2022-2023學(xué)年四川省宜賓市第四中學(xué)校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A，采用作差法逐一判斷選項(xiàng)B,C,D的正誤即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，所以，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由于，因?yàn)?，，所以，所以，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D不正確.故選：B.2．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】解：因?yàn)槊}“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題，即“，”.故選：C.3．橢圓x2+4y2=4的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．（±2，0） B．（0，±2） C． D．【答案】C【分析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出a，b的值，再由a，b，c之間的關(guān)系求出c的值，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】橢圓x2+4y2=4的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=4-1=3，所以，焦點(diǎn)在軸上，故焦點(diǎn)為.故選：C．4．已知向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量平行和垂直的坐標(biāo)表示逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以與不垂直，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以與不平行，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以，所以D正確，故選：D5．已知直線，直線，若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或－1 B．－1 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系列方程，即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，.故選：D6．若變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)的最優(yōu)解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出滿足約束條件的可行域，平移直線，即可得出結(jié)果.【詳解】作出滿足約束條件的可行域（如圖中陰影部分所示）.可化為，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，，故最優(yōu)解是，故選：C.7．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題知，再解不等式即可.【詳解】解：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，解得：．故選：D．8．不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由題意得關(guān)于的不等式組求解即可.【詳解】由不等式，得，∵不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，∴?，則且與的等號(hào)不同時(shí)成立，解得，∴的取值范圍為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.9．橢圓的以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則，兩式相減得，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)坐標(biāo)，所以，代入得到，所以，即斜率，且過(guò)點(diǎn)，所以直線方程是，化簡(jiǎn)為，故選D.10．設(shè)，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，，由得出點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)勾股定理和雙曲線的定義可得，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以，故選：B．11．已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，則橢圓方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，設(shè)直線l方程為，，，由得①，聯(lián)立可得，由點(diǎn)P的任意性知，即可求得橢圓方程.【詳解】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，，，則，，由得，，即，所以①，又P在橢圓上，所以，即，代入①式得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與無(wú)關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．12．已知橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)與，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為（

）A． B．10 C． D．15【答案】C【分析】利用橢圓、雙曲線的定義，確定，利用離心率的定義，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，不妨令在雙曲線的右支上由雙曲線的定義①，由橢圓的定義②，又，即，所以，即，故③，①②得④，將④代入③得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故選：C二、填空題13．已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線方程______．【答案】【分析】求得兩圓的圓心，可得過(guò)兩圓心直線的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得直線斜率，從而求得直線的方程.【詳解】解：圓，圓心為，半徑圓，經(jīng)整理為，其圓心為，半徑；故中點(diǎn)為，，由對(duì)稱性知，，整理得直線l的方程為.故答案為：14．已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】作出函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象，由圖象得出為增函數(shù)且，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由上圖所示，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)為增函數(shù)，且有，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)不等式的求解，在利用數(shù)形結(jié)合思想求解時(shí)，要充分分析出函數(shù)的單調(diào)性，并抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，列出不等式組進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15．三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面,則球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【詳解】根據(jù)題意及邊長(zhǎng)關(guān)系得到BC=2,CD=3,BD=因?yàn)槠矫婀实玫饺切蜛BC為直角三角形，三角形ACD也為直角三角形，故球心在AD的中點(diǎn)上，球的半徑為故答案為.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.16．已知、分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為_(kāi)____________．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系，然后利用求得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的平分線，，，又是中點(diǎn)，所以，且，又，，，．故答案為：.三、解答題17．命題，，命題，使得成立.（1）若為真，為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得真時(shí)的范圍，由得題所表示的集合為，進(jìn)而由，一真一假，列式求范圍即可；（2）設(shè)命題表示的集合為，再由列式求解即可.【詳解】（1）命題，，則，解得，∴命題所表示的集合為，命題，使，即，∵為增函數(shù)，∴解得，∴命題所表示的集合為，若為真，為假，則，一真一假，①若真假，則，解得，②若假真，則，解得，綜上，的取值范圍為.（2）設(shè)命題表示的集合為，若是的充分不必要條件，則，即，∴，∴的取值范圍為.18．已知點(diǎn)，圓（1）若過(guò)點(diǎn)A只能作一條圓C的切線，求實(shí)數(shù)a的值及切線方程；（2）設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A但不過(guò)原點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1），切線方程：或，切線方程：；（2）或【分析】（1）由切線條數(shù)可確定在圓上，代入圓的方程可求得；根據(jù)在圓上一點(diǎn)處的切線方程的結(jié)論可直接寫(xiě)得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到；利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線的距離，根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)可構(gòu)造方程求得.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)只能作一條圓的切線

在圓上，解得：當(dāng)時(shí)，，則切線方程為：，即當(dāng)時(shí)，，則切線方程為：，即（2）設(shè)直線方程為：

直線方程為：圓的圓心到直線距離，解得：或【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程的求解、根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)求解參數(shù)值的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握直線與圓問(wèn)題的常用結(jié)論：1.過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為：；2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于.19．如圖雙曲線的焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)．(1)求弦長(zhǎng)的值；(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)3(2)【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為，所以，設(shè)．聯(lián)立，整理得：，.（2）解：記的周長(zhǎng)為，則．，又得．點(diǎn)在右支，故．同理：點(diǎn)在左支，．20．如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)．（1）設(shè)棱的中點(diǎn)為，證明：平面；（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù),，所以平面平面，從而平面；（2）在面內(nèi)作于點(diǎn)在面內(nèi)作于點(diǎn)，所以是二面角的平面角再根據(jù)幾何關(guān)系求解余弦值即可?！驹斀狻浚?）證明：連接，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可由棱柱的性質(zhì)知，且；四邊形是平行四邊形．，，分別是、的中點(diǎn)，平面平面，平面（2）在面內(nèi)作于點(diǎn)在面內(nèi)作于點(diǎn)，連接．平面平面，平面，是二面角的平面角，在中，，．設(shè)二面角的大小為，則【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角，其中線面平行采用面面平行從而線面平行的策略，屬于較易題目。21．已知橢圓以直線所過(guò)的定點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)由給定條件求出橢圓C1的半焦距，短半軸長(zhǎng)即可得解；(2)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，消去x得關(guān)于y的一元二次方程，借助韋達(dá)定理表示出面積的關(guān)系式，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可作答.【詳解】（1）直線過(guò)定點(diǎn)，即橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，依題意：橢圓的半焦距，短半軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a有，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即直線與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由題意得直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去整理得,設(shè)，，則，,從而有，令，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即時(shí)，，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被軸截得弦長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn).(1)求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若時(shí)相應(yīng)直線的方程；(3)若點(diǎn)，分別記直線、直線的斜率為、，求的值．【