分析時(shí)代

第七章分析時(shí)代第七章1第七章分析時(shí)代

微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”（恩格斯）．在18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交熾在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域．在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時(shí)期．第七章分析時(shí)代微積分的2

英國(guó)早期作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家有：泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。

麥克勞林之后，英國(guó)數(shù)學(xué)陷入了長(zhǎng)期停滯的狀態(tài)．微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論滋長(zhǎng)了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說中弱點(diǎn)的束縛．7.118世紀(jì)的數(shù)學(xué)家

英國(guó)早期作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家有：泰37.1.1泰勒和麥克勞林英格蘭數(shù)學(xué)家泰勒(BrookTaylor,1685—1731)做過英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書．他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一書中，陳述了他早在1712年就已獲得的著名定理泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)成為可能，是微積分進(jìn)一步發(fā)展的有力武器．但泰勒對(duì)該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性．7.1.1泰勒和麥克勞林英格蘭數(shù)學(xué)家泰勒(Bro4泰勒公式在時(shí)的特殊情形后來被愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書中一直把x=0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林級(jí)數(shù)”．

麥克勞林(ColinMaclaurin,1698—1746,蘇格蘭)是牛頓微積分學(xué)說的竭力維護(hù)者，他在這方面的代表性著作《流數(shù)論》（1742），以純熟卻難讀的幾何語(yǔ)言論證流數(shù)方法，試圖從“若干無例外的原則”出發(fā)嚴(yán)密推演牛頓的流數(shù)論，這是使微積分形式化的努力，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功．

泰勒公式在時(shí)的特殊情形后5

麥克勞林是一位數(shù)學(xué)上的奇才。他11歲就考上了格林斯哥大學(xué)。15歲取得碩士學(xué)位，并且為自己關(guān)于重力的功的論文作了杰出的公開答辯。19歲就主持阿伯丁的馬里沙學(xué)院數(shù)學(xué)系，并于21歲發(fā)表其第一本重要著作《構(gòu)造幾何》。他27歲成為愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的代理或助理。

他關(guān)于流數(shù)的論文是在他44歲(只在死前4年)發(fā)表的，這是麥克勞林為了答復(fù)英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊對(duì)微積分學(xué)原理的攻擊而寫的，也是牛頓流數(shù)法的第一篇符合邏輯的、系統(tǒng)的解說。麥克勞林級(jí)數(shù)：麥克勞林是一位數(shù)學(xué)上的奇才。他11歲就考上了67.1.2伯努利家族

在數(shù)學(xué)和科學(xué)的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族.從十七世紀(jì)末葉以來，這個(gè)非凡的瑞士家族在三代時(shí)間里生出了八個(gè)數(shù)學(xué)家(其中三個(gè)是杰出的)，他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代．

這個(gè)家族的記錄開始于雅各布·伯努利(1654—1705)和約翰·伯努利(1667—1748)兄弟。他們都是萊布尼茨忠實(shí)的學(xué)生與朋友．他們的工作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容．7.1.2伯努利家族在數(shù)學(xué)和科學(xué)的歷史上7

8雅各布·伯努利對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是：△發(fā)表過無窮級(jí)數(shù)的論文△研究過許多特殊曲線△推導(dǎo)出平面曲線的曲率半徑公式△引入伯努利數(shù)△發(fā)明極坐標(biāo)△提出概率論中的伯努利定理或大數(shù)定律

雅各布·伯努利從小喜愛科學(xué)，但父親執(zhí)意要他學(xué)神學(xué)，于是一有機(jī)會(huì)他便盡早放棄了神學(xué)。他自學(xué)了牛頓和萊布尼茲的微積分，從1687年起直到去世任巴塞耳(Basel)大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雅格布?伯努利(瑞，1654-1705)雅各布·伯努利對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是：△發(fā)表過無窮級(jí)數(shù)的論文△9約翰的著作，內(nèi)容很廣泛，它包括：△與反射和折射有聯(lián)系的光學(xué)問題△曲線族的正交軌線的確定△用級(jí)數(shù)求曲線的長(zhǎng)和區(qū)域的面積△解析三角學(xué)△最速降線問題和等時(shí)線問題

比起哥哥來，弟弟約翰·伯努利更是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。他原來也錯(cuò)選了職業(yè)，起先學(xué)醫(yī)，并在1694年獲巴塞耳大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的．受哥哥的影響，他也愛上了微積分，并很快就掌握了它，用它來解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問題．1695年，他任荷蘭格羅寧根(Groningen)大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)教授，而在他哥哥雅各布死后繼任巴塞耳大學(xué)教授．

約翰?伯努利(瑞，1667-1748)約翰的著作，內(nèi)容很廣泛，它包括：△與反射和折射有聯(lián)系的光學(xué)10

約翰之子丹尼爾·伯努利(DanielBernoulli，1700一1782)，起初也像他父親一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄原業(yè)而改攻他天生的專長(zhǎng)，成為彼得堡的數(shù)學(xué)教授．1733年他回巴塞耳，先后任植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)的教授．他獲得法蘭西科學(xué)院的10項(xiàng)獎(jiǎng)．

他在多年內(nèi)發(fā)表了物理學(xué)、概率論、微積分和微分方程方面的許多著作：△提出倫理道德方面的數(shù)學(xué)期望的概念△寫過關(guān)于潮汐的論文△建立了空氣動(dòng)力學(xué)理論，△提出流體動(dòng)力學(xué)原理△研究了弦振動(dòng)許多人認(rèn)為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。第一個(gè)把牛頓和萊布尼茨的微積分思想連接起來的人:約翰之子丹尼爾·伯努利(DanielBer117.1.3歐拉

18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉(LeonardEuler，瑞士,1707—1783)作出的．瑞士法郎上的歐拉7.1.3歐拉18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步1218世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄”

圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741,1766-1783)柏林科學(xué)院(1741-1766)1748年《無窮小分析引論》、1755年《微分學(xué)原理》、1768-1770年《積分學(xué)原理》最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、《歐拉全集》84卷李善蘭譯的《代數(shù)學(xué)》（1859）等著作記載了歐拉的學(xué)說“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯歐拉(瑞士,1707-1783)18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄13微積分史上里程碑式的著作:△1748年出版的《無限小分析引論》△1755年發(fā)表的《微分學(xué)》△1768—1770發(fā)表《積分學(xué)》，共3卷它們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)間里被當(dāng)作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)如：一函數(shù)符號(hào)∑一求和號(hào)一自然對(duì)數(shù)底一虛數(shù)號(hào)歐拉出生于瑞士巴塞爾一個(gè)牧師家庭，13歲就進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，數(shù)學(xué)老師是約翰·伯努利．微積分史上里程碑式的著作:△1748年出版的《無限小分析14

伯努利后來在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位學(xué)生在分析方面的青出于蘭：

“我介紹高等分析時(shí)，它還是個(gè)孩子，而您正在將它帶大成人．”

歐拉主要的科學(xué)生涯是在俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741；1766-1783)和德國(guó)柏林科學(xué)院(1741-1766)度過的．伯努利后來在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位15

歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．他生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量手稿．歐拉自己說他未發(fā)表的論文足夠彼得堡科學(xué)院用上20年，結(jié)果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學(xué)院院報(bào)上還在刊登歐拉的遺作．1911年瑞士自然科學(xué)協(xié)會(huì)開始出版歐拉全集，現(xiàn)已出版70多卷，計(jì)劃出齊84卷，都是大四開本．歐拉從18歲開始創(chuàng)作，到76歲逝世，因此單是收進(jìn)全集的這些文稿，歐拉平均每天就要寫約1.5頁(yè)大四開紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化為灰燼．歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．他生前發(fā)表的16歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是依靠驚人的記憶和心算能力進(jìn)行研究與寫作．

1783年9月的一天，歐拉在與同事討論了天王星軌道計(jì)算以后疾病發(fā)作，喃喃自語(yǔ)道：“我要死了!”如巴黎科學(xué)院秘書孔多塞(M．Condorcet)形容的那樣，他“停止了計(jì)算，也停止了生命．”歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是177.1.4克萊洛和達(dá)朗貝爾

克萊洛(ClaudeAlexisClairaut,l713-1765)是數(shù)學(xué)上的神童，11歲就寫了一篇關(guān)于三次曲線的論文。這篇早年的論文和以后的一篇關(guān)于空間撓曲線的微分幾何的奇妙論文，使他未到法定的年齡(18歲)就獲得法國(guó)科學(xué)院的席位。7.1.4克萊洛和達(dá)朗貝爾克18達(dá)朗貝爾(法,1717-1783)

自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)院：院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學(xué)處于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)時(shí)代到18世紀(jì)的力學(xué)時(shí)代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣?！薄秳?dòng)力學(xué)》、《數(shù)學(xué)手冊(cè)》數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利達(dá)朗貝爾(法,1717-1783)

自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)19伯樂

達(dá)朗貝爾對(duì)青年科學(xué)家十分熱情，他非常支持青年科學(xué)家研究工作，也愿意在事業(yè)上幫助他們。他曾推薦著名科學(xué)家拉格朗日到普魯士科學(xué)院工作，推薦著名科學(xué)家拉普拉斯到巴黎科學(xué)院工作。達(dá)朗貝爾自己也經(jīng)常與青年科學(xué)家進(jìn)行學(xué)術(shù)討論，從中發(fā)現(xiàn)并引導(dǎo)他們的科學(xué)思想發(fā)展。在十八世紀(jì)的法國(guó)，達(dá)朗貝爾不僅燦爛了科學(xué)事業(yè)的今天，也照亮了科學(xué)事業(yè)的明天。

伯樂達(dá)朗貝爾對(duì)青年科學(xué)家十分熱情，20晚年

達(dá)朗貝爾的日常生活非常簡(jiǎn)單，白天工作，晚上去沙龍活動(dòng)。他終生未婚，但有一位患難與共、生死相依的情人——沙龍女主人勒皮納斯。達(dá)朗貝爾與養(yǎng)父母感情一直很好，直到1765年他47歲時(shí)才因病離開養(yǎng)父母，住到了勒皮納斯家里，病愈后他一直居住在她的家里。可是在以后的日子里他在事業(yè)上進(jìn)展緩慢，更使他悲痛欲絕的是勒皮納斯小姐于1776年去世了。在絕望中達(dá)朗貝爾度過了自己的晚年，1783年10月29日卒于巴黎。

由于達(dá)朗貝爾生前反對(duì)宗教，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。所以當(dāng)這位科學(xué)巨匠離開這個(gè)世界的時(shí)候，既沒有隆重的葬禮、也沒有緬懷的追悼，只有他一個(gè)人被安靜的埋葬在巴黎市郊的墓地里。

晚年達(dá)朗貝爾的日常生活非常簡(jiǎn)單，白天工作，晚上21達(dá)朗貝爾(Jean-le-Rondd’Alembert，1717—1783)和克萊洛一樣，出生于巴黎，死于巴黎。但兩人卻是常不友好的、科學(xué)上的對(duì)手。達(dá)朗貝爾原是某貴婦的私生子，出生后被拋棄在巴黎一教堂旁，被一對(duì)窮苦的玻璃匠夫婦收養(yǎng)并接受教育。達(dá)朗貝爾24歲被接納到法國(guó)科學(xué)院，后竟成為巴黎科學(xué)院院士和終身秘書．△1743年發(fā)表了他的《動(dòng)力學(xué)論著》△1744年寫了一篇關(guān)于流體的平衡和運(yùn)動(dòng)的論文△1746年寫了一篇關(guān)于風(fēng)的起因的論文△1747年寫了一篇關(guān)于振動(dòng)弦的論文在這些文章中，達(dá)朗貝爾導(dǎo)出了偏微分方程，這使他成為研究這種方程的先驅(qū)。達(dá)朗貝爾(Jean-le-Rondd’Al22拉格朗日(法,1736-1813)

數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，分析學(xué)中僅次于歐位的最大開拓者，論著超過500篇1754年(18歲)發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式1755年任數(shù)學(xué)教授(都靈時(shí)期:1754-1766)1788年《分析力學(xué)》(柏林時(shí)期:1766-1787)1797年《解析函數(shù)論》(巴黎時(shí)期:1787-1813)分析力學(xué)的創(chuàng)立者、天體力學(xué)的奠基者1799年伯爵，1813年帝國(guó)大十字勛章拉格朗日(法,1736-1813)

數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都237.1.5拉格朗日

拉格朗日(JosephLouisLagrange，1736—1813)出生于意大利的都靈。19歲就被任命為都靈炮兵學(xué)校數(shù)學(xué)教授。歐拉和達(dá)朗貝爾力薦他到柏林科學(xué)院任職。1766年當(dāng)歐拉離開柏林時(shí)，弗雷德里克大帝在寫給拉格朗日的信中說：“歐洲最偉大的國(guó)王”希望有“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”在他宮里。拉格朗日接受了這個(gè)邀請(qǐng)，擔(dān)任歐拉辭去的職位達(dá)二十年。在離開柏林幾年之后，拉格朗日接受了新建立的高等師范學(xué)院的教授職位，后來又到高等工藝學(xué)院任教授。第一個(gè)學(xué)校是短命的，而第二個(gè)學(xué)校在數(shù)學(xué)史上是著名的，因?yàn)楝F(xiàn)代法蘭西的大數(shù)學(xué)家們中有許多在這里受過教育，而且有許多在這里當(dāng)過教授。拉格朗日7.1.5拉格朗日拉格朗日(Joseph24

拉格朗日的著作對(duì)后來的數(shù)學(xué)研究有很深的影響，因?yàn)樗钦J(rèn)識(shí)到分析的基礎(chǔ)處于完全不能令人滿意的狀態(tài)，從而試圖使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的最早的第一流數(shù)學(xué)家。今天用得很普遍的記號(hào),…就起源于拉格朗日。拉格朗日嗜好數(shù)論，在這個(gè)領(lǐng)域中也寫了幾篇重要的論文。他在方程論方面的早期工作，使伽羅瓦后來有可能提出他的群論。歐拉寫得過于細(xì)并且隨便憑借直觀，而拉格朗日寫得簡(jiǎn)明并且謀求嚴(yán)格。他在風(fēng)格上是“現(xiàn)代的”，堪稱第一個(gè)真正的分析家。拿破侖與他那個(gè)時(shí)代的許多法國(guó)大數(shù)學(xué)家很親近，他對(duì)拉格朗日總的評(píng)價(jià)是：“拉格朗日是數(shù)學(xué)科學(xué)方面的高聳的金字塔?！崩窭嗜盏闹鲗?duì)后來的數(shù)學(xué)研究257.1.6拉普拉斯和勒讓德

拉普拉斯和勒讓德是拉格朗日的同時(shí)代的人，雖然他們的主要著作發(fā)表于十九世紀(jì)。拉普拉斯(Pierre-SimonLaplace，1749-1827)1749年出生于法國(guó)諾曼底地區(qū)的一個(gè)貧窮的家庭。他的數(shù)學(xué)才能使他較早獲得好的教學(xué)職位。他在天體力學(xué)、概率論、微分方程和測(cè)地學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，都做了杰出的工作。他寫了兩部不朽的著作：△《天體力學(xué)》（5卷，1799-1825）△《概率的解析理論》（1812）五卷《天體力學(xué)》使他贏得了“法蘭西的牛頓”的稱號(hào)。拉普拉斯7.1.6拉普拉斯和勒讓德拉普拉斯和勒26拉普拉斯對(duì)數(shù)學(xué)物理的影響是巨大的．通常認(rèn)為他偏愛應(yīng)用而對(duì)純粹數(shù)學(xué)不感興趣．美國(guó)天文學(xué)家鮑迪奇，在他把拉普拉斯的論著譯成英文時(shí)指出：“每當(dāng)我遇到拉普拉斯在書中說‘顯然可知’時(shí)，我就知道該花好多小時(shí)的冥思苦想去補(bǔ)充其脫節(jié)之處并確實(shí)證明它是多么顯然可知?！钡绽褂凶约旱南敕ǎ凇陡怕实慕馕隼碚摗贰熬w論”中曾這樣寫道：“分析和自然哲學(xué)中最重大的發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是所謂的‘歸納’方法．牛頓二項(xiàng)式定理和萬有引力原理就是歸納法的成果”．與18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家相比，拉普拉斯更醉心于發(fā)現(xiàn)結(jié)果而淡出證明。不過無論如何，數(shù)學(xué)在他心目中有特殊的地位，因?yàn)樗f過：“一切自然現(xiàn)象都是少數(shù)不變定律的數(shù)學(xué)推論”．拉普拉斯對(duì)數(shù)學(xué)物理的影響是巨大的．通常認(rèn)為他27拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星云學(xué)說、勢(shì)論的所謂拉普拉斯方程分不開的，雖然這兩項(xiàng)貢獻(xiàn)沒有—項(xiàng)是起源于拉普拉斯的。他的名字與拉普拉斯變換和行列式的拉普拉斯展開式，也是分不開的。

拉普拉斯曾得到達(dá)朗貝爾的幫助當(dāng)上了巴黎軍事學(xué)校數(shù)學(xué)教授，后來與拉格朗日(Lagrange)和勒讓德(Legendre)并稱“巴黎三L”．拉普拉斯是一個(gè)政治上的機(jī)會(huì)主義者，在法國(guó)革命動(dòng)蕩不定的日子里，無論哪個(gè)黨偶然得勢(shì)，他都去逢迎。1827年逝世，正好是牛頓死后100年。據(jù)說留下的遺言是：

“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無限的．”拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星云學(xué)說、勢(shì)論的28勒讓德(Adrien-MarieLegendre，1752—1833)以其很通俗的《幾何學(xué)基本原理》在初等數(shù)學(xué)史上為人們熟知。在其中他試圖以精心排列和簡(jiǎn)化許多命題來對(duì)歐幾里得《原本》作教學(xué)方法上的改進(jìn)。勒讓德在高等數(shù)學(xué)方面的主要工作集中在數(shù)論，橢圓函數(shù)、最小二乘法和積分上。勒讓德的名字，今天是與二階微分方程聯(lián)系在一起的，這在應(yīng)用數(shù)學(xué)上是相當(dāng)重要的。滿足此微分方程的函數(shù)被稱作勒讓德函數(shù)。這種方程，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有特別有趣的所謂勒讓德多項(xiàng)式的多項(xiàng)式解。勒讓德(Adrien-MarieLegen297.1.7蒙日

蒙日(GaspardMonge，1746—1818)是一位幾何學(xué)者，16歲就在里昂學(xué)院任物理學(xué)講師。1768年，蒙日在梅齊埃爾擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，1771年還在那里擔(dān)任物理學(xué)教授；1780年被任命為巴黎利瑟姆動(dòng)力學(xué)講座教授；1795年高等工藝學(xué)校建立，他首任校長(zhǎng)，還在那里擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。他在那里開設(shè)的畫法幾何課，聽課人數(shù)每次多達(dá)400余人。除了創(chuàng)造射影幾何之外，蒙日還被認(rèn)為是微分幾何之父。他寫的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》出了五版，是曲面微分幾何最重要的早期論著之一。7.1.7蒙日蒙日(Gasp30

蒙日不象三個(gè)L(Lagrange，Laplace和Legendre)那樣避開法國(guó)革命，蒙日是支持法國(guó)革命的。他擔(dān)任過革命政府的海軍部長(zhǎng)，并且參加了為軍隊(duì)制造武器和火藥的工作。曾簽署了處決路易十六的報(bào)告書。王政復(fù)辟后，蒙日被剝奪了一切職務(wù)，不久謝世。

他與拿破侖有親密的友誼，是拿破侖軍營(yíng)中最有威信的科學(xué)參謀。他與數(shù)學(xué)家傅立葉(JosephFourier，1768—1831)一道隨拿破侖進(jìn)行倒霉的1798年的埃及遠(yuǎn)征?；氐椒▏?guó)后，蒙日繼續(xù)擔(dān)任他在高等工藝學(xué)院的職位，在那里他被證明是一位非凡的、天才的教師。他的演講啟發(fā)了許多后來有才能的幾何學(xué)者.蒙日不象三個(gè)L(Lagrange，Lapla317.2微積分的發(fā)展

18世紀(jì)這些數(shù)學(xué)家雖然不像牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們?cè)谖⒎e分發(fā)展史上同樣功不可沒，假如沒有他們的奮力開發(fā)與仔細(xì)耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反也許會(huì)變得荒蕪凋零．以下概要論述這一時(shí)期微積分深入發(fā)展的幾個(gè)主要方面．(一)積分技術(shù)與橢圓積分

18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠(yuǎn)的新發(fā)現(xiàn)．在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯．7.2微積分的發(fā)展18世紀(jì)這些數(shù)學(xué)家雖然不32

約翰·伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教科書中求函數(shù)積分的常用方法．當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們考慮無理函數(shù)的積分時(shí)，他們就在自己面前打開了一片新天地，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來表示．例如雅各布·伯努利在求雙紐線（）弧長(zhǎng)時(shí)，得到弧長(zhǎng)積分

在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算則引導(dǎo)到積分約翰·伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換33歐拉在1744年處理彈性問題時(shí)也得到積分所有這些積分都屬于后來所說的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)(如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)表示出來．橢圓積分的一般形式是(其中是的有理函數(shù)，則是一般的四次多項(xiàng)式)．歐拉在1744年處理彈性問題時(shí)也得到積分所有這些積分都屬于34

勒讓德后來將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式．對(duì)橢圓函數(shù)的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比(C.G.Jacobi，1804—1851)分別獨(dú)立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)理論．

勒讓德后來將所有的橢圓積分35(二)微積分向多元函數(shù)的推廣

雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家．1720年，尼古勞斯·伯努利(NicolausBernoulliⅡ)證明了函數(shù)在一定條件下，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)其結(jié)果與求導(dǎo)順序無關(guān)，即相當(dāng)于有歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實(shí)．在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導(dǎo)數(shù)理論．(二)微積分向多元函數(shù)的推廣雖然36

達(dá)朗貝爾在1743年的著作《動(dòng)力學(xué)》和1747年關(guān)于弦振動(dòng)的研究中，也推進(jìn)了偏導(dǎo)數(shù)演算．不過當(dāng)時(shí)一般都用同一個(gè)記號(hào)d表示通常導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，專門的偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)多重積分實(shí)際上已包含在牛頓關(guān)于萬有引力的計(jì)算中，但牛頓使用了幾何論述．在18世紀(jì)，牛頓的工作被人以分析的形式推廣．1748年歐拉用累次積分算出了表示一厚度為的橢圓薄片對(duì)其中心正上方一質(zhì)點(diǎn)的引力的重積分：到19世紀(jì)40年代才由雅可比在其行列式理論中正式創(chuàng)用并逐漸普及。達(dá)朗貝爾在1743年的著作《動(dòng)力學(xué)》和17437到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計(jì)算二重定積分的一般程序．而拉格朗日在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中，用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究．到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計(jì)算二重38(三)無窮級(jí)數(shù)理論

微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的研究密不可分．牛頓在他的流數(shù)論中自由運(yùn)用無窮級(jí)數(shù)，他憑藉二項(xiàng)式定理得到了和等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)．泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級(jí)數(shù)的一般方法．在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具．雅各布·伯努利在1689—1704年間撰寫了5篇關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的論文，使他成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其在求函數(shù)的微分與積分、求曲線下的面積和曲線長(zhǎng)等方面的應(yīng)用．這些構(gòu)成了雅各布·伯努利對(duì)微積分算法的重要貢獻(xiàn)．(三)無窮級(jí)數(shù)理論微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的39就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中一個(gè)很有啟發(fā)性的工作是關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)的和是無窮的證明．伯努利首先指出了故有這意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于1，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量．就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中一個(gè)很有啟發(fā)性的工作40它相當(dāng)于其中的叫做“伯努利數(shù)”。利用它可以作的近似計(jì)算。當(dāng)很大時(shí)，調(diào)和級(jí)數(shù)的討論引起了對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級(jí)數(shù)而獲得的一些著名的數(shù)值逼近公式．例如，斯特林在1730年得到一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)表示：它相當(dāng)于其中的叫做“伯努利數(shù)”。利用它可41除了調(diào)和級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級(jí)數(shù)是雅各布·伯努利在1696年的論文中作如下推理：當(dāng)時(shí)得到：但另一方面伯努利稱這些互相矛盾的結(jié)果為“有趣的悖論”．除了調(diào)和級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級(jí)數(shù)是雅各布·伯421703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭弟(G.Grandi)通過的級(jí)數(shù)展開又重新發(fā)現(xiàn)這一悖論：在級(jí)數(shù)中令，得格蘭弟稱之為“無中生有．”這類發(fā)散級(jí)數(shù)悖論刺激了人們對(duì)無窮級(jí)數(shù)收斂性的思考。18世紀(jì)先后出現(xiàn)了一些級(jí)數(shù)收斂判別法則．如萊布尼茨變號(hào)級(jí)數(shù)收斂定理(1713)；麥克勞林積分判別法(1742)；達(dá)朗貝爾級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂判別法(1754)，等等．1703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭弟(G.Grandi)通過43(四)函數(shù)概念的深化

18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)析，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要對(duì)象．這一轉(zhuǎn)折首先也應(yīng)歸功于歐拉，歐拉在《無限小分析引論》中明確宣布：“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論。函數(shù)概念在17世紀(jì)已經(jīng)引入，牛頓《原理》中提出的“生成量”就是雛形的函數(shù)概念．萊布尼茨首先使用了“函數(shù)”(function)這一術(shù)語(yǔ)．他把函數(shù)看成是“像曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)度、垂線長(zhǎng)度等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量”．最先將函數(shù)概念公式化的是約翰·伯努利．歐拉則將伯努利的思想進(jìn)一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數(shù)定義為：“變量的函數(shù)是一個(gè)由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式．”

(四)函數(shù)概念的深化18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)44在這一定義的基礎(chǔ)上，函數(shù)概念本身大大豐富了．歐拉在《引論》中明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，將超越函數(shù)看成是以無限多次算術(shù)運(yùn)算而得到的表達(dá)式，也就是說可用無窮級(jí)數(shù)表示的函數(shù)．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等．通過一些積分問題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇．除了上面已提到的橢圓積分外，18世紀(jì)得到的最重要的超越函數(shù)還有Γ-函數(shù)、B-函數(shù)：這兩個(gè)函數(shù)在歐拉《無限小分析引論》中都有論述，但歐拉早在1730年給哥德巴赫的一封信中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們．在這一定義的基礎(chǔ)上，函數(shù)概念本身大大豐富了．45Γ-函數(shù)是歐拉用插值法將階乘概念推廣到非整數(shù)情形時(shí)得到的積分表達(dá)式，“Γ-函數(shù)”的名稱及記號(hào)是勒讓德后來(1811)給出的．歐拉在1771年進(jìn)一步建立了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系：Γ-函數(shù)，B-函數(shù)與橢圓積分等一起，是18世紀(jì)新發(fā)現(xiàn)的超越函數(shù)的重要例子，對(duì)于函數(shù)概念的拓廣多有影響．在18世紀(jì)，已有的初等函數(shù)包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)則被推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域，這也是受到了積分計(jì)算的激發(fā)．因?yàn)槔绠?dāng)人們用部分分式法則來求積分Γ-函數(shù)是歐拉用插值法將階乘46時(shí)，會(huì)導(dǎo)致形式為的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)．由于這種積分在形式上可看作是對(duì)數(shù)函數(shù)，這就引起了關(guān)于什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)和負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)的探討．1714年英國(guó)人柯茨(R．Cotes)得到了關(guān)系：

這一結(jié)果后又被歐拉獨(dú)立得到并寫進(jìn)了《無限小分析引論》，《引論》中還發(fā)表了著名的公式：這公式現(xiàn)在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相當(dāng)于這一公式的結(jié)果。這些公式不僅使人們能正確回答什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論．時(shí)，會(huì)導(dǎo)致形式為的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)．由于這47(五)微積分嚴(yán)格化的嘗試牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴(yán)格的，特別在使用無限小概念上的隨意與混亂,這使他們的學(xué)說從一開始就受到懷疑和批評(píng)．1695年，荷蘭物理學(xué)家紐汶蒂(B.Nieuwentyt)在其著作《無限小分析》中指責(zé)

牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茨的高階微分“缺乏根據(jù)”最令人震憾的抨擊是來自英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊，伯克萊(G.Berkeley，1685—1753).1734年擔(dān)任克羅因(在今愛爾蘭境內(nèi))主教的伯克萊，發(fā)表了一本小冊(cè)子《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》，副題中“不信神的數(shù)學(xué)家”是指曾幫助牛頓出版《原理》的哈雷(E.Haley)．伯克萊在書中認(rèn)為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們以歸納代替演繹，沒有為他們的方法提供合法性證明．(五)微積分嚴(yán)格化的嘗試牛頓和萊布尼茨的微48他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關(guān)于無限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方法中，為了求冪的流數(shù)，牛頓假設(shè)有一個(gè)增量o，并以它去除增量得o+…然后又讓o“消失”，得到的流數(shù)。伯克萊指出這里關(guān)于增量o的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”．他譏諷地問道：“這些消失的增量究竟是什么呢?它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?”《分析學(xué)家》的主要矛頭是牛頓的流數(shù)術(shù)，但對(duì)萊布尼茨的微積分也同樣竭力非難，認(rèn)為其中的正確結(jié)論，是從錯(cuò)誤的原理出發(fā)通過“錯(cuò)誤的抵消”而獲得．伯克萊主教（愛爾蘭，1985）他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關(guān)于無限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方49伯克萊對(duì)微積分學(xué)說的攻擊主要是出于宗教的動(dòng)機(jī)，目的是要證明：流數(shù)原理并不比基督教義“構(gòu)思更清楚”、“推理更明白”．但他的許多批評(píng)是切中要害的，在客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，刺激了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格基礎(chǔ)而努力．為了回答伯克萊的攻擊，在英國(guó)本土產(chǎn)生了許多為牛頓流數(shù)論辯護(hù)的著述，其中以前面已提到的麥克勞林《流數(shù)論》最為典型，但所有這些辯護(hù)都因堅(jiān)持幾何論證而顯得軟弱無力．歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們則力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎(chǔ)的困難．在18世紀(jì)，這方面的代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日．

達(dá)朗貝爾在他為《科學(xué)，藝術(shù)和工藝百科全書》撰寫的“微分”(Differentiel，1754)等條目中，討論他所謂的“微分演算的形而上學(xué)”，即微分學(xué)的基礎(chǔ)。他在這里發(fā)展了牛頓的首末比方法，但用極限概念代替了含糊的“最初比”與“最終比”。伯克萊對(duì)微積分學(xué)說的攻擊主要是出于宗教的動(dòng)機(jī)50達(dá)朗貝爾定義量的極限為，如果“量可任意逼近，這就是說，與之間的差可任意小”．他指出微分演算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過線段來表達(dá)的比的極限”，并認(rèn)為“這也許是關(guān)于微分學(xué)的最精確、最簡(jiǎn)潔的定義”。歐拉在《微分學(xué)》中提出了關(guān)于無限小的不同階零的理論，歐拉認(rèn)為無限小就是零，但卻存在著“不同階的零”，也就是不同階的無限小，而“無限小演算只不過是不同無限小量的幾何比的研究．”他斷言如果采取了這種觀點(diǎn)，“在這門崇高的科學(xué)中，我們就完全能保持最高度的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性”。拉格朗日則在《解析函數(shù)論》(1797)一書中，主張用泰勒級(jí)數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)，以此作為整個(gè)微分、積分演算的出發(fā)點(diǎn)而將微積分歸結(jié)為“純粹的代數(shù)分析藝術(shù)”．

我們可以說，歐拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理內(nèi)核19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化，正是這些不同方向融會(huì)發(fā)展的結(jié)果．達(dá)朗貝爾定義量的極限為，如果517.3微積分的應(yīng)用與新分支的形成

18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們一方面努力探索使微積分嚴(yán)格化的途徑；一方面又往往不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進(jìn)，大大擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一。這種結(jié)合的緊密程度是數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期不能比擬的．當(dāng)時(shí)幾乎所有數(shù)學(xué)家都不同程度地同時(shí)也是力學(xué)家．歐拉的名字同剛體運(yùn)動(dòng)與流體力學(xué)的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力學(xué)》(1788)，它將力學(xué)變成分析的一個(gè)分支;拉普拉斯許多最重要的數(shù)學(xué)成果是包含在他的五大卷《天體力學(xué)》(1799—1825)中.這種廣泛的應(yīng)用成為新思想的源泉而使數(shù)學(xué)本身大大受惠，一系列新數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)成長(zhǎng)起來．7.3微積分的應(yīng)用與新分支的形成18世52(一)常微分方程

常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，牛頓和萊布尼茨的著作中都處理過與常微分方程有關(guān)的問題．從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問題的研究引出了一系列常微分方程，這些問題在當(dāng)時(shí)往往以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起熱烈的討論．有名的如懸鏈線問題：求一根柔軟但不能伸長(zhǎng)的繩子自由懸掛于兩定點(diǎn)而形成的曲線．這問題于1690年由雅各布·伯努利提出，第二年萊布尼茨、惠更斯(C.Huygens，1629—1695)和約翰·伯努利均發(fā)表了自己的解答，其中約翰·伯努利通過建立懸鏈線方程解出了曲線(一)常微分方程常微分方程是53類似的還有與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的“等時(shí)曲線”方程(1690，雅各布·伯努利)以及與光線路徑問題有關(guān)的“正交軌線”方程(1715，萊布尼茨、牛頓)等．?dāng)?shù)學(xué)家們起初是采用特殊的技巧來對(duì)付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒ǎR布尼茨在1691年已用分離變量法解出了形如的方程．1696年他又用變量替換將現(xiàn)在所稱的“伯努利方程”(雅各布·伯努利，1695)

類似的還有與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的“等時(shí)曲線”方程(1690，雅各布54化成了關(guān)于的線性微分方程．伯努利兄弟也推進(jìn)了分離變量法與變量代換法．解一階常微分方程的所謂“積分因子法”，先后由歐拉(1734—1735年間)和克萊洛(1739—1740年間)獨(dú)立地提出．他們的方法是將方程乘以一個(gè)叫“積分因子”的量而使它化為“恰當(dāng)方程”．恰當(dāng)方程是指方程左端恰好是某個(gè)函數(shù)的全微分歐拉和克萊洛都給出方程是恰當(dāng)?shù)臈l件：并指出了如果方程是恰當(dāng)?shù)?，它就可以積分．到1740年左右，幾乎所有求解—階方程的初等方法都已知道．化成了關(guān)于的線性微分方程．伯努利兄弟也推進(jìn)了分離變量55在常微分方程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線性方程是“黎卡提方程”最先由意大利學(xué)者黎卡提(J.F.Ricatti)導(dǎo)出(1724)．這個(gè)方程本身是一階方程，但黎卡提是通過變量替換從一個(gè)二階方程“降階”得到它的，這種降階法后來成為處理高階方程的主要手段．1728年，歐拉在一篇題為《將二階微分方程化為一階微分方程的新方法》的論文中，引進(jìn)了著名的指數(shù)代換將三類相當(dāng)廣泛的二階常微分方程化為一階方程，這是二階常微分方程系統(tǒng)研究的開始．高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關(guān)于階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法．在常微分方程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線性56對(duì)于階常系數(shù)方程歐拉利用指數(shù)代換(為常數(shù))得到所謂特征方程當(dāng)是該方程的一個(gè)實(shí)單根時(shí)，則是原微分方程的一個(gè)特解．當(dāng)是特征方程的是重根時(shí)，歐拉用代換求得為包含個(gè)任意常數(shù)的解．歐拉指出：階方程的通解是其個(gè)特解的線性組合．他是最早明確區(qū)分“通解”與“特解”的數(shù)學(xué)家．對(duì)于階常系數(shù)方程歐拉利用指數(shù)代換5718世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774—1775年間用參數(shù)變易法解出了一般階變系數(shù)非齊次常微分方程。簡(jiǎn)單情形的參數(shù)變易法可追溯到牛頓和約翰·伯努利。歐拉在1739年則用此法解出了二階方程拉格朗日研究一般方程其中P、Q、R、…、V、X皆為x的函數(shù)．已知相應(yīng)齊次方程的通解為此處為積分常數(shù),而是齊次方程的特解．拉格朗日將看作的函數(shù)并利用的各階微商表達(dá)式及原方程求出和，從而得到非齊次方程解．18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日158

參數(shù)變易法來源于天體力學(xué)中的三體問題．三體問題為常微分方程理論提供了持久的刺激．在此問題中扮演中心角色的是—組二階方程：分別表示三個(gè)球形物體的質(zhì)量，表示第個(gè)物體質(zhì)量中心的變動(dòng)坐標(biāo)，為從到的距離．由于三體問題方程不可能精確地解出，其研究中一個(gè)重要的方向就是尋求近似解，即所謂“攝動(dòng)理論”．參數(shù)變易法來源于天體力學(xué)中的三體問題．三體問59參數(shù)變易法是攝動(dòng)理論的有力工具．拉普拉斯《天體力學(xué)》對(duì)三體問題及攝動(dòng)理論也有重大貢獻(xiàn)．．常微分方程

包含一個(gè)自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等式形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動(dòng)的初等解法分離變量法變量代換法積分因子法黎卡提方程降階法常系數(shù)線性方程2001年9月6日哈勃拍到的"星體爆發(fā)"星系參數(shù)變易法是攝動(dòng)理論的有力工具．拉普拉斯《天60

微積分對(duì)弦振動(dòng)等力學(xué)問題的應(yīng)用則引導(dǎo)到另一門新的數(shù)學(xué)分支——偏微分方程，一般將達(dá)朗貝爾1747年發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》看作為偏微分方程論的發(fā)端．雖然在達(dá)朗貝爾之前，泰勒和約翰·伯努利等也曾對(duì)弦振動(dòng)進(jìn)行過數(shù)學(xué)描述，但他們均未采用偏導(dǎo)數(shù)概念

(二)偏微分方程

拉格朗日(法國(guó),1958)

包含未知函數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)的等式

偏微分方程理論研究一個(gè)方程(組)是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解,有多少個(gè)解,解的各種性質(zhì)與求解方法,及其應(yīng)用微積分對(duì)弦振動(dòng)等力學(xué)問題的應(yīng)用則引導(dǎo)到另一門61達(dá)朗貝爾在上述論文中則明確推導(dǎo)出了弦的振動(dòng)所滿足的偏微分方程：并給出了形如的通解．達(dá)朗貝爾還討論了初始條件，他堅(jiān)持18世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)概念(即某種解析表達(dá)式)而要求初始函數(shù)和方程的解都是解析的．在達(dá)朗貝爾發(fā)表他的弦振動(dòng)研究后不久，歐拉也做了這方面的工作并寫成一篇論文《論弦的振動(dòng)》(1749年發(fā)表)，歐拉沿用了達(dá)朗貝爾的方法，但引進(jìn)了初始形狀為正弦級(jí)數(shù)達(dá)朗貝爾在上述論文中則明確推導(dǎo)出了弦的振動(dòng)所62的特解與達(dá)朗貝爾不同的是，歐拉允許任意種類的初始曲線，這方面的研究促使他對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行新的思考．幾年之后，約翰·伯努利之子丹尼爾·伯努利(DanielBernoulli，1700—1782)也發(fā)表了他的《弦振動(dòng)問題新思考》(1753)，他假定了所有可能的初始曲線均可表為正弦級(jí)數(shù)，從而弦振動(dòng)問題所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加：的特解與達(dá)朗貝爾不同的是，歐拉允許任意種類的初始曲線，這方63丹尼爾的做法受到了達(dá)朗貝爾與歐拉的激烈反對(duì)，后二者都認(rèn)為并非每一個(gè)函數(shù)均能表示成無窮三角級(jí)數(shù)．這場(chǎng)圍繞著用三角級(jí)數(shù)表示任意函數(shù)的曠日持久的爭(zhēng)論，將許多數(shù)學(xué)家卷了進(jìn)來，直到19世紀(jì)傅里葉級(jí)數(shù)的工作出現(xiàn)以后才告平息．18世紀(jì)獲得的另一類重要的偏微分方程是位勢(shì)方程，這與當(dāng)時(shí)另一類熱門的力學(xué)問題——計(jì)算兩個(gè)物體之間的引力相關(guān)．拉普拉斯在1785年發(fā)表的論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中，引進(jìn)了標(biāo)量函數(shù)y，它與引力分量之間有關(guān)系：稍后(1787)他又給出了這方程直角坐標(biāo)形式這就是所謂“位勢(shì)方程”，現(xiàn)在通常就稱“拉普拉斯方程”．丹尼爾的做法受到了達(dá)朗貝爾與歐拉的激烈反對(duì)，后二者都認(rèn)為并非64歐拉1752年在研究流體內(nèi)部任一點(diǎn)速度問題時(shí)也曾得出同樣的方程，但他不知道怎樣求解，拉普拉斯首先用球調(diào)和函數(shù)解出了位勢(shì)方程．位勢(shì)理論主要是經(jīng)拉普拉斯的工作才引起普遍關(guān)注，并由格林、高斯等發(fā)展為數(shù)學(xué)物理的重要部分．(三)變分法在18世紀(jì)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)新分支中，變分法的誕生最富有戲劇性．變分法起源于“最速降線”和其它一些類似的問題．所謂最速降線問題，就是求出兩點(diǎn)之間一條曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿著它由一點(diǎn)至另一點(diǎn)降落最快(即所需時(shí)間最短)．歐拉1752年在研究流體內(nèi)部任一點(diǎn)速度問題時(shí)65這問題最早由約翰·伯努利提出來向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，刊登在1696年6月《教師學(xué)報(bào)》上．問題提出后半年未有回音，他遂于1697年發(fā)表著名的元旦《公告》，再次向“全世界最有才能的數(shù)學(xué)家”挑戰(zhàn)．《公告》中有一段話說：“能夠解決這一非凡問題的人寥寥無幾，即使是那些對(duì)自己的方法自視甚高的人也不例外”．這段話被認(rèn)為是隱射牛頓的．牛頓于1月29日從造幣局回到住所，從一封法國(guó)來信中看到了伯努利的挑戰(zhàn)，他利用晚飯后的時(shí)間一舉給出了正確的解答——擺線(或稱旋輪線)．牛頓將結(jié)果寫成短文匿名發(fā)表在《哲學(xué)匯刊》上，伯努利看到后拍案驚呼：“從這鋒利的爪我認(rèn)出了雄獅!”差不多同時(shí)，萊布尼茨、洛必達(dá)(G.F.A.L’Hospital，1661—1704)、雅各布·伯努利以及約翰·伯努利本人也都得到了正確的解答，他們的解答都刊登在同年5月的《教師學(xué)報(bào)》上．這問題最早由約翰·伯努利提出來向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，刊登在16966用現(xiàn)代符號(hào)表示，最速降線問題是相當(dāng)于求函數(shù)，使表示質(zhì)點(diǎn)從到下降時(shí)間的積分取最小值，其中g(shù)是重力加速度，α是與初始坐標(biāo)及速度有關(guān)的常數(shù).伽利略曾解過這個(gè)問題，但誤認(rèn)為答案是一段圓?。ｎD和雅各布·伯努利等人的研究意義不僅是在于給出了正確的答案擺線，更重要的是揭示了這一問題區(qū)別于普通極值問題的特征．因此這些工作與同時(shí)期出現(xiàn)的等周問題(求具有給定弧長(zhǎng)的曲線，使其所圍面積最大，屬帶附加條件的變分問題)，測(cè)地線問題(求曲面上兩點(diǎn)之間的最短路徑)等一道標(biāo)志著一門新數(shù)學(xué)分支——變分法的誕生．用現(xiàn)代符號(hào)表示，最速降線問題是相當(dāng)于求函數(shù)67變分法處理的是一個(gè)全新的課題：求變量的極大或極小值，這個(gè)變量(積分)與通常函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，即它的值依賴于未知函數(shù)而不是未知實(shí)數(shù)．也就是說，如果將看作是“函數(shù)”，那么可以說它是“函數(shù)的函數(shù)”．歐拉對(duì)于變分問題給出了一般的處理．他在1744年發(fā)表的《求某種具有極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》一書中，將上述積分取極值的問題看作是求函數(shù)的通常極值當(dāng)時(shí)的極限情形，從而導(dǎo)出了使積分達(dá)到極值的函數(shù)所必須滿足的必要條件，即歐拉(瑞士,1957)變分法處理的是一個(gè)全新的課題：求變量的極大或極小值，這個(gè)變68這個(gè)二階常微分方程后來就叫“歐拉方程”，至今仍為變分法的基本方程．歐拉的工作奠定了變分法的這門新學(xué)科的獨(dú)立基礎(chǔ)．他的變分法在許多地方還依賴于幾何論證．變分法的另一位奠基人拉格朗日則在純分析的基礎(chǔ)上建立變分法．拉格朗日在1760年發(fā)表的《論確定不定積分式的極大和極小值的一個(gè)新方法》中，首創(chuàng)了函數(shù)的“變分”(variation)概念，并用記號(hào)δ表示．他考慮由變化而來的，通過端點(diǎn)與的新曲線(這與歐拉等改變極值化曲線的個(gè)別坐標(biāo)的做法不同)，然后運(yùn)用整個(gè)分析工具導(dǎo)出了使取極值的必要條件：這與歐拉的方程一致．這個(gè)二階常微分方程后來就叫“歐拉方程”，至今仍為變分法的基本69拉格朗日還第一次成功地處理了端點(diǎn)變動(dòng)的極值曲線問題及重積分情形，1770年以后又研究了被積函數(shù)中含有高階導(dǎo)數(shù)的變分問題，這些后來都成為變分法的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容．拉格朗日的工作使由最速降線等特殊問題發(fā)展起來的變分法名符其實(shí)地成為分析的一個(gè)獨(dú)立分支．1786年起勒讓德(法,1752-1833)討論了變分的充分條件1759年拉格朗日(法,1736-1813)引入變分的概念拉格朗日還第一次成功地處理了端點(diǎn)變動(dòng)的極值曲707.418世紀(jì)的幾何與代數(shù)

分析的光芒使18世紀(jì)綜合幾何的發(fā)展暗然失色，但分析方法的應(yīng)用卻開拓出了一個(gè)嶄新的幾何分支——微分幾何，從而改變了18世紀(jì)幾何學(xué)的面貌．“代數(shù)”在18世紀(jì)數(shù)學(xué)家心目中則是“分析”的同義語(yǔ)，他們將分析看作是代數(shù)的延伸，代數(shù)本身的研究有時(shí)便服從于分析的需要．在這樣的情況下，18世紀(jì)代數(shù)學(xué)仍然為下一世紀(jì)的革命性發(fā)展作了必要的準(zhǔn)備．(一)微分幾何的形成

微積分的創(chuàng)始人已經(jīng)利用微積分研究曲線的曲率、拐點(diǎn)、漸伸線、漸屈線等而獲得了屬于微分幾何范疇的部分結(jié)果．但微分幾何成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支主要是在18世紀(jì)．7.418世紀(jì)的幾何與代數(shù)分析的光711731年，十八歲的法國(guó)青年數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步．克萊洛通過在兩個(gè)垂直平面上的投影來研究空間曲線，首先提出空間曲線有兩個(gè)曲率的想法．他認(rèn)識(shí)到一條空間曲線在一個(gè)垂直于切線的平面上可以有無窮多條法線，同時(shí)給出了空間曲線的弧長(zhǎng)公式與某些曲面的面積求法．

歐拉是微分幾何的重要奠基人．他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長(zhǎng)作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)．在《無限小分析引論》第2卷中則引進(jìn)了曲線的參數(shù)表示：歐拉將曲率定義為曲線的切線方向與一固定方向的交角相對(duì)于弧長(zhǎng)的變化率，并推導(dǎo)了空間曲線任一點(diǎn)曲率半徑的解析表達(dá)式1731年，十八歲的法國(guó)青年數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表72歐拉的曲率定義是對(duì)克萊洛引進(jìn)的空間曲線的兩個(gè)曲率之一的標(biāo)準(zhǔn)化(另一個(gè)曲率，現(xiàn)在叫“撓率”，其解析表示到19世紀(jì)初才得到)．歐拉關(guān)于曲面論的經(jīng)典工作《關(guān)于曲面上曲線的研究》(1760)被公認(rèn)為微分幾何史上的一個(gè)里程碑．歐拉正確地建立了曲面的曲率概念．他引進(jìn)了法曲率(法截線的曲率)，主曲率(所有法截線的最大和最小曲率)，并得到了法曲率的歐拉公式(其中是主曲率，α是一法截面與主曲率所在法截面的交角)．1771年以后，歐拉還率先研究了他所謂“可展平在一張平面上”的曲面即可展曲面，導(dǎo)出了可展性的充分必要條件．歐拉的曲率定義是對(duì)克萊洛引進(jìn)的空間曲線的兩個(gè)曲率之一的標(biāo)準(zhǔn)化7318世紀(jì)微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰．蒙日1795年發(fā)表的《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁(yè)論文》是第一部系統(tǒng)的微分幾何著述．蒙日極大地推進(jìn)了克萊洛、歐拉的空間曲線與曲面理論，其特點(diǎn)是與微分方程的緊密結(jié)合．曲線與曲面的各種性質(zhì)用微分方程來表示，有共同幾何性質(zhì)或用同一種方法生成的一簇曲面應(yīng)滿足一個(gè)偏微分方程．蒙日借著這些偏微分方程對(duì)曲面簇、可展曲面及直紋面進(jìn)行研究而獲得了大量深刻的結(jié)果．例如，他給出了可展曲面的一般表示，并說明除了垂直于-平面的柱面外，這種曲面總滿足偏微分方程他還給出了直紋面滿足的三階偏微分方程，利用這些方程的積分，蒙日證明了歐拉未能證明的事實(shí)：可展曲面是特殊的直紋面，并知道逆命題是不成立的．18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高74

與18世紀(jì)大多數(shù)數(shù)學(xué)家不同的是，蒙日不僅是將分析應(yīng)用于幾何，同時(shí)也反過來用幾何去解釋微分方程從而推動(dòng)后者的發(fā)展，他開創(chuàng)了偏微分方程的特征理論，引進(jìn)了探討偏微分方程的幾何工具——特征曲線與特征錐(現(xiàn)稱“蒙日錐”)等，它們至今仍是現(xiàn)代偏微分方程論中的重要概念．

蒙日是18世紀(jì)少有的對(duì)幾何與分析予以同等重視的數(shù)學(xué)家，他和他領(lǐng)導(dǎo)的法國(guó)幾何學(xué)派的工作對(duì)于18世紀(jì)末、19世紀(jì)初綜合幾何的復(fù)興有重要的影響．與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀(jì)也有長(zhǎng)足的進(jìn)步．特別是帕倫(A.Parent)在1705、1713年將解析幾何推廣到三維情形，該項(xiàng)工作被克萊洛所繼續(xù)．解析幾何在18世紀(jì)突破了笛卡兒以來作為求解幾何難題的代數(shù)技巧的界限．與18世紀(jì)大多數(shù)數(shù)學(xué)家不同的是75方程論

17、18世紀(jì)，關(guān)于代數(shù)方程論主要在以下幾個(gè)問題展開：（＊）關(guān)于根的存在性問題，即代數(shù)基本定理的證明。。（＊）尋求解四次以上方程的代數(shù)解法（＊）不解出方程而按照它的系數(shù)去探求它的根的一些性質(zhì)－根與系數(shù)關(guān)系（＊）關(guān)于根的近似計(jì)算。方程論

17、18世紀(jì)，關(guān)于代數(shù)方程論主要在以下幾個(gè)問題展開76(二)方程論及其他

18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程．

在這世紀(jì)的最后一年，年青的高斯(C.F.Gauss,1777-1855)在他的博士論文《每個(gè)單變量有理整函數(shù)均可分解為一次或二次實(shí)因式積的新證明》(1799)中公布了代數(shù)基本定理的第一個(gè)實(shí)質(zhì)性證明，高斯的這一成果可以看作是18世紀(jì)方程論的一個(gè)漂亮的總結(jié)．代數(shù)基本定理斷言:次代數(shù)方程恰有個(gè)根.它最早是由荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾(A.Girard)于1629年提出，后經(jīng)笛卡兒、牛頓等眾多學(xué)者反復(fù)陳述、應(yīng)用，但均未給出證明．到18世紀(jì)，由于有理函數(shù)的積分涉及多項(xiàng)式的因式分解，又強(qiáng)烈刺激了數(shù)學(xué)家們證明這一定理的愿望．歐拉、拉格朗日等名家都先后試過身手，竟均告敗北．(二)方程論及其他18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然77高斯的證明另辟新徑，他將多項(xiàng)式方程的根與復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，并說明它們是某些曲線的交點(diǎn)，然后證明了交點(diǎn)必然存在．高斯的這個(gè)證明是純粹存在性的，而在他之前，自古希臘以來幾乎所有的數(shù)學(xué)家都是通過實(shí)際構(gòu)造出一個(gè)問題的解來顯示其存在．當(dāng)然高斯的第一個(gè)證明在邏輯上仍不完美，其中用到了與連續(xù)函數(shù)和代數(shù)曲線連續(xù)性有關(guān)的事實(shí)而未作證明，他只是說“據(jù)我所知，沒有人對(duì)此表示懷疑”．高斯后來又給出了代數(shù)基本定理的另外三個(gè)不同的證明．

18世紀(jì)代數(shù)方程論發(fā)展的另一個(gè)方向是高次方程根式可解性問題的探討．這個(gè)文藝復(fù)興以來的難題，不像代數(shù)基本定理那樣幸運(yùn)，能夠在18世紀(jì)奏響解決的凱歌，但這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們還是做出了歷史性貢獻(xiàn)，其中拉格朗日的工作最為重要．高斯的證明另辟新徑，他將多項(xiàng)式方程的根與復(fù)平78拉格朗日在1770年發(fā)表長(zhǎng)篇論文《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，他在其中探討一般三、四次方程能根式求解的原因，發(fā)現(xiàn)三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為原三次方程根的函數(shù)，并且在根的置換下僅取兩個(gè)值；四次方程則有一個(gè)三次輔助方程，其解在原方程根的置換下僅取三個(gè)不同值。他稱這些輔助方程的解為原方程根的“預(yù)解函數(shù)”，并試圖進(jìn)一步將上述方法推廣到五次和五次以上的方程．他繼續(xù)尋找五次方程的預(yù)解函數(shù)并希望它是低于五次的方程的解，但沒有成功，因而猜測(cè)高次方程一般不能根式求解．拉格朗日最有啟發(fā)性的思想是研究根的對(duì)稱函數(shù)并考慮一個(gè)有理函數(shù)當(dāng)其變量發(fā)生置換時(shí)取值的個(gè)數(shù)，這蘊(yùn)含了置換群的概念．到了這個(gè)世紀(jì)的最后一年，意大利的魯菲尼(P．Ruffini，1765—1822)用拉格朗日的方法證明了不存在一個(gè)預(yù)解函數(shù)能滿足一個(gè)次數(shù)低于五次的方程，并明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解．拉格朗日在1770年發(fā)表長(zhǎng)篇論文《關(guān)于代數(shù)方7918世紀(jì)代數(shù)方程發(fā)展的第三個(gè)方向是方程組理論．

首先是線性方程組與行列式理論．萊布尼茨的行列式及其在線性方程組消元中的應(yīng)用的思想得到了發(fā)展．瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(G.Cramer，1704—1752)在《代數(shù)曲線分析引論》(1750)一書中提出了由系數(shù)行列式來確定線性代數(shù)方程組解的表達(dá)式的法則，就是我們今天常用的“克拉默法則”

行列式理論后來被法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德(A.J.Vandermonde，1735—1796)系統(tǒng)化了．范德蒙德的研究(1772)使行列式與線性方程組求解相分離而成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象，因此他被認(rèn)為是行列式理論的奠基人．范德蒙德也將行列式用于線性方程組求解，并給出了一條法則，用二階子行列式及其余子式來展開行列式，這法則后來被拉普拉斯推廣到一般情形而稱為“拉普拉斯展開”．范德蒙德也是最早注意到研究代數(shù)方程根的對(duì)稱函數(shù)對(duì)于解決四次以上方程根式求解問題的重要性的學(xué)者之一，因而在數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)中，常常與拉格朗日一起被列為群論的先行者．18世紀(jì)代數(shù)方程發(fā)展的第三個(gè)方向是方程組理論．80與方程論相聯(lián)系的是人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)．18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還談不上有完整的數(shù)系概念和建立數(shù)系的企圖．他們?cè)诰唧w的研究中已經(jīng)認(rèn)識(shí)了整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)和復(fù)數(shù)，但對(duì)接受負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)還存在疑慮與爭(zhēng)議．18世紀(jì)在弄清復(fù)數(shù)的意義方面是有功績(jī)的．達(dá)朗貝爾在1747年關(guān)于一切復(fù)數(shù)均可以表示成形式的斷言也被多數(shù)人接受，雖然他的論證還不夠嚴(yán)密；高斯對(duì)代數(shù)基本定理的證明假定了復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，這也加強(qiáng)了復(fù)數(shù)的地位.但是，籠罩著虛數(shù)的疑云，要等到復(fù)數(shù)的幾何表示明確地建立起來并獲得廣泛傳播之后才能被驅(qū)散．1806年瑞士人阿爾岡(R．Argand)、1831年高斯各自獨(dú)立地發(fā)表了關(guān)于復(fù)數(shù)幾何表示的研究，其中高斯的工作對(duì)于人們普遍接受復(fù)數(shù)概念影響尤大．但即使是這樣，1831年倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授德摩根(A.DeMorgan，1806---1871)在《論數(shù)學(xué)的研究和困難》一文中仍認(rèn)為虛數(shù)和負(fù)數(shù)“二者都是同樣的虛構(gòu)，因?yàn)楹?為正數(shù))同樣是不可思議的”．與方程論相聯(lián)系的是人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)．18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還8118世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無理數(shù)的邏輯基礎(chǔ)方面沒有進(jìn)展，但他們以相對(duì)平靜的態(tài)度接受了一些數(shù)的無理性．歐拉在1737年證明了e是無理數(shù)．他的證明以連分式為基礎(chǔ)．因?yàn)樗呀?jīng)證明了每一個(gè)有理數(shù)都能表示成一個(gè)有限的連分式，所以e必定是無理數(shù)．1761年蘭伯特(J.G.Lambert，1728—1777)用類似方法證明了是無理數(shù)．稍后勒讓德甚至猜測(cè)說可能不是任何有理系數(shù)方程的根．這促使數(shù)學(xué)家們將無理數(shù)區(qū)分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)．任何有理系數(shù)代數(shù)方程的任何一個(gè)根叫代數(shù)數(shù)(包括了全體有理數(shù)和一部分無理數(shù))．不是代數(shù)數(shù)的數(shù)叫做超越數(shù)，因?yàn)闅W拉說過：“它們超越了代數(shù)方法的能力”．18世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無理數(shù)的邏輯基礎(chǔ)方面沒有82但在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們還沒有找到任何一個(gè)具體的超越數(shù)．直到1844年，法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾(J.Liouville，1809—1882)才第一次真正地顯示了超越數(shù)的存在，他證明了形如(三)數(shù)論進(jìn)展近代意義的數(shù)論研究是從費(fèi)馬開始的．費(fèi)馬提出了一堆定理，這些定理，毋寧說是猜想，因?yàn)橘M(fèi)馬只對(duì)其中個(gè)別命題留下了自己的證明．這些猜想，使數(shù)學(xué)家們忙碌了好幾個(gè)世紀(jì)，有的至今仍為現(xiàn)代數(shù)論饒有興趣的課題。的數(shù)都是超越數(shù)．1873年和1882年，法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼(C.L.F．Lindemann，1852—1939)又分別證明了e和的超越性．但在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們還沒有找到任何一個(gè)具體的超越數(shù)．直到183

費(fèi)馬(Fermat,P.1601—1665)費(fèi)馬1601年生于法國(guó)南部圖魯斯附近的波蒙，父親是個(gè)商人，費(fèi)馬從小就受到良好的家庭教育．他在大學(xué)攻讀法律，畢業(yè)后當(dāng)了律師．費(fèi)馬結(jié)交了不少數(shù)學(xué)高手和哲學(xué)家，參加聚會(huì)，討論科學(xué)、研究數(shù)學(xué)，還經(jīng)常和友人通信交流數(shù)學(xué)研究工作的信息，但對(duì)發(fā)表著作非常淡漠．費(fèi)馬在世時(shí)，沒有完整的著作問世．當(dāng)他去世后，他的兒子將費(fèi)馬的筆記、批注及書信加以整理匯成《數(shù)學(xué)論集》在圖魯斯出版．費(fèi)馬為解析幾何與微積分的創(chuàng)立作出了實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)．從費(fèi)馬與羅伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡爾《幾何學(xué)》發(fā)表前至少８年就已相當(dāng)清晰地掌握了解析幾何一些基本原理。費(fèi)馬(Fermat,P.1601—1665)84下面是費(fèi)馬提出的部分“定理”．(1)費(fèi)馬小定理：如果是素?cái)?shù)，與互素，則可以被整除．(2)費(fèi)馬大定理：方程對(duì)任意大于2的自然數(shù)無整數(shù)解．這是費(fèi)馬在1640年10月18日致德貝西(B.FrenicledeBessy)的一封信中提出的．1736年由歐拉證明。這是費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)做的頁(yè)邊批注。費(fèi)馬在批注中稱：“我已找到了一個(gè)奇妙的證明，但書邊空白太窄，寫不下”．從那時(shí)起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血。下面是費(fèi)馬提出的部分“定理”．(1)費(fèi)馬851753年，歐拉在致哥德巴赫(CGoldbach，1690—1764)的一封信中宣布證明了時(shí)的費(fèi)馬大定理，歐拉的證明后發(fā)表在他的《代數(shù)指南》(1770)一書中．直到1994年9月，才由英國(guó)40歲的年輕數(shù)學(xué)家維爾斯(A.Wiles)解決．

(3)費(fèi)馬數(shù)：，n=0,1,2,3,…．費(fèi)馬在1640年給梅森的一封信中斷言這樣的數(shù)永遠(yuǎn)是素?cái)?shù)．”歐拉在1732年推翻了這一結(jié)論，他證明當(dāng)n=5時(shí)，有一個(gè)因子是641。1753年，歐拉在致哥德巴赫(CGoldbach，1690—86

18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們也提出自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想與華林問題．

德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫與歐拉有長(zhǎng)達(dá)35年的書信交往，許多重要成果就是通過這種方式記錄下來．哥德巴赫(C.Goldbach)并不是職業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個(gè)喜歡研究數(shù)學(xué)的富家子弟。他于1690年生于德國(guó)哥尼斯堡，受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結(jié)交數(shù)學(xué)家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們也提出自己的猜想，其中87哥德巴赫

哥德巴赫（1690.3.18～1764.11.20）是德國(guó)數(shù)學(xué)家曾在英國(guó)牛津大學(xué)學(xué)習(xí)；原學(xué)法學(xué)，由于在歐洲各國(guó)訪問期間結(jié)識(shí)了貝努利家族，所以對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了興趣；曾擔(dān)任中學(xué)教師。1725年到俄國(guó)，同年被選為彼得堡科學(xué)院院士；1725年～1740年擔(dān)任彼得堡科學(xué)院會(huì)議秘書；1742年移居莫斯科，并在俄國(guó)外交部任職。曾提出著名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫哥德巴赫（1690.3.881742年6月7日哥德巴赫在給歐拉的一封信中寫道：“我不相信關(guān)注那些雖沒有證明但很可能正確的命題是無用的，即使以后它們被驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，也會(huì)對(duì)發(fā)現(xiàn)新的真理有益．”然后他說“我也想同樣冒險(xiǎn)提出一個(gè)假設(shè)”．哥德巴赫的假設(shè)相當(dāng)于說：每個(gè)偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)和；每個(gè)奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和．這就是著名的哥德巴赫猜想．哥德巴赫的原始陳述相當(dāng)含糊，歐拉將其進(jìn)一步明確化，但卻未能證明這個(gè)命題．上述的形式是英國(guó)數(shù)學(xué)家華林(E,Waring，1734—1798)在他的《代數(shù)沉思錄》(1770)中首先給出的．華林在同一著作中還提出了他自己的一個(gè)猜想：任一自然數(shù)可表示成至多個(gè)數(shù)的次冪之和，即,其中為自然數(shù)，依賴于．1742年6月7日哥德巴赫在給歐拉的一封信中89華林舉出了一些特例，如每個(gè)自然數(shù)或者是4個(gè)平方數(shù)之和，或者是9個(gè)立方數(shù)之和，或者是19個(gè)四次方數(shù)之和，等等，但均未給出證明．此猜想后以“華林問題”著稱。華林問題1909年才由希爾伯特首次證明，哥德巴赫猜想則至今懸而未決．18世紀(jì)數(shù)論還有兩項(xiàng)深刻的工作需要特別提到，它們都屬于歐拉．一個(gè)是歐拉在1737年導(dǎo)出的恒等式其中取遍所有的正整數(shù)，取遍所有素?cái)?shù)．歐拉是利用算術(shù)基本定理(即每個(gè)合數(shù)可以唯一地表示素?cái)?shù)的乘積)證明這一恒等式的，并用這一恒等式證明了素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無窮．該恒等式在數(shù)論與分析之間架起了橋梁，是解析數(shù)論的肇端．右式函數(shù)后被黎曼推廣到取復(fù)值的情形，現(xiàn)稱黎曼ζ函數(shù)，是現(xiàn)代解析數(shù)論的主要工具．（）華林舉出了一些特例，如每個(gè)自然數(shù)或者是4個(gè)平方數(shù)之和，或者是90歐拉另一項(xiàng)工作是他在1743年發(fā)現(xiàn)的二次互反律．二次互反律誠(chéng)如歐拉本人預(yù)言的那樣，在19世紀(jì)成為數(shù)論研究的重要課題并引出了“許多偉大的結(jié)果”，從而開啟了數(shù)論的一個(gè)新領(lǐng)域——代數(shù)數(shù)論．18世紀(jì)的數(shù)論是一些分散但卻引人人勝的結(jié)果與猜想的記錄，也許在17、18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們提出的數(shù)論問題比解決的更多些，然而我們已經(jīng)并將進(jìn)一步看到，19世紀(jì)數(shù)論兩大領(lǐng)域——解析數(shù)論與代數(shù)數(shù)論的系統(tǒng)發(fā)展，都可以在18世紀(jì)找到根源．從17世紀(jì)初開始，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了近兩個(gè)世紀(jì)的開拓．在18世紀(jì)行將結(jié)束的時(shí)候，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己從事的這門科學(xué)卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒．歐拉另一項(xiàng)工作是他在1743年發(fā)現(xiàn)的二次互反91拉格朗日在1781年寫給達(dá)朗貝爾的一封信中說：“在我看來似乎(數(shù)學(xué)的)礦井已經(jīng)挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢(shì)必放棄它，……科學(xué)院中幾何學(xué)(指數(shù)學(xué))的處境將會(huì)有一天變成目前大學(xué)里阿拉伯語(yǔ)的處境一樣，那也不是不可能的”．歐拉和達(dá)朗貝爾同意拉格朗日的觀點(diǎn)．法國(guó)法蘭西學(xué)院一份《關(guān)于1789年以來數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)展的歷史及其現(xiàn)狀的報(bào)告》更是預(yù)測(cè)在數(shù)學(xué)的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細(xì)枝末節(jié)完善化看來是剩下來唯一可做的事情了，所有這些困難好象是宣