學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3。1直線的傾斜角與斜率3。1。1傾斜角與斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解直線的斜率和傾斜角的概念。2。理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3。了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.知識點(diǎn)一直線的傾斜角思考1在平面直角坐標(biāo)系中，只知道直線上的一點(diǎn)，能不能確定一條直線呢?答案不能.思考2在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)P的四條直線如圖所示,每條直線與x軸的相對傾斜程度是否相同？答案不同。梳理(1)傾斜角的定義①當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.（2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°。（3)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角,二者缺一不可.知識點(diǎn)二直線的斜率與傾斜角的關(guān)系（1）直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα。(2)斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角（范圍）α＝0°0°<α<90°α＝90°90°〈α〈180°斜率（范圍)k＝0k>0不存在k<0知識點(diǎn)三過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1）,P2（x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1，x2－x1)。1.任一直線都有傾斜角，都存在斜率。（×)2。若直線的傾斜角為α,則0°≤α≤180°。(×)3。若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率k＝tanα。（×）類型一直線的傾斜角例1（1）設(shè)直線l過原點(diǎn),其傾斜角為α,將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°,得直線l1，則直線l1的傾斜角為(）A.α＋40°B.α－140°C。140°－αD.當(dāng)0°≤α〈140°時(shí)，為α＋40°;當(dāng)140°≤α〈180°時(shí)，為α－140°考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合求傾斜角答案D解析因?yàn)?°≤α〈180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意。通過畫圖(如圖所示）可知,當(dāng)0°≤α<140°時(shí),如圖①所示，l1的傾斜角為α＋40°；當(dāng)140°≤α〈180°時(shí),如圖②所示,l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.故選D。(2）已知直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A.0°≤α<90° B.90°≤α〈180°C。90°〈α<180° D.0°<α〈180°考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合求傾斜角答案C解析直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°,又直線l經(jīng)過第二、四象限,所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°〈α<180°。反思與感悟(1)解答本類題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答.（2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角,有時(shí)要根據(jù)情況分類討論。跟蹤訓(xùn)練1已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°,則直線l的傾斜角為。考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合求傾斜角答案60°或120°解析有兩種情況：①如圖(1），直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖（2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°。類型二直線的斜率例2經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在,求其斜率，并確定直線的傾斜角α.（1)A（2,3），B(4，5）；（2)C（－2，3），D(2，－1)；（3）P（－3,1)，Q（－3,10)?？键c(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)由斜率公式計(jì)算斜率解(1）存在.直線AB的斜率kAB＝eq\f（5－3，4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α〈180°，所以傾斜角α＝45°。(2)存在。直線CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2）＝－1,即tanα＝－1，又0°≤α〈180°，所以傾斜角α＝135°。(3)不存在.因?yàn)閤P＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，所以傾斜角α＝90°。反思與感悟（1)利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)①運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí),斜率是不存在的;②斜率公式與兩點(diǎn)P1,P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2,y1與y2可以同時(shí)交換位置.(2)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記。傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3)，3)1eq\r(3)－eq\r(3）－1－eq\f（\r(3)，3)跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為（）A.eq\r(3)B。－eq\r(3）C.eq\f(\r（3)，3）D.－eq\f（\r（3）,3)考點(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案A（2)已知過A（3，1)，B(m，－2）的直線的斜率為1，則m的值為?？键c(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)由斜率公式計(jì)算斜率答案0類型三直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用eq\x(命題角度1三點(diǎn)共線問題）例3如果三點(diǎn)A（2，1），B（－2，m），C(6，8）在同一條直線上，求m的值?？键c(diǎn)三點(diǎn)共線題點(diǎn)三點(diǎn)共線求參數(shù)的值解kAB＝eq\f(m－1，－2－2）＝eq\f（1－m,4）,kAC＝eq\f(8－1，6－2)＝eq\f（7,4)，∵A，B,C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kAC，即eq\f（1－m,4)＝eq\f(7，4），∴m＝－6。反思與感悟斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的。直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即同一直線上任何不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等可證點(diǎn)共線的原因.跟蹤訓(xùn)練3如果Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2m,\f（5,2））），B(4，－1）,C（－4，－m）三點(diǎn)在同一條直線上，試確定常數(shù)m的值．考點(diǎn)三點(diǎn)共線題點(diǎn)三點(diǎn)共線求參數(shù)的值解由于A，B，C三點(diǎn)所在直線不可能垂直于x軸，因此可設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB,kBC.由斜率公式，得kAB＝eq\f（\f（5,2)＋1,2m－4)＝eq\f(7，4m－8），kBC＝eq\f(－1＋m，4＋4)＝eq\f（m－1，8）。∵點(diǎn)A,B，C在同一條直線上，∴kAB＝kBC?！鄀q\f(7，4m－8）＝eq\f（m－1，8)，即m2－3m－12＝0,解得m1＝eq\f（3＋\r（57)，2)，m2＝eq\f(3－\r（57），2)?！鄊的值是eq\f（3＋\r（57)，2)或eq\f（3－\r(57),2).eq\x（命題角度2數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍)例4直線l過點(diǎn)P（1,0），且與以A（2，1)，B（0，eq\r（3）)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍.考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角和斜率關(guān)系的其他應(yīng)用解如圖所示.∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1,kBP＝eq\f(\r(3）－0，0－1）＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r（3)]∪[1，＋∞），∴45°≤α≤120°.反思與感悟(1)由傾斜角（或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα（α≠90°）解決.(2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f（y2－y1,x2－x1）(x1≠x2）求解.(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合及公式求解.跟蹤訓(xùn)練4已知A(3，3），B（－4,2),C(0,－2).若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn)）移動(dòng)，求直線AD的斜率的變化范圍?？键c(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角和斜率關(guān)系的其他應(yīng)用解如圖所示.當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC.由已知得，kAB＝eq\f（2－3,－4－3)＝eq\f(1,7），kAC＝eq\f(3＋2,3－0)＝eq\f（5，3)，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,7），\f(5，3)））.1.對于下列說法：①若α是直線l的傾斜角,則0°≤α<180°；②若k是直線的斜率,則k∈R；③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角.其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C。3D。4考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)直線傾斜角概念的理解答案C解析①②③正確.2．若經(jīng)過A（m,3），B（1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于（）A．2B．1C．－1D．－2考點(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案A解析由題意知，tan45°＝eq\f(2－3，1－m)，得m＝2.3.若三點(diǎn)A(2,3），B（3,2），Ceq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），m））共線，則實(shí)數(shù)m的值為?？键c(diǎn)三點(diǎn)共線題點(diǎn)三點(diǎn)共線求參數(shù)的值答案eq\f（9，2）解析設(shè)直線AB,BC的斜率分別為kAB，kBC，則由斜率公式，得kAB＝eq\f（3－2,2－3）＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1,2）－3）＝－eq\f（2，5）（m－2)?！逜,B，C三點(diǎn)共線,∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f（2，5)（m－2),解得m＝eq\f（9,2）.4.經(jīng)過A(m，3)，B（1，2）兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是。(其中m≥1)考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角和斜率關(guān)系的其他應(yīng)用答案(0°，90°]解析當(dāng)m＝1時(shí),傾斜角α＝90°；當(dāng)m〉1時(shí)，tanα＝eq\f(3－2，m－1)〉0，∴0°〈α〈90°.故0°<α≤90°。5.已知點(diǎn)A(1，2），在坐標(biāo)軸上，求一點(diǎn)P使直線PA的傾斜角為60°?？键c(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角和斜率關(guān)系的其他應(yīng)用解①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a,0)，因?yàn)锳（1，2），所以kPA＝eq\f(0－2,a－1）＝－eq\f(2，a－1）。又因?yàn)橹本€PA的傾斜角為60°，所以tan60°＝－eq\f（2,a－1），解得a＝1－eq\f(2\r(3),3）.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（2\r（3）,3）,0）)。②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(0，b)。同理可得b＝2－eq\r(3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2－eq\r(3)).綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2－eq\r（3）)或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（2\r（3)，3),0)）.直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度,二者緊密相連，如下表：直線情況平行于x軸垂直于x軸α的大小0°0°〈α〈90°90°90°<α<180°k的范圍0k>0不存在k〈0k的增減情況k隨α的增大而增大k隨α的增大而增大一、選擇題1。若直線過坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)（1，2)，(4，2＋eq\r（3）)，則此直線的傾斜角是()A。30°B。45°C。60°D。90°考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案A解析由題意知k＝eq\f（2＋\r（3)－2，4－1)＝eq\f(\r（3),3），∴直線的傾斜角為30°.2。已知直線l的斜率的絕對值為eq\r（3)，則直線l的傾斜角為（)A.60° B。30°C。60°或120° D.30°或150°考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案C解析由題意知|tanα｜＝eq\r（3）,即tanα＝eq\r(3）或tanα＝－eq\r（3）,∴直線l的傾斜角為60°或120°。3．已知經(jīng)過點(diǎn)P（3，m)和點(diǎn)Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為（)A．－1B．1C．2D.eq\f（4,3)考點(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案D解析由eq\f(m－－2，3－m）＝2,得m＝eq\f（4，3).4。直線l過原點(diǎn)(0，0),且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是（)A。[0°，90°]B。［90°，180°)C.［90°,180°）或α＝0°D。[90°，135°］考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率與象限的關(guān)系答案C5.在平面直角坐標(biāo)系中，正△ABC的BC邊所在直線的斜率是0，則AC，AB邊所在直線的斜率之和為()A。－2eq\r（3） B。0C.eq\r(3） D.2eq\r(3）考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案B解析由BC邊所在直線的斜率是0知,直線BC與x軸平行，所以直線AC,AB的傾斜角互為補(bǔ)角.根據(jù)直線斜率的定義知，直線AC,AB的斜率之和為0。故選B。6.若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1,k2，k3，則()A.k1〈k2〈k3B。k3〈k1<k2C.k3<k2〈k1D。k1〈k3<k2考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率與象限的關(guān)系答案D解析由題圖可知，k1〈0，k2〉0，k3>0，且l2比l3的傾斜角大?！鄈1<k3<k2。7.一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α（0°〈α<90°)，則其傾斜角為(）A.α B.180°－αC.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合求傾斜角答案D解析當(dāng)l方向向上的部分在y軸左側(cè)時(shí)，如圖①所示，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l方向向上的部分在y軸右側(cè)時(shí),如圖②所示，傾斜角為90°－α.故選D。8。已知直線l過點(diǎn)A（1,2），且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是(）A.2B.1C。eq\f(1，2）D.0考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率與象限的關(guān)系答案A解析如圖，kOA＝2，kl′＝0，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，故k∈[0,2].故直線l的斜率k的最大值為2。二、填空題9.已知直線l的傾斜角為α－20°，則α的取值范圍是.考點(diǎn)直線的傾斜角題點(diǎn)直線傾斜角概念的理解答案20°≤α〈200°解析由0°≤α－20°〈180°，得20°≤α〈200°.10.若三點(diǎn)A（2,2），B（a，0），C（0,b）（ab≠0）共線，則eq\f（1，a）＋eq\f(1，b)的值為?？键c(diǎn)三點(diǎn)共線題點(diǎn)三點(diǎn)共線求參數(shù)的關(guān)系答案eq\f（1,2）解析由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以此直線的斜率既可用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，也可用A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，于是eq\f（2,2－a)＝eq\f(2－b,2），由此可得a＋b＝eq\f(1,2）ab，兩邊同時(shí)除以ab，得eq\f（1，a）＋eq\f(1,b)＝eq\f（1,2）。11。已知點(diǎn)A（3,4)，在y軸上有一點(diǎn)B，若kAB＝2，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系題點(diǎn)傾斜角、斜率的計(jì)算答案(0，－2)解析設(shè)B（0，y），則eq\f（y－4，0－3)＝2,即y＝－2.即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－2).12。已知直線PQ的斜率為－eq\r(3）,將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得的直線的斜率是.考點(diǎn)直線的斜率題點(diǎn)由傾斜角計(jì)算斜率答案eq\r（3）解析設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，則0°≤θ<180°，∵kPQ＝－eq\r（3），∴tanθ＝－eq\r(3)，則θ＝120°.將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,所得直線的傾斜角為60°