討論類似，由可引入恒定電場的電位函數(shù)

微分形式積分形式四.恒定電流場的基本方程恒定電流場的環(huán)路定理與靜電場相同由12五.恒定電流場的邊界條件nh由電流連續(xù)性方程得出或導電媒質中恒定電流場的邊界條件為五.恒定電流場的邊界條件nh由電流連續(xù)性方程13由環(huán)路定理得出或恒定電流場電流密度的切向分量滿足由此可見，在兩種導電媒質的邊界上，電流密度矢量的切向分量是不連續(xù)的，但其法向分量連續(xù)。由環(huán)路定理得出或恒定電流14可以推導得出電位滿足的邊界條件為夾角滿足的邊界條件為推論：

若其中一種導電媒質為良導體時，電力線在分界面處近似與界面平行，而在不良導體中，電力線近似與界面垂直?？梢酝茖У贸鲭娢粷M足的邊界條件為夾角15六.恒定電流場的能量損耗設在恒定電流場中，沿電流方向取一個長度為dl，端面為dS的小圓柱體，如圖所示。若在電場力作用下，dt時間內有dq電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場力作的功為電場損失的功率P為dlJdSdt焦耳定律的微分形式那么，單位體積中的功率損失即熱功率密度為六.恒定電流場的能量損耗設在恒定電流16設圓柱體兩端的電位差為U，則，又知，那么單位體積中的功率損失可表示為可見，圓柱體中的總功率損失為dlUJdS設圓柱體兩端的電位差為U，則17對比內容靜電場(無電荷分布)恒定電場對偶量基本方程邊界條件積分量本構關系七.恒定電流場與靜電場的比擬對比內容靜電場恒定電場對偶量基本方程邊界條件積分量本構關系七18根據(jù)這種類似性，當某一特定的靜電問題的解已知時，與其對應的恒定電流場的解可以通過對偶量的代換直接得出；或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可通過對偶量的代換來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬法。根據(jù)這種類似性，當某一特定的靜電問題的解已知時，與19例如，已知面積為S，間距為d的平板電容器的電容，若填充的非理想介質的電導率為

，則平板電容器極板間的漏電導為又知單位長度內同軸線的電容。那么，若同軸線的填充介質具有的電導率為，則單位長度內同軸線的漏電導例如，已知面積為S，間距為d的平板電20【例1】同軸線內外導體半徑分別為a和b,其間填充介質的電導率為，內外導體間的電壓為U。求：①同軸線單位長度的漏電電導；②同軸線單位長度的功率損耗?！窘滩睦?-1】【解】：設同軸線由內到外導體單位長度的漏電流為，則在半徑為r處的電流密度大小為同軸線單位長度的漏電電導為由于故同軸線單位長度的功率損耗為【例1】同軸線內外導體半徑分別為a和b,其間填充介質的電導【21【例2】一半球形接地金屬球，半徑為a,大地電導率為，求接地電阻?！窘滩睦?-3】【解】：方法一：利用公式

設接地電流為，則大地中的電流密度為大地中的場強為接地電阻表面的電位接地電阻為【例2】一半球形接地金屬球，半徑為a,大地電導率為，22方法二：利用靜電比擬法C→G→R設金屬球帶電量為q，由高斯定理得金屬球的表面電位為金屬球與地的電容為由靜電比擬法可得漏電電導為接地電阻為方法二：利用靜電比擬法C→G→R設金屬球帶電量為q，23【例3】已知一平板電容器由兩層非理想介質串聯(lián)構成，如圖示。其介電常數(shù)分別為1和2，電導率分別為1和2，厚度分別為d1和d2。當外加恒定電壓為U時，試求（1）兩層介質中的電場強度；（2）單位體積中的電場儲能及功率損耗。（3）介質分界面上的自由電荷密度。

1

1

2

2d1d2U【解】（1）由于電容器外不存在電流，可以認為電容器中的電流線與邊界垂直，由邊界條件又由此求出兩種介質中的電場強度分別為

得【例3】已知一平板電容器由兩層非理想介質串聯(lián)構成，如圖示。24由于（3）由邊界條件介質分界面上的自由電荷（2）兩種介質中電場儲能密度分別為兩種介質中單位體積的功率損耗分別為

由于（3）由邊界條件介質分界面上的自25內容小結電流密度電流連續(xù)性原理由歐姆定律微分形式：恒定電流場的基本方程微分形式積分形式恒定電場的邊界條件為內容小結電流密度電流連續(xù)性原理由歐姆定律微分26焦耳定律微分形式積分形式恒定電流場與靜電場的靜電比擬法中的對偶量焦耳定律微分形式積分形式恒定電流場與靜電場的靜電比擬法中的對27作業(yè)：P843-1、3-2、3-3作業(yè)：P843-1、3-2、3-328第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場29主要內容電流密度J（重點）電流連續(xù)性原理恒定電流場的基本方程（重點）歐姆定律、焦耳定律的微分形式恒定電流場的邊界條件靜電比擬法（難點）學習目的掌握恒定電流場與靜電場的區(qū)別和聯(lián)系掌握電流密度J的定義及物理意義，其與電流強度I的關系利用恒定電流場的本構關系和靜電場基本知識求解恒定電流場問題：接地電阻、漏電電導等。主要內容電流密度J（重點）學習目的掌握恒定電流場與靜電場的區(qū)30一.電流密度

電流的分類

傳導電流：

導體中的自由電子或者電解液中的離子在電場作用下定向運動形成的電流。運流電流：

電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。

恒定電流：電荷是運動的，但是任意點的電荷分布不隨時間而變化。由恒定電流形成的電場稱為恒定電場。一.電流密度電流的分類傳導電流：31電流強度：單位時間內穿過某一截面的電荷量，又簡稱為電流，以I表示，單位為A（安培）。因此，電流I與電荷q的關系為

電流密度：是一個矢量，以J

表示。電流密度的方向為正電荷的運動方向，其大小為單位時間內垂直穿過單位面積的電荷量。那么，穿過任一截面S的電流I為此式表明，穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的通量。S電流強度：單位時間內穿過某一截面的電荷量，又簡32如下圖所示，△t時間內通過截面△S的電量為垂直通過橫截面的電流I為則電流密度J為如下圖所示，△t時間內通過截面△S的電量為垂直通過橫截面的電33電流I與電流密度J的關系：（1）J為體電流密度，且為I的偏導；I為J的積分。（2）I描述導線內總電流的強弱，J描述導線內某點的電流強弱。電流I與電流密度J的關系：34二.電流連續(xù)性原理

電荷守恒定律：電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到另一部分；在轉移的過程中，電荷的總量保持不變。二.電流連續(xù)性原理電荷守恒定律：35由電荷守恒定律知：通過任意封閉曲面S流出的電流等于以S為邊界的體積V內單位時間減少的電荷量。即根據(jù)高斯定理，求得電流連續(xù)性原理的積分形式電流連續(xù)性原理的微分形式由電荷守恒定律知：通過任意封閉曲面S流出的電36已知恒定電流場中的電荷分布與時間無關，即，由此得此式表明，在恒定電流場中電流線是連續(xù)閉合的。恒定電流場是無散場。已知恒定電流場中的電荷分布與時間無關，即37三.歐姆定律的微分形式由歐姆定律積分形式：由于對于橫截面均勻的導體代入歐姆定律積分形式可得：在外源的作用下，大多數(shù)導電媒質中某點的傳導電流密度J

與該點的電場強度E

成正比，即式中

稱為電導率，其單位為S/m。值愈大表明導電能力愈強。歐姆定律的微分形式三.歐姆定律的微分形式由歐姆定律積分形式：由于對于橫截面均38電導率為無限大的導體稱為理想導電體。電導率為零的媒質，不具有導電能力，這種媒質稱為理想介質。媒質電導率(S/m)媒質電導率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠常用材料的電導率電導率為無限大的導體稱為理想導電體。39四.恒定電流場的基本方程恒定電流場的環(huán)路定理與靜電場相同由歸納恒定電流場的基本方程如下：與靜電場的討論類似，由可引入恒定電場的電位函數(shù)

微分形式積分形式四.恒定電流場的基本方程恒定電流場的環(huán)路定理與靜電場相同由40五.恒定電流場的邊界條件nh由電流連續(xù)性方程得出或導電媒質中恒定電流場的邊界條件為五.恒定電流場的邊界條件nh由電流連續(xù)性方程41由環(huán)路定理得出或恒定電流場電流密度的切向分量滿足由此可見，在兩種導電媒質的邊界上，電流密度矢量的切向分量是不連續(xù)的，但其法向分量連續(xù)。由環(huán)路定理得出或恒定電流42可以推導得出電位滿足的邊界條件為夾角滿足的邊界條件為推論：

若其中一種導電媒質為良導體時，電力線在分界面處近似與界面平行，而在不良導體中，電力線近似與界面垂直?？梢酝茖У贸鲭娢粷M足的邊界條件為夾角43六.恒定電流場的能量損耗設在恒定電流場中，沿電流方向取一個長度為dl，端面為dS的小圓柱體，如圖所示。若在電場力作用下，dt時間內有dq電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場力作的功為電場損失的功率P為dlJdSdt焦耳定律的微分形式那么，單位體積中的功率損失即熱功率密度為六.恒定電流場的能量損耗設在恒定電流44設圓柱體兩端的電位差為U，則，又知，那么單位體積中的功率損失可表示為可見，圓柱體中的總功率損失為dlUJdS設圓柱體兩端的電位差為U，則45對比內容靜電場(無電荷分布)恒定電場對偶量基本方程邊界條件積分量本構關系七.恒定電流場與靜電場的比擬對比內容靜電場恒定電場對偶量基本方程邊界條件積分量本構關系七46根據(jù)這種類似性，當某一特定的靜電問題的解已知時，與其對應的恒定電流場的解可以通過對偶量的代換直接得出；或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可通過對偶量的代換來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬法。根據(jù)這種類似性，當某一特定的靜電問題的解已知時，與47例如，已知面積為S，間距為d的平板電容器的電容，若填充的非理想介質的電導率為

，則平板電容器極板間的漏電導為又知單位長度內同軸線的電容。那么，若同軸線的填充介質具有的電導率為，則單位長度內同軸線的漏電導例如，已知面積為S，間距為d的平板電48【例1】同軸線內外導體半徑分別為a和b,其間填充介質的電導率為，內外導體間的電壓為U。求：①同軸線單位長度的漏電電導；②同軸線單位長度的功率損耗?！窘滩睦?-1】【解】：設同軸線由內到外導體單位長度的漏電流為，則在半徑為r處的電流密度大小為同軸線單位長度的漏電電導為由于故同軸線單位長度的功率損耗為【例1】同軸線內外導體半徑分別為a和b,其間填充介質的電導【49【例2】一半球形接地金屬球，半徑為a,大地電導率為，求接地電阻?！窘滩睦?-3】【解】：方法一：利用公式