精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)初中幾何模型與解法：等面積法教學(xué)目標(biāo)1、學(xué)會尋找同一個圖形兩種計算面積的方法，列出等量關(guān)系；2、學(xué)會運用等面積法建立等式求解線段長或證明線段之間的數(shù)量關(guān)系3、學(xué)會運用等面積法巧妙求解一些不規(guī)則圖形的面積重、難點重點：運用等面積法建立等式；難點：運用等面積法巧妙求解一些不規(guī)則圖形的面積知識導(dǎo)圖知識梳理系，甚至求解不規(guī)則圖形的面接！技巧歸納：1、當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個（或者以上）2、計算多邊形面積的常用方法：(1)面積計算公式(2)對于公式⑤的證明（如右圖）：+S=S△ABD+S+===*(3)割補法：將不規(guī)則圖形“分割或補全’為規(guī)則圖形.導(dǎo)學(xué)一：等面積法在直角三角形的應(yīng)用知識點講解1在直角三角形中，兩條直角邊、斜邊以及斜邊上的高，知道任意兩個可以運用勾股定理、等面積思想求出剩余兩個。如圖：基本公式:①勾股定理:②等面積法：證明②：即： ,例題如圖，在RtABC,∠C=90°，當(dāng)直角邊AC=4，斜邊AB=5AB上的高CD?【參考答案】=又∵ =又∵ ABC=ACAB∴該直角三角形斜邊AB上的高CD=如圖，在RtABC(BCAC),∠C=90°，AB=10cm，斜邊AB上的高CD=4.8cm時，求該直角三角形直角邊AC和BC的長度?【參考答案】解：設(shè)AC=x,BC=y,(y由勾股定理： = =100又∵ABC=AC AB ∴xy=48再由 .得到 解得：答：AC=6，BC=8同步練習(xí)如圖，在RtABC,∠C=90°，且AC=24,BC=7，作ABC線交于點P，再過點P依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F.(1)求證：PD=PE=PF;(2)求出：PD的值.【參考答案】

（1）證明∵AP平分∠CAB，且PD⊥AB,PF⊥AC∴PD=PF同理，PD=PE綜上，PD=PE=PF（2）解：=5設(shè)：PD=PE=PF=d ABC=AC=84sp; ABC&en=APBBPCCPA84=++d=3,PD=3如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則BC高為（）C、B、 D、C、A、【參考答案】C×2×3?×2×1?×2×4＝4∵BC＝ ＝ ，∴BC邊長的高＝ 故選：C．導(dǎo)學(xué)二：等面積法在等腰三角形的應(yīng)用知識點講解1探索出線段之間的數(shù)量關(guān)系！例題如圖,在△ABC中,AB=AC,AC邊上的高BD=10cm.（1）如圖1,求AB邊上高CE的長；（2）如圖2,若點P為BC邊上任意一點,PM⊥AB于點M,PN⊥AC于點N,求PM+PN的值；（3）如圖3,若點P為BC延長線上任意一點,PM⊥AB于M,PN⊥AC于點N,在①PM+PN；②PMPN中有一個是定值,判斷出來并求值.【參考答案】(1)由S△ABC=×AB×CE=×AC×BD∵AB=AC,BD=10∴CE=10(2)如圖，連接AP由S△ABP+S△ACP=S△ABC×AB×PM+×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM+PN=10(3)如圖，連接APPM?PN是定值理由如下：連接AP,由S△ABP?S△ACP=S△ABC×AB×PM×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM?PN=10已知等邊△ABC和內(nèi)部一點P，設(shè)點P到△ABC三邊的AB、BC、AC離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，問h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由?！緟⒖即鸢浮咳鐖D：解：h＝h1＋h2＋h3，理由如下：連接AP、BP、CP，則S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＋S△ACP∴BCAM＝ABPD＋ CPF＋ CPE即BCh＝ABh1＋ Ch2＋ C又∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC∴h＝h1＋h2＋h3同步練習(xí)已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是PDh1，PEh2，PFh3，△ABC的高AM為h，若點P在△ABC外，此時h1、h2、h3與h理由.【提示】連接AP、BP、CP，則S△ABC＝S△ABP＋S△ACPS△BPC如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且AE＝AD，點P是BE上任一點于點N，PM⊥AC于點M，若正方形ABCD的面積是12，證明PM＋PN是一個定值，并且計算出這個定值．【參考答案】如圖③，連接AP，過E作EF⊥AB于F，∵正方形ABCD的面積是12，∴AB＝AE＝AD＝2，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝ =，∵S△AEB＝S△AEP＋S△ABP，AB?EF＝AB?PN＋∵AE＝AB，∴PM＋PN＝EF＝導(dǎo)學(xué)三：等面積法在勾股定理中的應(yīng)用知識點講解1勾股定理的證明充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”，它有500多種證明方法，但幾乎每一種都要用到等面積思想.從幾何角度認(rèn)識代數(shù)關(guān)系，用等面積思想建立等式進行推導(dǎo)！勾股定理描述的是三邊的平方關(guān)系=因此只要以這個直角三角形三邊往外所作圖形的面積根對應(yīng)邊的平方正比（S小=k，S中=k,S大=k,k是常數(shù)）就會有較小的兩個圖形的面積之和等于較大者的面積.(即：kk=k，簡記為：S小S中S大）例題請您運用右下圖和如下四個輔助定理：（1）如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組對應(yīng)邊所夾的角相等，則兩三角形全等（SAS）；（2）三角形面積是任一等底等高的平行四邊形面積的一半；（3）任意一個正方形的面積等于其邊長的平方；（4）任意一個矩形的面積等于其相鄰兩邊長的乘積；證明勾股定理： =【參考答案】

如手拉手模型圖：因為：△FBC≌△ABD(SAS)△BCI≌△ECA(SAS)所以可設(shè)：FBC=ABD=xBCI=ECA=y如上圖：因為：FBC=ABD=xABFG=2FBC=2xBDLK=ABD=2x所以：ABFG=2x= BDLK如上圖：因為：BCI=ECA=yACIHBCI=KLECECA=所以：ACIH=2yACIH=2yKLEC于是：ABFG=BDLKACIHKLECBDLKKLEC=BDEC進一步：ABFGACIH=更進一步：=如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，分別以△ABC分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1＝S2＋S3如圖②，在△ABC中，∠C＝90°，分別以△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3S1，S2，S3之間有什么關(guān)系：（不必證明,直接寫出）如圖③，△ABC中，∠C＝90°，分別以△ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1，S2，S3定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明（3）利用圖①的結(jié)論，解決下列問題：如圖④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S4．則S1＋S2＋S3＋S4＝ .【參考答案】

解：（1）如圖②，分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2＋S3，理由為：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，∴BC2，即S1＝S2＋S3；如圖（3），分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，S1S2、S3之間的關(guān)系為S1＝S2＋S3，理由為：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，∴BC2，即S1＝S2＋S3；（3）如圖：過F作AM的垂線交AM于D，可證明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝SRt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可進一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1＋S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．易證Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝SRt△ABC，∴S1＋S2＋S3＋S4＝（S1＋S3）＋S2＋S4＝SRt△ABC＋SRt△ABC＋SRt△ABC＝SRt△ABC×3＝5×8÷2×3＝60．故答案為：60．同步練習(xí)分面積是（）A、16 B、25 C、144 D、169【參考答案】B【題目解析】如圖所示：根據(jù)勾股定理得出：AB＝＝∴EF＝AB＝5，∵=∴陰影部分面積是25，故選：B.如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個正三角形，則圖中S1、S2、S3、的關(guān)系為（）A、S1＋S2＋S3＝S4 B、S1＋S2＝S3＋S4 C、S1＋S3＝S2＋S4 D、不能確定【參考答案】C【題目解析】如圖所示：設(shè)Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形，∴S1＝S△ACG?S5＝ S3＝S△BCH?S6＝ a2?S5，∴S1S3= 2b2)S5?S6∵S2＋S4＝S△ABF?S5?S6＝c2S5?S6且∴S1S3=S2＋S4故選C.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2時，則陰影部分的面積為（）A、4 B、4π C、8π D、8【參考答案】A【題目解析】如圖所示：設(shè)以AB、AC、BC為直徑的半圓面積分別為：、、其中O、Q、P分別是它們的圓心.則陰影部分面積= ++又∵ ,且 =∴+∴陰影部分面積== AC故選A.有一個面積為1生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過第二次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A、1 B、2018 C、2019 D、2020【參考答案】D【題目解析】勾股樹的本質(zhì)是三個正方形之間的等面積關(guān)系導(dǎo)學(xué)四：等面積法在其它圖線中的應(yīng)用知識點講解1建立等式進行突破！如上圖，若GF=ED，且△PFG的面積△PED的面積,則可以證明射線BP平分 ,讀者自行證明.例題如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABCDE⊥AB于點E，AF⊥BC于點F，若DE＝2，則AF的長為（）A、3 B、 C、 D、【參考答案】B【題目解析】如圖：作DH⊥BC于H∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，△ABD的面積＋△CBD的面積＝△ABC的面積，∴×4×2＋×6×2＝×6×AF，解得，AF＝ ，故選：B平行線分線段成比例亦稱“平行截割定理”.平面幾何術(shù)語是指“三條平行線截兩條直線，所得的四條線段對應(yīng)成比例”.如圖，已知∥∥，請連接輔助線AE、BD、CE、BF作高EH⊥AC于H,BG⊥DF于G后，請您從面積的角度去證明 .【參考答案】證明：如圖，∥S△ABE=S△DEB①S△BCE=S△EFB知綜上得：知綜上得：同理知：知：即：【題目解析】平行線之間的等面積抓住同底等高，把面積作商，約分后就得到線段之間的比例同步練習(xí)如圖,把△ABC的BA邊延長1倍到點D,AC邊延長2到點F，點CB邊延長3倍到點E,連接DE、EF、FD,得到△DEF.已知△DEF的面積為54,△ABC的面積是.A、1B、3C、6D、9【參考答案】如圖，連接CD、AE、BF設(shè) ，則 , ,進一步∵，，=∴即【題目解析】

等面積思想建立等式由 ，推出如圖BE、CF分別是ABC的中線，且AM⊥CF于M，AN⊥BE于N，求證：AM=AN。【參考答案【題目解析

∵BE、CF分別是ABC的中線∴∴,同理∴∴即且BE=CF,∴AM=AN等面積思想建立等式由 ，推出課后練習(xí)如左圖，在直角三角形中，任意一個銳角“∠A的對邊與斜邊的比”叫做∠A的正弦，記作SinA（由英語sine簡寫），即SinA= .再看右圖，在22正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均格點上，則SinCAB=().B、C、A、 D、B、C、【參考答案】B【題目解析】如圖：過C作CD⊥AB，根據(jù)勾股定理得：AB＝ ＝ ，S△ABC＝4?1??1＝＝CD?AB＝CD? 解得：CD＝則SinCAB已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥BD于點E，PF⊥AC于點F，則PE＋PF等于（）.C、A、 B、 D、C、【參考答案】C【題目解析】解：如圖，連接PO，∵矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，AC＝ ＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝ ，∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA?PE＋OD?PF＝OA（PE＋PF）＝××（PE＋PF）＝15，∴PE＋PF＝ 故選：C．如圖已知四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，且AC＝6，BD＝8．AE⊥BC于E，則AE＝（）A、5 B、 C、 D、4【參考答案】B【題目解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴BC＝＝5，∵?AC?BD＝BC?AE，∴AE＝ 故選：B．正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積為S2，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S5的值為（）B、A、 B、C、 D、【參考答案】A【題目解析】在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，∴DE2＋CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2＋S2＝S1．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，∴Sn＝ ．當(dāng)n＝5時，S5＝ ＝故選：A．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是ADOB、OC，點E在線段BC上（點E不與點B、C重合），過點E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，則EM＋EN的值為（）A、6 B、1.5【參考答案】D【題目解析】

C、 D、解：連接OE，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°，∵O是AD的中點，∴AO＝DO＝1，∴OB＝OC＝＝，∵△OBE的面積＋△OCE的面積＝△OBC的面積，∴OB?EM＋OC?EN＝BC?AB，∴（EM＋EN）×＝解得：EM＋EN＝ ；故選：D．對任意Rt△ABC，∠A,∠B,∠C的對邊依次記為a、b、c，且∠C=90°，斜邊c為h.證明： .【參考答案】即： ,又由勾股定理： =∴∴即:【題目解析】勾股定理，結(jié)合等面積法聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2證明：連結(jié)DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b?a∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab．又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a（b?a）∴b2＋ab＝c2＋a（b?a）∴a2＋b2＝c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2＋b2＝c2．【參考答案】證明：如圖：連結(jié)BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF＝b?a，∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a（b?a），∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a（b?a），∴a2＋b2＝c2．【題目解析】勾股定理的證明，典型的等面積法（1）如圖1，已知△ABC的面積是30，CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，CD、BE相交于點O，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連結(jié)AO，由AD＝DB得：S△ADC＝＝15，S△ADO＝S△BDO，同理：S△ABE＝S△ABC＝15，S△AEO＝S△CEO，設(shè)S△ADO＝x，S△AEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，由題意，可列方程組為： ，通過解這個方程組可求得四邊形ADOE的面積為 ．（2）如圖2，△ABC的面積是36，D、E分別是邊AB、AC邊上的點，且AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，請你計算四邊形的面積．如圖3，?ABCD中，E是BC上一點，F(xiàn)是AB上一點，AE＝CF，AE與CF交于點P，連結(jié)PD．求證：PD平分∠APC．【參考答案】

解：（1）由 可得 ，∴S四邊形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋y＝10．故答案為10．（2）如圖2中，連結(jié)AO．∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，由題意得：S△ABE＝S△ABC＝24，S△ADC＝可得 ∴S四邊形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋2y＝．（3）證明：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并連接DF和DE，如圖3中：則由S△ADE＝＝則由S△ADE＝＝可得：＝，又∵AE＝FC，可得DQ＝DG，∵DQ⊥AE，DG⊥CF，∴∠DPA＝∠DPC，∴PD為∠APC的角平分線【題目解析】現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考壓軸題自我測試如圖，從△ABC各頂點作平行線AD∥EB∥FC，長線相交于D，E，F(xiàn)．若△ABC的面積為1，則△DEF的面積為（）A、3 B、 C、2.5 D、2【參考答案】D【題目解析】證明：∵AD∥BE，AD∥FC，F(xiàn)C∥BE，∴△ADE和△ABD在底邊AD上的高相等，△ADF和△ADC在底邊AD上的高相等，△BEF和△BEC在底邊BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF?S△ABE＝S△BEC?S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE＋S△ADF＋S△AEF＝S△ABD＋S△ADC＋S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故選：D．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝8，CF＝3，那么＋PH的值為 .【參考答案】4【題目解析】過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖：∵