1高等數(shù)學(xué)(上)2§4函數(shù)的極限前面討論了數(shù)列xn=f(n)的極限,它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無(wú)窮大.現(xiàn)在討論y=f(x)的極限,自變量x大致有兩種變化形式.(1)x,(2)xx0(有限數(shù)).并且,x不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.3例如，從數(shù)列{xn}:有yOx123n4一、x時(shí),f(x)的極限.定義1.設(shè)f(x)在(M,+)內(nèi)有定義,也可記為f(x)a,(x+)若>0,X,當(dāng)x>X時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿(mǎn)足|f(x)a|<.則稱(chēng)常數(shù)a為f(x)當(dāng)x+時(shí)的極限,記作(或())(或x<X)(或x)也可記為f(x)a,(x))5此時(shí)也稱(chēng)當(dāng)x+(x–)時(shí),f(x)的極限存在.否則,稱(chēng)它的極限不存在.6注1.將這個(gè)定義和數(shù)列極限定義相比較,就是將xn=f(n)換成了f(x).將“自然數(shù)N”換成“實(shí)數(shù)X”.但是,數(shù)列極限中n是離散變化的,而這里x是連續(xù)變化的.若>0,X,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<.若>0,自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,(x–)7

x

時(shí),f(x)存在極限的幾何意義.yXXy=ay=a

y=aOy=f(x)8例1.證明其中0<a<1.證:

0<<1,要使|ax0|=ax<.看圖.y=ax1yx0xxy只須若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<.9例1.證:x0yüT10üT得綜上所述,成立，即11例2.證:x0y12成立，即13定義2.設(shè)f(x)在(,M)(M,+)內(nèi)有定義.若

>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值滿(mǎn)足|f(x)a|<則稱(chēng)a為

f(x)當(dāng)x時(shí)的極限,由定義1,2可知記作14例3.證:15例4.證:16定理由|a|>b>0a>b或a<b及以上三個(gè)定義便可得出下面的定理.17例5.證:x0y18二、當(dāng)xx0時(shí),f(x)的極限若當(dāng)xx0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)a,則稱(chēng)a是f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限,f(x)a可用|f(x)a|<刻畫(huà),如何用精確的數(shù)學(xué)而xx0則可用|x

x0|<刻畫(huà).語(yǔ)言刻劃這一事實(shí)?19定義3.設(shè)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域?(x0)內(nèi)有定義,此時(shí)也稱(chēng)當(dāng)xx0時(shí),f(x)的極限存在,若>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿(mǎn)足

|f(x)a|<,則稱(chēng)常數(shù)a為f(x)的當(dāng)xx0時(shí)的極限,記作否則,稱(chēng)當(dāng)xx0時(shí),f(x)的極限不存在.20注1.與數(shù)列極限定義比較:將“xn=f(n)”換成f(x),將“N”換成“>0”,將“n>N”換成“0<|xx0|<”.若>0,自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記21若>0,自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記而現(xiàn)在xx0,“0<|xx0|<”表示了這一意思.這是因?yàn)樵跀?shù)列極限中.n.而“n>N”表示了n充分大這一意思.22注2.定義中“0<|xx0|<”.表示xx0.xx0總表示x無(wú)限接近x0,但xx0這一意思.因此,f(x)在x0是否有定義與f(x)在x0是否有極限無(wú)關(guān).>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記23y=ay=a

y=ax0yx0x0-x0+24例3.證:成立.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記25yx012xxxyyy=f(x)x11例4.證明26例4.證明證:

>0,要使|f(x)–2|<,只須|x–1|<.(本例說(shuō)明f(x)在x0無(wú)定義,但其極限可能存在)取=.則當(dāng)0<|x1|<時(shí),有|f(x)–2|<,故>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,27例5.證明證:注意到不等式|sinx||x|>0,要使|sinx–sinx0|<,只須|x–x0|<,取=.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,Oθ28(本例說(shuō)明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,29例7.證:>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,30>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,31例9.證:>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,32這里|x+2|沒(méi)有直接的有界性可利用，但又必須設(shè)法去掉它.因?yàn)閤1,所以,從某時(shí)候開(kāi)始x應(yīng)充分地接近1.(如下圖所示)()0x21111+1??????????>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,33>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,34成立，即>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,35在極限定義中：1)與和x0有關(guān),即=(,x0).一般說(shuō)來(lái)，值越小,相應(yīng)的值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<既要對(duì)任意的>0，同時(shí)也要對(duì)x

x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限，但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,36定義4：設(shè)f(x)在x0的右邊附近(左邊附近)有定義，若>0,>0.當(dāng)0<x–x0<(或0<x0–x<)時(shí)，有則稱(chēng)a為f(x)當(dāng)xx0的右極限(或左極限),記作37例10.解:y=f(x)x0y11在x=1處的左、右極限.38函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：(1)左、右極限均存在，且相等；(如y=x在x0=1處)(2)左、右極限均存在，但不相等；(如例10)(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.39即，f(x)在點(diǎn)x0處的極限存在的充要條件是f(x)在x0的左、右極限存在，并且相等。定理1.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記若>0,>0.當(dāng)0<x–x0<(或0<x0–x<)時(shí)，有40-1O1xy41y1-1O12x42434445例11.解:46例12.解:47例6：設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),sinx, 當(dāng)x>0時(shí),解：f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn).由于當(dāng)x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=x.由于當(dāng)x>0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=sinx.對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.48例7：設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),cosx, 當(dāng)x>0時(shí),左、右極限存在,但不相等,=049以后,常用下列記號(hào)表示函數(shù)的左,右極限看圖x0+cosxxyx0ˉ1yy50三、極限定義小結(jié)極限定義一覽表目標(biāo)不等式極限形式度量標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程描述51重要定理：重要性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性。52三、函數(shù)極限性質(zhì).定理2.定理3.53推論:54例13.即a=0.55函數(shù)極限的兩邊夾定理56x0y57證只證xx0的情形，其它情形可仿此證明.設(shè)時(shí)，g(x)f(x)h(x),又58即59重要極限:1yx060證

運(yùn)用夾逼定理來(lái)證明，關(guān)鍵在于建立不等式.從圖中可看出:即故當(dāng)即有x01DBAxy161由sinx與cosx的奇偶性可知，當(dāng)時(shí)，該不等式仍成立，即當(dāng)時(shí)，有62一般地，(i)(k為常數(shù)).(ii)當(dāng)xx0(或x)時(shí)，(x)0，則63例3.

求解:64例4.

求解:65例5.

求解:

xa時(shí)，(x)=xa0,故66例6.

求解:67例7.

求解:68例8.

求(1)(2)69解(1)70解(2)71例9.

求解：由三角函數(shù)公式：72故73函數(shù)極限的四則運(yùn)算74函數(shù)極限的不等式757677787980例13.證：x0=0,(1)取{xn}:則81(2)取{xn'}:則8283重要極限:841.證明因?yàn)閤+，故不妨設(shè)x>0.于是總可取nN，使nx<n+1，故85又862.證明我們作變量代換，將它歸為x+的情形即可.87883.證明由894.證明在在中，令t0，于是有則x時(shí)，故90綜上所述，得到以下公式91用表示在某極限過(guò)程中，表達(dá)式(x);表示在某極限過(guò)程中，表達(dá)式(x)0，則可將以上公式推廣為：92例11.

求解:93例12.

求解:94例13.

求解:95例14.

求解法1:(1)-296解法2:97例15.

求解:98又故99解法2：100定義5:若存在x0的某去心鄰域?(x0)，使得f(x)在?(x0)內(nèi)有界，則稱(chēng)f(x)是xxo時(shí)的有界量.若>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+)內(nèi)有界,則稱(chēng)f(x)是x時(shí)的有界量.101比如y=x2在定義域(–,+)內(nèi)是無(wú)界的,但在x=0的某個(gè)小鄰域內(nèi)是有界的.因此,y=x2是x0時(shí)的有界量.y=x20xy–M1020yx–103比如:y=sinx在(–,+)內(nèi)有界，是x時(shí)的有界量.但定理4.定理4的逆命題不成立.104yx1–1y=sinx0105定義：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的一個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義.若>0(無(wú)論多么大),

記作：>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<(或|x|>X)時(shí)，有|f(x)|>M,則稱(chēng)f(x)是xx0(或x)時(shí)的無(wú)窮大量.5.無(wú)窮大量106若以“f(x)>M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到正無(wú)窮大量的定義.若以“f(x)<–M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到負(fù)無(wú)窮大量的定義.分別記作：>0,>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<(或|x|>X)時(shí)，有|f(x)|>M,10701-11xxyyx1+x1–108例2:試從函數(shù)圖形判斷下列極限.109解：(1)xy0xyy=tgxxy110111(2)xoyxxyyx+x–112113注1：若在定義中，將“f(x)”換成“xn”,注2：若limf(x)=,將“X”換成“N”,將“x”換成就得到數(shù)列xn為無(wú)窮大量定義.“n”,則表示在該極限過(guò)程中f(x)的極限不存在.>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),有|f(x)|>M,114注3：不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮大量.任何常量都不是無(wú)窮大量.115注5：無(wú)窮大量一定是無(wú)界量,但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.>0,X>0(或δ>0),當(dāng)|x|>X時(shí),(或0<|x-x0|<δ),有|f(x)|>M,則稱(chēng)f(x)是無(wú)窮大量.>0,x0,使得|f(x0)|>M,則稱(chēng)f(x)是區(qū)域內(nèi)的無(wú)界函數(shù).116例5.117說(shuō)明>0,x0(–,+)，使得|x0sinx0|>M即可.118119例6.解:要取故120例7.解:121函數(shù)sinx、cosx，當(dāng)x時(shí)，也不是無(wú)窮大量.122123無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì)(1)124(2)無(wú)窮大量一定是同一極限過(guò)程中的無(wú)界量.反之不