專題7.4三角函數(shù)應(yīng)用一、考情分析考點(diǎn)1三角函數(shù)模型的建立程序收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型檢驗(yàn)求函數(shù)模型用函數(shù)模型解決實(shí)際問題收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型檢驗(yàn)求函數(shù)模型用函數(shù)模型解決實(shí)際問題解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步：審題、建模、解模、結(jié)論．（1）審題三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為文字語言和圖形語言，閱讀材料時(shí)要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．（2）建模根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即建立三角函數(shù)模型．其中要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語言和符號(hào)語言并用的思維方式．（3）解模利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，結(jié)合題目的要求，對(duì)得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結(jié)果．（4）結(jié)論將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案，應(yīng)用題不同于單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合科學(xué)，又要符合實(shí)際背景，因此，有時(shí)還要對(duì)于解出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判．要點(diǎn)詮釋：實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識(shí)才能完成，因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助解決問題．二、題型突破例1．（1）、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，矗立于倫敦泰晤士河畔的倫敦眼是世界上首座、也曾經(jīng)是世界最大的觀景摩天輪．已知其旋轉(zhuǎn)半徑為60m，最高點(diǎn)距地面135m，運(yùn)行一周大約30min，某游客在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第10min時(shí)他距地面大約為（）A．95m B．100m C．105m D．110m【答案】C【分析】設(shè)人在摩天輪上離地面高度（米）與時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為，根據(jù)已知條件求出，再求得解.【詳解】設(shè)人在摩天輪上離地面高度（米）與時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為，由題意可知，，，所以，即.又因?yàn)?，解得，故，所以，所?故選：C（2）、（2021·重慶江津·高一開學(xué)考試）如圖，某大樓AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或坡比），山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)得山坡坡腳C與大樓水平距離米，與休息亭距離米，并從E點(diǎn)測(cè)得大樓頂部點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，則大樓AB的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米【答案】A【分析】過點(diǎn)分別作底面，，然后根據(jù)題意分別求出，最后相加即可求出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作底面垂線，于，因?yàn)樾逼翪D的坡度，所以設(shè)，，在中，，即，解得，則，所以，因?yàn)樵贓點(diǎn)測(cè)得大樓頂部點(diǎn)的仰角為，所以,故選：A（3）、（2021·江蘇·鹽城中學(xué)高一月考）三國(guó)時(shí)期，吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”).如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖。由題意得，從而可得，給等式兩邊平方化簡(jiǎn)后得，從而可求出，而，進(jìn)而可求得答案【詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D（4）、（2021·福建·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則（）．A．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)距離水面的高度（米）和時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式為，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)距離水面的高度（米）和時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得故．故D錯(cuò)誤；對(duì)于A，令，即，解得：，故A正確；對(duì)于B，令，代入，解得：，故B正確；對(duì)于C，令，代入，解得：，故C正確．故選：ABC【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離為，秒針均勻地繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)的點(diǎn)重合，將、兩點(diǎn)的距離表示成的函數(shù)，則__________，其中．【答案】【分析】設(shè)函數(shù)解析式為，由題意代值可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，由題意易知，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，故答案為：【變式訓(xùn)練1-2】、（2020·江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)高一月考）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖畫1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，簡(jiǎn)車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形圓，筒車的半徑為4，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)4圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)即時(shí)的位置時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)盛水筒M從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間為單位：，則點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為（）A．7 B． C．6 D．5【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)離水面的高度為，根據(jù)題意求出，再令可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)離水面的高度為，依題意可得，，，所以，令，得，得，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，所以，所以.故選：D【變式訓(xùn)練1-3】、（2021·浙江·高一期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)大正方形的面積為，小正方形的面積為，且，則（）A． B．C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則由已知條件可得小正方形的邊長(zhǎng)為，設(shè)為，在在中，由勾股定理得，，可求得，所以【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，得，所以小正方形的邊長(zhǎng)為，所以，設(shè)為，則，在中，由勾股定理得，所以，解得或（舍去），所以故選：B【變式訓(xùn)練1-4】、（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃，12月份的月平均氣溫最低為18℃，則10月份的平均氣溫值為________．【答案】20.5【分析】由題意得,,解得，，故，再計(jì)算時(shí)的函數(shù)值即可.【詳解】解：據(jù)題意得，解得，所以令得故答案為：20.5例2．（2020·上海靜安·高一期末）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時(shí)間水深（單位：）的最大值.【答案】（1）；（2）這段時(shí)間水深的最大值是.【解析】（1）圖知：，因?yàn)椋?，解得?（2）.所以，這段時(shí)間水深的最大值是.例3．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）下表是某地一年中10d（天）的白晝時(shí)間.日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日白晝時(shí)間/h5.5910.2312.3816.397.26日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日白晝時(shí)間/h19.4016.3412.018.486.13（1）以日期在365d（天）中的位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系；（3）用（2）中的函數(shù)模型估計(jì)該地7月8日的白晝時(shí)間.【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)將日期轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，畫出散點(diǎn)圖；（2）不妨設(shè)白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系是，依題意求出，，，，即可得到函數(shù)解析式；（3）易知7月8日時(shí)，代入（2）中函數(shù)解析式，計(jì)算可得；【詳解】解：（1）根據(jù)已知橫坐標(biāo)依次為1,59,80,117,172,226,266,298,325，散點(diǎn)圖如下所示：（2）不妨設(shè)白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系是，則，，，所以，即，且當(dāng)時(shí)，解得，所以（3）易知7月8日時(shí)，所以故該地7月8日的白晝時(shí)間約為例4．（2021·貴州·興仁市鳳凰中學(xué)高一期末）某港口水深y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t(小時(shí))03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，該曲線可近似的看成函數(shù)的圖象．（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求的解析式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4