利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。一、例題分析1、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式例1、證明下列不等式（1）；（2）；（3）2、變形后再作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式例2、求證：().3、直接求兩個(gè)函數(shù)最值證明不等式例3、證明：當(dāng)時(shí)，有4、尋找中間量證明不等式例4、求證：．5、代換法構(gòu)造函數(shù)證明不等式例5、證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立. 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式練習(xí)證明下列不等式（1）；（2）；（3），；（4），.2、已知函數(shù)，求證：對(duì)任意的正數(shù)、恒有3、設(shè)、是兩個(gè)不相等的正數(shù)，求證：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。一、例題分析1、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式例1、證明下列不等式（1）；（2）；（3）（3）證明：令，其中∴當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最大值為，因此，當(dāng)時(shí)，，即∴（右面得證），現(xiàn)證左面，令，當(dāng)，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，∴當(dāng)時(shí)，，即∴，綜上可知，當(dāng)2、變形后再作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式例2、求證：().設(shè)，得g′(x)＝eq\f(x2－1＋lnx,x2).當(dāng)0<x<1時(shí)，x2－1<0，lnx<0，所以g′(x)<0，得g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，得g(x)單調(diào)遞增．所以，得欲證結(jié)論成立.解法2：即證(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，也即證(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).設(shè)，可得.進(jìn)而可得，所以欲證結(jié)論成立.3、直接求兩個(gè)函數(shù)最值證不等式例3、證明：當(dāng)時(shí)，有證明：即證，設(shè)，得．設(shè)，得．注：欲證是區(qū)間)，只需證明；欲證是區(qū)間)，只需證明，或證明且兩個(gè)最值點(diǎn)不相等.4、尋找中間量證不等式例4、求證：．分析：用前兩種方法都不易解決.設(shè)，我們想辦法尋找出一個(gè)函數(shù)，使得且兩個(gè)等號(hào)不是同時(shí)取到.當(dāng)然，函數(shù)越簡(jiǎn)潔越好.但不可能是常數(shù)(因?yàn)楹瘮?shù)的值域是R)，所以我們可嘗試能否為一次函數(shù)，當(dāng)然應(yīng)當(dāng)考慮切線(xiàn).如圖2所示，可求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)是，進(jìn)而可得；還可求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是，進(jìn)而可得.圖2進(jìn)而可用導(dǎo)數(shù)證得且兩個(gè)等號(hào)不是同時(shí)取到，所以欲證結(jié)論成立.解法2：（設(shè)而不求)設(shè)，得.可得是增函數(shù)(兩個(gè)增函數(shù)之和是增函數(shù))，且，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，即有，所以(因?yàn)榭勺C)所以欲證結(jié)論成立.5、換元法構(gòu)造函數(shù)證明例5、證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立.分析：從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。證明：令，則在上恒正，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，恒有即，∴對(duì)任意正整數(shù)n，取 二、鞏固練習(xí)證明下列不等式（1），；（2）；（3）（4），（5），（1）【證】設(shè)，即，則=當(dāng)時(shí)，=從而在上為增函數(shù)，∴∴當(dāng)時(shí)，即，故在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方。記F(X)=f(x)－(1+x)=則F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又h(x)在x=0處連續(xù),∴h(x)>h(0)=0即F′(x)>0,∴F(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù),∴F(x)>F(0)=0,即2、已知函數(shù)，求證：對(duì)