勾股定理專題練習第一部分知識梳理一、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)TOC\o"1-5"\h\z1、直角三角形的定義：有一個角是直角，的三角形叫做解直角三角形 ^2、直角三角形的性質(zhì) 月⑴角：兩銳角__即/A+/B= 0⑵邊：三邊關(guān)系滿足 ,即^ J⑶含30°的直角三角形：30°所對的直角邊是的一半。］ 人C⑷斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系：直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的。二、直角三角形的判定1、三角形中，如果兩角之和等于第三個角，那么這個三角形是,2、三角形中，如果兩角之差等于第三個角，那么這個三角形是,3、三角形中，如果三邊滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是,4、三角形中，如果一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是三、其他1、了解一些勾股數(shù) 2、利用勾股定理求值3、利用勾股定理的逆定理，來判定一個三角形是直角三角形4、與三角函數(shù)聯(lián)系在一起。第二部分中考鏈接、選擇題（20187t島）如圖，三角形紙片ABC,AB=AC,/BAC=90，點E為AB中點.沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕相交于點F.已知EF=2,則BC的長是（ ）A.乎 B,372 C.3 D,3^31題圖 2題圖 3題圖 4題圖（2018?甯博）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則4ABC的面積為（2573a.2573a.g號25V3B.94—y^C.18+25^3.（2018緘海）矩形ABCD與CEFG,如圖放置，點B,C,E共線，點C,D,G共線,連接AF,取AF的中點H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,WJGH=(A.1BiDA.1BiD?吟（2018濱州）如圖，/AOB=60，點P是/AOB內(nèi)的定點且OP=73，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則^PMN周長的最小值是（ ）3.6B3.6B3.32 , 2C.6D.3(2018臨沂)如圖，/ACB=90°, AC=BC.AD±CE, BEXCE,垂足分別是點 D、E,AD=3,BE=1,則DE的長是( )A.3B-2C-2722D. J105題圖 6題圖 7題圖 8題圖5題圖 6題圖 7題圖 8題圖6.（20189岡）如圖，在RtAABC中，/ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線，AD=2,CE=5,則CD=( )A.2B.3C.4D,273（2019山東聊城）如圖，在等腰直角三角形 ABC中，/BAC=90°,一個三角尺的直角頂點與 BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點 A和點B,將三角尺繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當三角尺的兩直角邊與AB,AC分別交于點E,F時，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A.AE+AF=ACB./BEO+/OFC=180。C.OE+OF;及BCD.S四邊形AEOF=_8AABC2 2（2019山東濱州）如圖，在^OAB和^OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,/AOB=/COD=40°,連接AC,BD交于點M,連接OM.下列結(jié)論：①AC=BD;②/AMB=40°;③OM平分/BOC;④MO平分/BMC.其中正確的個數(shù)為（ ）A.4B.3C.2D.1（2019南通）小明學(xué)了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進行練習：首先畫數(shù)軸，原點為 Q在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A,然后過點A作ABLOA使AB=3（如圖）.以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧,交數(shù)軸正半軸于點P,則點P所表示的數(shù)介于（）A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間（2019寧波）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖2的方式放置在最大正方1,2的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A.形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積C.較小兩個正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和10題圖11題圖11C.較小兩個正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和10題圖11題圖11.（2019河南）如圖，在四邊形2題圖 3題圖 4題圖 5題圖5.（2018砥底）如圖，△ABC中,AB=AC,ADLBC于D點，DELAB于點E,BFXACABC珅，ADBC,ZD=90°,AD=4,BG=3.分別以點A,C為圓心，大一1于一AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點Q若點O是AC的中點，則CD2的長為（）A.2J2 B.4 C.3D.Vi0二、填空題（2018徐安）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊，點A落在A'處，若EA′的延長線恰好過點C,則sin/ABE的值為.（2018臨沂）如圖，在？ABCD中，AB=10,AD=6,AC±BC,貝UBD=.（2018?合爾濱）在^ABC中，AB=AC,/BAC=100，點D在BC邊上，連接AD,若^ABD為直角三角形，則/ADC的度數(shù)為（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.于點F,DE=3cm,貝UBF=cm.6、（2018烈龍江）如圖，已知等邊^(qū)ABC的邊長是2,以BC邊上的高ABi為邊作等邊三角形，得到第一個等邊^(qū)ABiCi;再以等邊△AB1C1的BiCi邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊^(qū)AB2c2；再以等邊^(qū)AB2c2的B2c2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3c3；…,記△BiCB2的面積為Si,△B2CIB3的面積為S2,AB3c2B4的面積為S3,如此下去，則Sn= .6題圖7題圖6題圖7題圖（20I8青島）如圖，已知正方形ABcD的邊長為5,點E、F分別在AD、Dc上，AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點H為BF的中點，連接GH,則GH的長為（20I9山東臨沂）如圖，在^ABc中，/AcB=I20°,Bc=4,D為AB的中點，DCBc,則△ABc的面積是.（20I9山東棗莊）把兩個同樣大小含 45。角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點 A,且另外三個銳角頂點B,c,D在同一直線上.若AB=2,則cDI0、（20I9山東聊城）如圖，在RtAABc中，/AcB=90°,/B=60°,DE為^ABc的中位線，延長Bc至F,使cF=」bc,連接FE并延長交AB于點M.若Bc=a,則^FMB的周長為.2I0題圖ii題圖I0題圖ii題圖I2題圖ii.（20I9威海）如圖,在四邊形ABcD中，AB//cd,連接Ac,BD.若ii.（20I9威海）如圖,AB=BD,則/ADc=°.（20i9山東淄博）如圖，在以A為直角頂點的等腰直角三角形紙片 ABc中，將B角折起，使點B落在AC邊上的點D（不與點A,C重合）處，折痕是EF.如圖1,當CD=—AC時，tan加=—;如圖2,當CD=一AC時，tan*=—;2 4 3 12如圖3,當CD=—AC時，tan03=—；依此類推，當CD= AC（n為正整數(shù)）時，tan的=4 24 n1（2019南京）在^ABC^,AB=4,/C=60°,/A>/B,則BC的長的取值范圍是.（2019伊春）一張直角三角形紙片 ABC,/ACB=90。AB=10,AC=6,點D為BC邊上的任一點，沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當^BDE是直角三角形時，則CD的長為 三、解答題1.（2019山東臨沂）魯南高鐵臨沂段修建過程中需要經(jīng)過一座小山.如圖，施工方計劃沿 AC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側(cè) D（A、C、D共線）處同時施工.測得/CAB=30°,AB=4km,/ABD=105°,求BD的長.2、（2019山東荷澤）如圖，△ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/ BAC=ZDAE=90°.（1）如圖1,連接BE,CD,BE的廷長線交AC于點F,交CD于點P,求證：BPXCD;（2）如圖2,把^ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當點D落在AB上時，連接BE,CD,CD的延長線交BE于點P,若BC=6j2,AD=3,求△PDE的面積.3、(2019山東棗莊)在GABC中，/BAC=90°,AB=AC,AD，BC于點D.(1)如圖1,點M,N分別在AD,AB上，且/BMN=90°,當/AMN=30°,AB=2時，求線段AM

的長;(2)如圖2,點E,F分別在AB,AC上，且/EDF=90°,求證：BE=AF;(3)如圖3,點M在AD的延長線上，點N在AC上，且/BMN=90°,求證：AB+AN=72AM..(2018濟寧)如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別是邊AD,BC的中點，連接DF,過點E作EHXDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)過點H作MN//CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點，求^PDC周長的最小值.(2019河北)已知：整式 A= (n2-1) 2+ (2n)2,整式B>0.嘗試化簡整式 A.發(fā)現(xiàn)A=B2,求整式B.聯(lián)想由上可知，B2= (n2-1) 2+ (2n) 2,當n>1時，n2-1 , 2n, B為直角三角形的三邊長，如圖.填寫下表中B的值:直角三角形三邊n2-12nB勾股數(shù)組I/8—勾股數(shù)組n35/—答案與提示一、選擇題1、B2、A3、C4、D5、B6、C7、C.8、B.9、C10、C11、A1、解：;沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，B=/EAF=45,1 3?./AFB=90,.?點E為AB中點，aEF=2AB,EF=2,AB=AC=3./BAC=90,「.BC=32+32=3.2,故選：B.2、解：.「△ABC^J等邊三角形，「.BA=BC可將△BP%點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得^BEA連EP,且延長BP,彳AF±BP于點F.如圖,

BE=BP=4AE=PC=5ZPBE=60,..△BPE為等邊三角形，「.PE=PB=4/BPE=60,在AAEP中，AE=5AP=3PE=4..AU=PE+PA, APE為直角三角形，且/APE=90,./APB=90+600=150°.../APF=30,1 3 .3 3-?在直角^APF中，AF=2AP=2，PF=-2-AP=2^3.,在直角△ABF中，A4=BF+AF=(4+252+(|)2=25+1273...一、3一3 -八25、、3一.則△ABC的面積是 ?AB=?(25+1243)=9+4.故選：A.7C2題圖 3題圖 4題圖3、解：如圖，延長GFfcAD于點P,二四邊形ABCDF口四邊形CEFO是矩形，./ADCWADG=CGF=90,AD=BC=2GF=CE=1..AD//G^?./GFHhPAH又;H是AF的中點，「.AH=FH在△APHffi△FGHfr,

ZPAH/FH??AH=FH ,?.△AP率AFGH(ASA,tNahp二Nfhg1AP=GF=,1GH=PH尹G??PD=ABAP=1,1 1 ——2 2、2vCG=2CD=1..DG=1則GH=2PG=2XJPD2+DG2=三，故選：C.4、解：作P點分別關(guān)于OAOB的對稱點C、D,連接CD分別交OAOB于MN,如圖,WJMP=M,CNP=NDOP=OD=oC3,/BOP=BOD/AOPWAOC?.PN+PM+MN=ND+MN+NC=DCOD=BOP?.PN+PM+MN=ND+MN+NC=DCOD=BOP4BOD+AOP廿AOC=2AOB=120,???此時△PMNW長最小，作OKC叱H,則CH=DH?./OCH=30,..OhIocJ,CH=.3OH=3,?.CD=2CH三3故選：D.2 2 25、解：vBEXCEAD￡CE??/E=/ADC=90,../EBCMBCE=90.??/BCEMACD=90,. EBCWDCA在△CE刑AADOt,叱方NADC44EEOZMA,?.△CE皆AADC(AAS,?.BE=DC=,1CE=AD=3BC=AC?.DE=EGCD=3-1=2故選：B.6、解：二.在RtAABC^,/ACB=90,CE為AB邊上的中線，CE=5AE=CE=5?AD=2??DE=3..CD為AB邊上的高，..在Rt^CDE中，CD=ce2_d/H5W故選：C.7、解：連接AO如圖所示.???△ABC^等腰直角三角形，點O為BC的中點，??.。&OC/AO&90°,/BAO=/ACd45°.??/EOA/AOR/EOM90°,/AO+/FOC=/AO的90°, /EO*/FOC??.△EOA2AFOC(ASA,?.EA=FC,?.AEfAF=AF+FC=AQ選項A正確；.?/B+/BE。/EO&/FO?/C+/OFC=180°,/B+/C=90°,/EOB/FOC=180°-/EOF90°,?./BE。/OFC=180°,選項B正確；1.△EOA3△FOC-Saeoa=Safoc,..S四邊形aeof=Saeoa+Saaof=Safo(+Sz\aof=Saao=—Saabc D正確.27題圖 8題圖8、解：「/AO樂/COa40°,../AOB/AO樂/COD/AOD即/AO康/BOp.?.△AOC2ABOD(SAS,?./OCA=/ODBAG=BQ①正確;???/OAG/OBD由三角形的外角性質(zhì)得：/AMB/OA&/AOB/OBD.?/AM&/AO氏40°,②正確；作OGLMOTG,OHLMBTH,如圖所示：則/OG續(xù)/OHB90°,

??.△OCG2△ODH(AA§,；OG=OH|MOP分/BMC④正確； 正確的個數(shù)有3個;二、填空題1、叵2、4炳3、130°或90°.4、205、66、0(3)n.7、叵8、8展TOC\o"1-5"\h\z10 4 29。 2n1 83 C廿249、65.10、%a.11、10512、- .13、4<BCc土14、3或一6 2 2 2n22n 3 71、解：由折疊知，A'E=AE,A'B=AB=6/BA'E=90°,../BA'C=90°,在Rt^A'CB中，A,C=jBC2_A,B2=8,設(shè)AE=x,WJA'E=x,aDE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x在Rt^CDEK根據(jù)勾股定理得，(10-x)2+36=(8+x)2,x=2,.-.AE=2在ABE中，根據(jù)勾月￡定理得，BE=Jab2+ae2=2用，sinZABE=ae=Tic,故答案為：典.10BE10102、解：:四邊形ABCD1平行四邊形，［w；BC=AD=6OB=DOA=OC.ACLBC,??ACqAB2-BC2=8,OC=4??OB=；OC2+BC2=2/,??BD=2OB=^3、解：..在△ABC中，AB=AC/BAC=100,../B=/C=4(J,丁點D在BC邊上，△ABM直角三角形，，當/BAD=90時，則/ADB=50,?./ADC=130,當/ADB=90時，WJ/ADC=90,故答案為：130°或90°.4、解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH過B作BQLEF于Q,彳A關(guān)于EH的對稱點A',連接AB交EH于P,連接AP,則AP+PBft是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，?.AE=AE,AP=AP［來源：學(xué)綱...AP+PB=AP+PB=AB,vBQ=1X32cm=16ciriAQ=14cm-5cm+3cm=12qm在Rt^A'QB在Rt^A'QB中，由勾股定理得：AB=162工122=20cm.故答案為:20.4題圖 8題圖 9題圖5、解：在RtAADBtRtAADOt,irAB=AC 11AD—AD':Rt^ADB^RtAAD(C?二Saab(=2Sabdf2X-AB?DE=AB?DE=3ABvSabc=1aC?BF 1aC?BF=3AB/AC=AB;1BF=3??BF=6.故答案為6.6、解：二.等邊三角形ABC勺邊長為2,AB^BG；BB=1,AB=Z根據(jù)勾股定理得：AB=5.??第一個等邊三角形ABG的面積為1X(質(zhì))2=平舊)1；4二.等邊三角形ABG的邊長為事，ABLBG,「.BB=，3,AB=Q,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 1根據(jù)勾股定理得：AB=3,??.第二個等邊三角形ABG的面積為lx(3)2=73(^)2；2 4 2 4依此類才t,第n個等邊三角形ABG的面積為V3(-)n.故答案為：曲(-)n.4 47.解：:四邊形ABC時正方形，「./BAEWD=90,AB=AD在△ABE和ADAF中，'AB二ADZBAE=ZD,..△AB草ADAF(SAS,?./ABEWDAF伸二DFvZABE吆BEA=90,「./DAF吆BEA=90,「./AGEWBGF=90,1??點H為BF的中點，「.GH=1BF,2vBC=5CF=CBDF=5-2=3,「.BF=，BC^CF2=、,34,..GH=1BF=-^4,2 28、解：「DC!BQ. BC氏900,??/AC&120°,?./AC也30°,延長CDgijH使DH=CD.D為AB的中點，AD=BD,..△ADHl△BCD(SAS,?.AH=BG=4,/H=/BC由90°,./AC用30°,??C+73ah=4M「C5273,??.△ABC的面積=2Sabc戶2X1X4X2m=873,故答案為：8m.29、解：如圖，過點A作AF±BC于F,在Rt^ABC中，/B=45°,.BC=2AB=22,BF=AF=-2AB=2,2二.兩個同樣大小的含45°角的三角尺，「.A又BO2.2,在ADF中，根據(jù)勾月￡定理得，D三JaD2-AF2=V6,?.CD=BF+DF-BG=&+冊-2丘=而-V2,故答案為：品-V2.10、解：在RtAABC^,/B=60°,../A=30°,..AB=2a,AOQa.???DE是中位線，；C『ya.在RtzXFEC中，利用勾月￡定理求出FE=a,

?./FEC=300.../A=/AE陣30°,?.EM=AM△FM馴長=BF+FE+EM+B陣BF+FE+AMfMB=BF+FE+AB=-a故答案為9a2' 2'11、解：作DE!AB于E,CF±AB于F,如圖所示：則DE=CF,1vCF±AB,/AC氏90,AC=BQCF=AF=BF=1AB,2AB=BD,.,.DE=CF=1AB=1BD,/BA氏/BDA/AB氏30°,?./BAD=/BDA=75°,2 2.AB//CR../AD?/BA也180°,../ADG=105DBAE12、解：觀察可知，正切值的分子是3,5,7,分母與勾股數(shù)有關(guān)系,分別是勾股數(shù)3,4,5;9,5,…，2n+1,12,13;7,24,25;DBAE12、解：觀察可知，正切值的分子是3,5,7,分母與勾股數(shù)有關(guān)系,分別是勾股數(shù)3,4,5;9,5,…，2n+1,12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+1,(2n1)2-12(2n1)21屆 中的中間一個.22n1tanan= 2—(2n1)2-1_2n1—2n22n解答題1、解：作BEXAD于點E,./CA氏30°,AB=4km, /ABE=60°,BE=2km./AB*105°,../EB也45°,../ED氏45°,?.BE=DE=2km,「.BA2.2km,即BD的長是即BD的長是22km.1題圖 3題圖 4題圖2、解：(1):△ABC和4AD式有公共頂點的等月直角三角形，/BA生/DA白90ad=ae,ab=ac,/BAO/ea曰/ead_/ea匕即/BAE=/DAC.?.△ABEiaadc(SAS,?./abe=/acd???/ABB/AFB=ZABE-ZCFP^90°,?./CPF=90°,「BP，CRAE=ad…?人…一一—-I, .(2)在AABE與△ACD^, .EAB"cab=90,IAB=AC??.△ABE^AACD(SAS,../abe=/acdBE=CD

??/PD氏/AD。，/BP莊/CA氏90°,?./EP比90°,.BO672,AD=3,aDE=372,A氏6,「BA6-3=3,C5JaD2+AC2=3存.△BD'z\CDA「.BDP—=PB,「.3_uPDuPB, PD=-5,P五6JCDADAC3,.5 3 6 5 5.?P口3石—他=隨，?.△PDE勺面積=1父迷父立=旦.5 5 2