培智學(xué)校、智力障礙學(xué)生概念的界定,特殊教育論文信息技術(shù)、數(shù)字化引領(lǐng)科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)變得越來越重要。數(shù)學(xué)作為工具性學(xué)科，能夠處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明，能夠有效地描繪敘述自然和社會(huì)現(xiàn)象；數(shù)學(xué)作為技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，能夠?yàn)槠渌茖W(xué)提供思想、語言和方式方法；數(shù)學(xué)能力在提高人們推理、想象和創(chuàng)造力等方面起著獨(dú)特的作用。數(shù)學(xué)給予人類的不僅僅僅是與日常生活密切相關(guān)的知識(shí)，更重要的是通過數(shù)學(xué)訓(xùn)練能夠培養(yǎng)思維能力和邏輯推理能力。運(yùn)算是指根據(jù)已經(jīng)知道數(shù)量和未知數(shù)量之間的關(guān)系，通過數(shù)的組合與分解，求得未知數(shù)量。運(yùn)算在數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的一席之地，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其分支中，把握基本的運(yùn)算能力是個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，運(yùn)算能力的發(fā)展，一直是數(shù)學(xué)教育的基本目的之一。2018年教育部公布的(全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〕將運(yùn)算能力作為核心概念之一單獨(dú)提出，指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題[1].構(gòu)成簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算能力，不僅對(duì)普通兒童來講極其重要，對(duì)特殊兒童愈加重要。2007年教育部公布的(培智學(xué)校義務(wù)教育課程設(shè)置實(shí)驗(yàn)方案〕中，要求培養(yǎng)智力障礙學(xué)生初步的運(yùn)算和思維能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決簡(jiǎn)單日常生活問題的能力，并且生活數(shù)學(xué)在課程設(shè)置中占據(jù)了重要的比例。智力障礙學(xué)生由于智力發(fā)展的限制，其理解、記憶和邏輯思維等能力較差，進(jìn)而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在極大的困難。智力障礙學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算技能的把握，作為其生活數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力發(fā)展的瓶頸，一直是培智教育所關(guān)注的焦點(diǎn)，也是教育教學(xué)要努力解決的問題。智力障礙學(xué)生日常生活中碰到的諸多問題，如錢幣使用、丈量估算、物資分配等都與運(yùn)算息息相關(guān)。運(yùn)算思維的發(fā)展水平將直接關(guān)系到智力障礙學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、獨(dú)立生活和融入社會(huì)，并影響其生活質(zhì)量。研究智力障礙學(xué)生運(yùn)算能力的獨(dú)特表現(xiàn)，提高智力障礙學(xué)生的運(yùn)算能力是當(dāng)下培智教育中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的重要任務(wù)。本研究旨在討論培智學(xué)校智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算的思維表現(xiàn)，對(duì)培智學(xué)校智力障礙學(xué)生數(shù)學(xué)教育提出教育建議。二、研究意義?！惨弧忱碚撘饬x。研究培智學(xué)校智力障礙學(xué)生的加減運(yùn)算思維表現(xiàn)，說明其學(xué)習(xí)的特殊性，以豐富智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算的相關(guān)理論，為解釋智力障礙學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及學(xué)校教學(xué)中的問題十分是數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題提供理論根據(jù)?！捕硨?shí)踐意義。加減運(yùn)算是智力障礙學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，影響其日常生活適應(yīng)。培智學(xué)校的加減運(yùn)算教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，面臨極大的困難和挑戰(zhàn)。研究智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算的思維表現(xiàn)具有實(shí)踐意義。首先討論智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算思維品質(zhì)的詳細(xì)表現(xiàn)和與之相關(guān)的行為表現(xiàn)，為培智數(shù)學(xué)教育提供教學(xué)建議；其次將理論成果應(yīng)用于教學(xué)，改良教學(xué)方式方法，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量；第三是為智力障礙學(xué)生的加減運(yùn)算能力的發(fā)展提供幫助。三、概念的界定?！惨弧撑嘀菍W(xué)校。培智學(xué)校，又稱輔讀學(xué)校、啟智學(xué)校,是中國一些省、市為智力障礙兒童辦的學(xué)校。主要招收輕度智力障礙兒童及中度智力障礙兒童。設(shè)有數(shù)學(xué)、語文、常識(shí)、音樂、體育、常識(shí)、勞技、美工等課程。培養(yǎng)目的為貫徹德、智、體、美全面發(fā)展教育方針，從智力障礙兒童身心特點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行教育、教學(xué)和訓(xùn)練，補(bǔ)償學(xué)生的智力和適應(yīng)行為缺陷，將他們培養(yǎng)成有理想、有道德、有紀(jì)律、有文化的能適應(yīng)社會(huì)生活、自食其力的勞動(dòng)者[2].〔二〕智力障礙學(xué)生。2018年，美國嚴(yán)重認(rèn)知和智力障礙者的主要專業(yè)組織---美國智力與發(fā)展障礙協(xié)會(huì)〔AmericanAssociationonIntellectualandDevelopmentalDisabilities,AAIDD〕發(fā)布了智力障礙的新定義為：智力障礙是一種發(fā)生于18歲之前的智力功能和適應(yīng)行為都存在顯著限制的障礙，適應(yīng)行為表現(xiàn)為概念的〔conceptual〕、社會(huì)的〔social〕以及應(yīng)用性的〔practical〕的適應(yīng)性技能[3].我們國家常用的智力障礙的定義來自于全國殘疾人抽樣調(diào)查五類(殘疾標(biāo)準(zhǔn)〕：智力殘疾是指人的智力明顯低于一般人的水平，并顯示適應(yīng)行為的障礙，包括在智力發(fā)育期間〔18歲以前〕，由于各種有害因素而導(dǎo)致的精神發(fā)育不全或者智力遲滯；智力發(fā)育成熟以后，由于各種有害因素導(dǎo)致的智力損害或智力明顯衰退[4].該定義將智力障礙稱為智力殘疾。我們國家將智力殘疾與智力障礙通用。本研究采用的定義：智力障礙學(xué)生指就讀于培智學(xué)校的智力明顯低于一般學(xué)生的水平，并顯示出適應(yīng)行為障礙的學(xué)生?！踩臣訙p運(yùn)算。運(yùn)算是指根據(jù)已經(jīng)知道數(shù)量之間以及已經(jīng)知道數(shù)量和未知數(shù)量之間的關(guān)系，通過數(shù)的組合與分解，求得未知數(shù)量。運(yùn)算經(jīng)過在形式上是對(duì)詳細(xì)式子進(jìn)行變形的演繹經(jīng)過，而實(shí)際上是數(shù)的組合與分解經(jīng)過。運(yùn)算的構(gòu)造包括對(duì)象要素〔已經(jīng)知道數(shù)量、未知數(shù)量及二者之間的關(guān)系〕和主體因素〔主體的運(yùn)算動(dòng)作以及主體所把握的算法概念和運(yùn)算法則〕。運(yùn)算根據(jù)其性質(zhì)，可分為加減乘除、乘方、開方以及代數(shù)運(yùn)算等；根據(jù)運(yùn)算方式可分為珠算、口算和筆算；根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的范圍，可分為正整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)的運(yùn)算等[5].加減運(yùn)算即求兩個(gè)已經(jīng)知道數(shù)的和的運(yùn)算以及已經(jīng)知道兩個(gè)加數(shù)的和與華而不實(shí)一個(gè)加數(shù)而求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算[6].本研究采用此定義。兒童加減運(yùn)算思維的發(fā)展能夠分為三種水平：第一種為動(dòng)作水平的加減，即兒童以能夠直觀的實(shí)物材料為工具，借助合并、分開等詳細(xì)動(dòng)作進(jìn)行的加減運(yùn)算，其題目的主要呈現(xiàn)方式為實(shí)物運(yùn)算題；第二種為表象水平的加減，即兒童無需借助直觀實(shí)物或動(dòng)作，僅依靠頭腦中的物體表象進(jìn)行的加減運(yùn)算，其題目的主要呈現(xiàn)方式為口述應(yīng)用題，在這一水平的初級(jí)階段，有時(shí)兒童需要借助圖片等靜態(tài)形象來理解題意和數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)解答問題；第三種為概念水平的加減，這是較高水平的加減運(yùn)算，是指無需依托實(shí)物或表象，直接運(yùn)用抽象的數(shù)概念進(jìn)行的加減運(yùn)算，其題目的主要呈現(xiàn)方式為列式運(yùn)算題。本研究中加減運(yùn)算技能牽涉以上三種水平。個(gè)體運(yùn)算能力的基本構(gòu)成要素是運(yùn)算知識(shí)〔算法概念及運(yùn)算法則〕和運(yùn)算技能〔珠算技能、口算技能及筆算技能等〕，其構(gòu)成標(biāo)志是運(yùn)算的準(zhǔn)確性、敏捷性、靈敏性以及算法概念和運(yùn)算法則的概括性[7].〔四〕思維表現(xiàn)。思維是指在超出現(xiàn)實(shí)的情境下分析有關(guān)條件以求得問題解決的高級(jí)認(rèn)知經(jīng)過[8].思維是相對(duì)與感悟覺、記憶而言的一種更為復(fù)雜的認(rèn)知加工，包含著廣泛的心理活動(dòng)。思維品質(zhì)是智力特征在個(gè)體思維活動(dòng)中的表現(xiàn)，是思維的核心部分，思維發(fā)生和發(fā)展中所表現(xiàn)出來的個(gè)性差異就是思維品質(zhì)，又稱為思維的智力品質(zhì)[9].思維品質(zhì)主要包括深入性、靈敏性、敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性五個(gè)方面。本研究從兩方面來考察智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算的思維表現(xiàn)：第一是考察學(xué)生加減運(yùn)算的思維品質(zhì)表現(xiàn)，由于深入性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性在智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算中無法進(jìn)行考察，上述的三個(gè)思維品質(zhì)是思維的一般品質(zhì)，是對(duì)思維品質(zhì)這個(gè)大概念的整體認(rèn)識(shí)，并未考慮到數(shù)學(xué)加減運(yùn)算的學(xué)科特征和智力障礙學(xué)生的特殊性，本研究結(jié)合加減運(yùn)算能力的構(gòu)成標(biāo)志，將運(yùn)算的準(zhǔn)確性作為考察指標(biāo)之一，與敏捷性和靈敏性一起考察智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算的思維品質(zhì)表現(xiàn)；第二是考察學(xué)生加減運(yùn)算思維的行為表現(xiàn)，語言是思維的物質(zhì)外殼，動(dòng)作能夠輔助思維，注意力影響思維進(jìn)行，故本研究也考察智力障礙學(xué)生加減運(yùn)算經(jīng)過中的語言運(yùn)用、動(dòng)作表現(xiàn)與注意力等行為表現(xiàn)，來佐證其加減運(yùn)算思維表現(xiàn)。本研究中思維表現(xiàn)指在加減運(yùn)算中智力障礙學(xué)生思維的準(zhǔn)確性、敏捷性、靈敏性等思維品質(zhì)的表現(xiàn)，以及與思維密切相關(guān)的語言運(yùn)用、動(dòng)作表現(xiàn)、注意力表現(xiàn)等行為表現(xiàn)。四、本研究的理論基礎(chǔ)?！惨弧承袨橹髁x數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。行為主義把客觀世界看作是獨(dú)立于主體以外的客觀實(shí)體，主體只能被動(dòng)接受外界刺激而產(chǎn)生反響。行為主義心理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生很多方面的影響，構(gòu)成獨(dú)樹一幟的行為主義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，其主要觀點(diǎn)為：第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是通過刺激與反響的聯(lián)合來實(shí)現(xiàn)的一種行為的構(gòu)成或改變。桑代克〔Thorndike〕將他的聯(lián)合理論首先應(yīng)用到數(shù)學(xué)和語文兩門學(xué)科的學(xué)習(xí)中，他以為簡(jiǎn)單聯(lián)合能構(gòu)成所有的復(fù)雜知識(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上就是建立和加強(qiáng)所需要的聯(lián)合，數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)必須不斷地通過記憶和練習(xí)，以強(qiáng)化聯(lián)合關(guān)系。第二，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是試誤〔嘗試-錯(cuò)誤〕的經(jīng)過，是通過嘗試在一定的情境與特定的反響之間建立的某種聯(lián)合。個(gè)體在試誤經(jīng)過中會(huì)犯很多錯(cuò)誤，通過接收到的反應(yīng)，個(gè)體會(huì)選擇保存正確的嘗試而放棄錯(cuò)誤的嘗試，進(jìn)而建立正確的聯(lián)合。從構(gòu)成數(shù)學(xué)概念，到獲取數(shù)學(xué)命題，再到解決數(shù)學(xué)問題，都是個(gè)體試誤的經(jīng)過，這種試誤經(jīng)過受練習(xí)律等學(xué)習(xí)律支配。第三，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在大量機(jī)械練習(xí)中構(gòu)成習(xí)慣。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只要通過大量反復(fù)的練習(xí)才能養(yǎng)成習(xí)慣。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)過中，運(yùn)算技能的構(gòu)成與發(fā)展，需要一定數(shù)量的反復(fù)練習(xí)，并在練習(xí)中及時(shí)強(qiáng)化，這樣容易使刺激與反響之間建立穩(wěn)固的聯(lián)合[10].兒童的加減運(yùn)算經(jīng)過，能夠用行為主義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論來進(jìn)行闡釋。例如：兒童運(yùn)用紙筆運(yùn)算、卡片顯示、物品操作或背誦等重復(fù)的試誤與練習(xí)，才能在頭腦中建立起兩數(shù)之和2+3與5這三個(gè)數(shù)字的聯(lián)合關(guān)系，當(dāng)被問道2+3等于多少時(shí)，兒童能夠直接從記憶庫中搜索到與之聯(lián)合的答案:5.在這個(gè)聯(lián)合關(guān)系構(gòu)成的經(jīng)過中，練習(xí)與記憶是最重要的，練習(xí)與記憶得越多，運(yùn)算就越熟練、越穩(wěn)固。〔二〕認(rèn)知發(fā)展階段論。著名的瑞士心理學(xué)家J.皮亞杰〔JeanPiaget〕深切進(jìn)入研究了人類知識(shí)發(fā)生、發(fā)展經(jīng)過中的認(rèn)知建構(gòu)，以為學(xué)習(xí)就是人類認(rèn)知構(gòu)造的建構(gòu)經(jīng)過。他提出來關(guān)于人類認(rèn)知的一系列基本的心理學(xué)和哲學(xué)概念，如內(nèi)化、活動(dòng)、動(dòng)作、運(yùn)算、邏輯數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)等。運(yùn)算是J.皮亞杰〔JeanPiaget〕認(rèn)知理論中最為關(guān)鍵的概念之一。他以為知識(shí)與動(dòng)作或活動(dòng)是嚴(yán)密聯(lián)絡(luò)在一起的。一連串動(dòng)作協(xié)調(diào)起來構(gòu)成的系統(tǒng)稱為圖式。在思想內(nèi)部進(jìn)行的活動(dòng)稱為內(nèi)化，得到內(nèi)化的經(jīng)過稱為運(yùn)算，通俗地講即思維操作。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維的發(fā)展是互相聯(lián)絡(luò)、互相制約、互相促進(jìn)的。關(guān)于思維發(fā)展的研究，J.皮亞杰〔JeanPiaget〕根據(jù)主體建構(gòu)構(gòu)成的認(rèn)知構(gòu)造性質(zhì)，提出了兒童的認(rèn)知發(fā)展階段理論，他以為人的思維的發(fā)展是呈階梯狀發(fā)展的，而非呈直線上升的。J.皮亞杰〔JeanPiaget〕將兒童的認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)階段：感悟運(yùn)動(dòng)階段〔出生到2歲〕，在這個(gè)階段，嬰兒或者幼兒通過感悟覺和動(dòng)作技能去探尋求索周邊的世界，在這一階段兒童只要直覺能力，其活動(dòng)未到達(dá)內(nèi)化水平，因而不具備運(yùn)算性質(zhì)；前運(yùn)算階段〔2~7歲〕，這個(gè)階段的兒童仍不具備運(yùn)算能力，但他們?cè)谒季S上開場(chǎng)有了一定的表象能力，能利用符號(hào)做媒介或工具來描繪敘述客觀世界。在兒童的認(rèn)知構(gòu)造中，知覺成分占主要優(yōu)勢(shì)，思維受知覺的限制，兒童只能進(jìn)行直覺思維，他們的考慮缺乏可逆性；詳細(xì)運(yùn)算階段〔7~11歲〕，這一階段的兒童，思維發(fā)展有了質(zhì)的變化，他們開場(chǎng)具備運(yùn)算能力。由于他們的認(rèn)知構(gòu)造中構(gòu)成了同一性、可逆性和補(bǔ)償作用等推理原則，在面對(duì)物質(zhì)、數(shù)量、長(zhǎng)度、面積、容積守恒問題時(shí)，能夠進(jìn)行邏輯推理，但需借助詳細(xì)形象的支持；形式運(yùn)算階段〔11~15歲〕，這一階段的兒童或青少年的思維是內(nèi)部的、有組織的并且是可逆的，他們逐步具備類似成人的思維構(gòu)造。在這一階段，兒童能夠認(rèn)識(shí)、提出命題，能夠從假設(shè)考慮問題和推導(dǎo)結(jié)論，還能夠?qū)γ}進(jìn)行運(yùn)算和理解高度抽象的概念。以上四個(gè)階段相互銜接卻不能超越，后三個(gè)發(fā)展階段與學(xué)校教育的關(guān)系尤為密切。培智學(xué)校智力障礙學(xué)生思維的發(fā)展，主要處于詳細(xì)運(yùn)算階段，他們的認(rèn)知構(gòu)造中已有抽象概念，能夠進(jìn)行邏輯推理，但推理能力往往局限于熟悉經(jīng)歷體驗(yàn)或詳細(xì)情境，需借助詳細(xì)形象進(jìn)行。智力障礙學(xué)生記憶、注意、自我意識(shí)和意志的發(fā)展水平薄弱，不能很好地計(jì)劃、調(diào)控學(xué)習(xí)活動(dòng)?！踩辰?gòu)主義學(xué)習(xí)理論。建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，包括有意義的主動(dòng)操作，以及在數(shù)學(xué)環(huán)境中建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象[11].布魯納和狄恩斯強(qiáng)調(diào)兒童與環(huán)境互相作用、積極介入學(xué)習(xí)經(jīng)過的重要性，以為操作實(shí)物的活動(dòng)在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)過中必不可少。狄恩斯將兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)過分為三個(gè)順序階段：無構(gòu)造性地探尋求索教具的自由游戲階段；經(jīng)過建構(gòu)式考慮的構(gòu)造性經(jīng)歷體驗(yàn)階段；經(jīng)過分析性考慮的再運(yùn)用階段。布魯納以為概念理解包含三個(gè)層次：第一是操作活動(dòng)層次，直接牽涉詳細(xì)經(jīng)歷體驗(yàn)。如兒童實(shí)際操作合并2個(gè)蘋果和4個(gè)蘋果，計(jì)數(shù)得出6的結(jié)果，此為操作活動(dòng)層次的學(xué)習(xí)。第二個(gè)是映像層次，牽涉表象運(yùn)用。如兒童通過看圖或口述應(yīng)用題進(jìn)行運(yùn)算，此為映像層次的學(xué)習(xí)。第三是符號(hào)層次，牽涉用抽象符號(hào)表示出事物。如兒童通過心理運(yùn)算得出2+4=6的結(jié)果，此為符號(hào)層次的學(xué)習(xí)。〔四〕信息加工理論。信息加工理論產(chǎn)生于20世紀(jì)的50年代后期，該理論將人腦堪稱是類似于計(jì)算機(jī)的信息加工系統(tǒng)，把學(xué)習(xí)解釋為一種信息的加工經(jīng)過，包括信息的接收、儲(chǔ)存、加工、提取和輸出經(jīng)過。加涅〔RobertM.Gagn〕以為，最典型的學(xué)習(xí)形式就是信息加工理論的學(xué)習(xí)形式。信息加工理論學(xué)習(xí)形式指出了信息的流程，即環(huán)境刺激學(xué)習(xí)者的接收器，并通過感覺登記器進(jìn)入短時(shí)記憶，這些信息在被編碼后以語義的形式儲(chǔ)存下來，保持2.5~20秒。華而不實(shí)，經(jīng)過復(fù)述、精細(xì)加工和組織編碼的信息進(jìn)入了長(zhǎng)時(shí)記憶。從短時(shí)記憶和長(zhǎng)時(shí)記憶中檢索出來的信息到達(dá)反響生成器，被轉(zhuǎn)換成行動(dòng)，使效應(yīng)器活動(dòng)起來，產(chǎn)生能夠影響學(xué)習(xí)者環(huán)境的操作行為，進(jìn)而完成了信息加工經(jīng)過。在這個(gè)經(jīng)過中，執(zhí)行監(jiān)控和預(yù)期作為兩個(gè)重要構(gòu)造分別起到調(diào)節(jié)和學(xué)習(xí)定向的作用[12].加涅〔RobertM.Gagn〕根據(jù)對(duì)信息加工經(jīng)過的分析，還提出了學(xué)習(xí)經(jīng)過構(gòu)造的八級(jí)階梯形式：動(dòng)機(jī)、選擇、獲得、保持、回憶、概括、作業(yè)以及反應(yīng)。信息加工理論對(duì)于學(xué)校的教學(xué)實(shí)踐具有指導(dǎo)意義，也有助于我們進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究。五、以往研究。〔一〕運(yùn)算與學(xué)生運(yùn)算的相關(guān)研究。1.運(yùn)算理論研究。(數(shù)學(xué)辭?！场?002年版〕的第六卷指出，運(yùn)算能力是指運(yùn)用有關(guān)的運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算和推理而求運(yùn)算結(jié)果的能力，它是數(shù)學(xué)能力的基本構(gòu)成之一。運(yùn)算是一個(gè)演繹推理經(jīng)過。在初等數(shù)學(xué)階段，數(shù)學(xué)運(yùn)算主要有理式、整式、根式運(yùn)算，四則運(yùn)算，對(duì)數(shù)、指數(shù)和三角函數(shù)運(yùn)算。到了高等階段發(fā)展為極限運(yùn)算，微分和積分運(yùn)算，向量運(yùn)算、矩陣運(yùn)算，數(shù)據(jù)與信息處理和概率運(yùn)算，集合、邏輯運(yùn)算以致更抽象、更廣義的運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力包括所有這些方面的運(yùn)算能力[13].運(yùn)算能力包含兩個(gè)方面：運(yùn)算知識(shí)〔即算法概念與運(yùn)算法則〕和運(yùn)算技能。在運(yùn)算學(xué)習(xí)中，已經(jīng)構(gòu)成算法概念的學(xué)生在學(xué)習(xí)了運(yùn)算法則后，通過運(yùn)用法則和合理練習(xí)，在抽象水平上進(jìn)行運(yùn)算，并構(gòu)成相應(yīng)的運(yùn)算技能。運(yùn)算技能的把握是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，運(yùn)算技能的構(gòu)成經(jīng)過也是學(xué)生運(yùn)算能力由低向高的發(fā)展經(jīng)過。運(yùn)算準(zhǔn)確性、敏捷性和靈敏性是運(yùn)算技能構(gòu)成的標(biāo)志。準(zhǔn)確性與敏捷性互相制約，準(zhǔn)確性提高會(huì)造成敏捷性降低，而敏捷性提高則經(jīng)常導(dǎo)致準(zhǔn)確性降低；關(guān)于運(yùn)算的準(zhǔn)確性與敏捷性，通常以準(zhǔn)確性為主，在準(zhǔn)確性的前提下追求敏捷性。靈敏性具有下面特點(diǎn)：首先是起點(diǎn)靈敏，即考慮問題的方式方法角度多樣；其次是概括-遷移能力強(qiáng)，運(yùn)用法則自覺性高；最后是擅長(zhǎng)運(yùn)用組合分析，使自覺思維的伸縮性大。本研究考慮到智力障礙學(xué)生的本身特點(diǎn)，僅從遷移能力方面考察其運(yùn)算的靈敏性。2.學(xué)生運(yùn)算能力研究。歐陽常青等〔1999〕通過使用問卷對(duì)600名桂林市小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行包括數(shù)概念、基本能力、空間關(guān)系、運(yùn)算能力等方面的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在算理計(jì)算法則和n+1、n-1關(guān)系的計(jì)算及應(yīng)用方面的項(xiàng)目通過率超過75%,已到達(dá)較高水平。表示清楚小學(xué)三年級(jí)學(xué)生已具備一定的加減運(yùn)算能力，能正確把握一些基本運(yùn)算法則與算理，但邏輯思維能力較弱。肖國衡、易群蘭〔2003〕對(duì)從深圳市兩所小學(xué)中選取的1126名高、中、低三個(gè)年段的學(xué)生對(duì)其進(jìn)行口算、估算、筆算和找規(guī)律算四個(gè)方面的測(cè)驗(yàn)以考察小學(xué)生計(jì)算能力的現(xiàn)在狀況。研究發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生的計(jì)算能力發(fā)展不平衡，四種運(yùn)算能力由強(qiáng)到若分別為筆算、口算、找規(guī)律算和估算。通過年級(jí)比擬，學(xué)生計(jì)算正確率隨年級(jí)的升高而下降，找規(guī)律算的能力略有提高，但估算能力無明顯進(jìn)步。張懷英等〔2007〕分層整群抽取海南省的1201名小學(xué)生對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)基本能力測(cè)驗(yàn)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算領(lǐng)域居于優(yōu)秀和中上等級(jí)的學(xué)生比例隨年級(jí)增高而上升，較差等級(jí)的學(xué)生人數(shù)隨年級(jí)增高而下降。研究還發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)算能力在四年級(jí)時(shí)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，可能與學(xué)生開場(chǎng)學(xué)習(xí)四則混合運(yùn)算，其運(yùn)算思維遭到干擾有關(guān)。許曉輝等研究者〔2008〕選取99名大班幼兒進(jìn)行縱向研究，考察其實(shí)物運(yùn)算題、口頭文字題和符號(hào)運(yùn)算題三種不同呈現(xiàn)方式下的加減運(yùn)算能力。發(fā)現(xiàn)幼兒6歲時(shí)的加減運(yùn)算能力比5歲時(shí)有顯著提高；在5~6歲期間，幼兒進(jìn)行三種不同呈現(xiàn)方式加減運(yùn)算的能力的發(fā)展速度不同，符號(hào)加減題的運(yùn)算能力發(fā)展最快。綜合以上研究，普通學(xué)生能夠合理運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，且運(yùn)算能力普遍隨年級(jí)增高而呈上升趨勢(shì)，基本符合本年級(jí)運(yùn)算水平。小學(xué)生在估算、文字題和簡(jiǎn)便運(yùn)算技能略低于口算、豎式運(yùn)算和遞等式運(yùn)算。3.學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤的相關(guān)研究。在運(yùn)算錯(cuò)誤的研究方面，李燕〔1999〕以為，學(xué)生解題出錯(cuò)是必然現(xiàn)象，要正視學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤，提高學(xué)生解題能力、完善其認(rèn)知構(gòu)造。郜舒竹〔2007〕等人以為，學(xué)生要提高運(yùn)算能力就要注意減少運(yùn)算錯(cuò)誤并和熟練運(yùn)算技能。運(yùn)算錯(cuò)誤主要包括數(shù)學(xué)概念的錯(cuò)誤和數(shù)學(xué)計(jì)算的錯(cuò)誤兩個(gè)方面。張文濤〔2006〕以為，不理解概念的真正內(nèi)涵、新舊知識(shí)關(guān)系混亂會(huì)造成數(shù)學(xué)概念錯(cuò)誤的產(chǎn)生，而運(yùn)算法則使用錯(cuò)誤、運(yùn)算順序錯(cuò)誤或簡(jiǎn)便算法誤用等則會(huì)造成數(shù)學(xué)計(jì)算錯(cuò)誤的產(chǎn)生。除此之外，字跡潦草、抄錯(cuò)數(shù)字等不良學(xué)習(xí)習(xí)慣可以能造成計(jì)算錯(cuò)誤。嚴(yán)根明等〔1992〕采用普遍調(diào)查法考察525名上海市南匯縣六年級(jí)學(xué)生簡(jiǎn)便運(yùn)算、解方程、豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算和文字題的運(yùn)算能力發(fā)現(xiàn)，學(xué)生各類型題錯(cuò)誤率都比擬高，均超過13%,華而不實(shí)列式計(jì)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算錯(cuò)誤率最高；運(yùn)算錯(cuò)誤原因主要有概念模糊、計(jì)算法則錯(cuò)誤、運(yùn)算數(shù)序錯(cuò)誤、運(yùn)算不熟練、粗心大意等。華而不實(shí)，計(jì)算法則錯(cuò)誤和粗心大意是導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤的主要原因。范強(qiáng)等〔1998〕通過十道簡(jiǎn)便運(yùn)算測(cè)試題調(diào)查高年級(jí)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的習(xí)慣與能力，有99%的學(xué)生以為簡(jiǎn)便計(jì)算很重要，有94.3%的學(xué)生能運(yùn)用簡(jiǎn)便算法進(jìn)行運(yùn)算，但5.4%的學(xué)生在方式方法選擇上出現(xiàn)錯(cuò)誤；有7.7%的學(xué)生在數(shù)字計(jì)算經(jīng)過中出現(xiàn)錯(cuò)誤。邱曉軍等〔2006〕在校內(nèi)組織的五年級(jí)學(xué)生口算、豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算等計(jì)算能力測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的運(yùn)算成績(jī)不容樂觀，運(yùn)算錯(cuò)誤較多。學(xué)生的錯(cuò)誤主要包括三類，一是觀察不仔細(xì)、抄錯(cuò)數(shù)字符號(hào)等感悟粗略造成的錯(cuò)誤過失；二是概念模糊、口算不熟、計(jì)算法則錯(cuò)誤等運(yùn)算技能欠缺造成的錯(cuò)誤；三是字跡潦草、不仔細(xì)檢查等學(xué)習(xí)習(xí)慣不良導(dǎo)致的計(jì)算錯(cuò)誤。4.提高學(xué)生運(yùn)算能力的相關(guān)研究。提高運(yùn)算能力的研究方面，曹學(xué)良〔1999〕以為，運(yùn)算能力是個(gè)體數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)組成部分。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力，重點(diǎn)要培養(yǎng)其運(yùn)算能力〔王南枝，1984〕。諸多研究者和學(xué)校老師都提倡反復(fù)有效練習(xí)以提高運(yùn)算能力。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力首先要注重運(yùn)算法則的教學(xué)。運(yùn)算法則能夠使運(yùn)算經(jīng)過愈加程序化、規(guī)范化，是運(yùn)算時(shí)必需要遵循的一般規(guī)則，學(xué)生只要把握正確的運(yùn)算原理，并將其運(yùn)用到運(yùn)算經(jīng)過中，才能夠得到正確的運(yùn)算結(jié)果。〔顧文亞、盧燕娟，2007〕。李吉原〔2007〕主張通過學(xué)生運(yùn)算結(jié)果準(zhǔn)確性、運(yùn)算速度快速性和運(yùn)算方式方法技巧性和來衡量學(xué)生運(yùn)算能力。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力還應(yīng)注意加強(qiáng)學(xué)生的口算和估算的訓(xùn)練。筆算以口算為基礎(chǔ)，是在口算準(zhǔn)確且熟練的基礎(chǔ)上建立和發(fā)展起來的，加強(qiáng)口算訓(xùn)練能提高運(yùn)算速度。小學(xué)階段還能夠適當(dāng)增加估算教學(xué)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的粗略估算，能夠檢驗(yàn)筆算結(jié)果，提高學(xué)生的運(yùn)算思維能力。高恩蘭〔1995〕以為老師在教學(xué)經(jīng)過中必須重視基礎(chǔ)計(jì)算能力的培養(yǎng)，堅(jiān)持口算練習(xí)，采用視算、聽算互相交替的訓(xùn)練方式方法來提高學(xué)生運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性。童云山〔1996〕以為20以內(nèi)的加減運(yùn)算和表內(nèi)乘法口訣是最基礎(chǔ)的口算訓(xùn)練內(nèi)容，華而不實(shí)20以內(nèi)加減法運(yùn)算是最重要的運(yùn)算技能。杜寶華〔1996〕提出了數(shù)數(shù)法、湊十法、口訣法、破十減、退1加補(bǔ)等課堂教學(xué)中常用的幾種口算方式方法。湯婭林〔2003〕以為數(shù)手指并不利于學(xué)生的思維能力的提高，提倡湊十法代替數(shù)手指作為口算訓(xùn)練的重點(diǎn)。但也有研究者持反對(duì)的意見，如金月明、王金秀〔2007〕以為對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來講，比起復(fù)雜的湊十法，數(shù)手指更容易被學(xué)生所把握，更能有效地提高學(xué)生口算能力。他們建議老師根據(jù)教學(xué)的實(shí)際需求選取恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒ㄟM(jìn)行口算訓(xùn)練。最后，培養(yǎng)運(yùn)算能力還要加強(qiáng)練習(xí)。練習(xí)對(duì)于穩(wěn)固數(shù)學(xué)知識(shí)具有重要意義。有層次、有針對(duì)性的練習(xí)能夠激發(fā)學(xué)生運(yùn)算興趣，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。〔二〕學(xué)生運(yùn)算思維的相關(guān)研究。從數(shù)學(xué)運(yùn)算的邏輯性和抽象性本質(zhì)來看，兒童要把握數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，必需要具備一定的邏輯思維能力。J.皮亞杰〔JeanPiaget〕以為兒童的邏輯思維包含了動(dòng)作層面和抽象層面兩個(gè)方面，學(xué)前兒童邏輯思維的發(fā)展具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是其邏輯思維發(fā)展依靠于動(dòng)作，兒童需要將動(dòng)作內(nèi)化于頭腦中，并在頭腦中自若地加以逆轉(zhuǎn)，構(gòu)成一個(gè)可逆的、內(nèi)化的運(yùn)算構(gòu)造；二是兒童邏輯思維發(fā)展依靠于詳細(xì)事物，他們需要借助詳細(xì)形象來理解數(shù)量關(guān)系。王坤玉〔1991〕以為思維能力是運(yùn)算能力的核心，要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，首先要明確運(yùn)算思維的發(fā)展經(jīng)過。運(yùn)算思維經(jīng)過的發(fā)展經(jīng)歷了從詳細(xì)思維到抽象思維，從開展性思維到壓縮性思維，從綜合性思維到抽象性思維，從直覺思維到自覺思維，從單向思維到逆向、多向思維。林崇德通過考察0-7歲的學(xué)前兒童的數(shù)概念和運(yùn)算能力的發(fā)展?fàn)顩r，以為兒童2-7歲并非處于前運(yùn)算階段，而是以表象為主，逐步發(fā)展到初步抽象階段。他將兒童2-7歲這5年分三個(gè)思維活動(dòng)階段：2-3歲為思維直觀-表象籠統(tǒng)的概括階段；3-5歲為思維直觀-言語數(shù)概括階段；5歲以后為思維表象-言語數(shù)概括階段。林崇德以為兒童從5歲開場(chǎng)就能在數(shù)學(xué)運(yùn)算中逐步按規(guī)則進(jìn)行，在這一階段，兒童可不依靠直觀進(jìn)行運(yùn)算，而開場(chǎng)抽象的概括，講明他們已向邏輯抽象水平發(fā)展。兒童運(yùn)算經(jīng)過中所使用的策略，反映了其思維經(jīng)過。Siegler〔1996〕通過研究發(fā)現(xiàn)，多數(shù)兒童在進(jìn)行簡(jiǎn)單加法運(yùn)算時(shí)會(huì)使用三種以上不同策略，兒童不僅能對(duì)不同問題采用一樣策略，又能在不同時(shí)間對(duì)同一問題采用不同策略。王葵〔2004〕研究4-6歲學(xué)前兒童在進(jìn)行簡(jiǎn)單加減運(yùn)算時(shí)所使用的運(yùn)算策略發(fā)現(xiàn)，元認(rèn)知對(duì)運(yùn)算策略的影響隨著年齡而變化：起初運(yùn)算策略的選擇和執(zhí)行都不受元認(rèn)知的影響，隨著年齡增長(zhǎng)，元認(rèn)知開場(chǎng)影響運(yùn)算策略的執(zhí)行，但對(duì)運(yùn)算策略的選擇卻沒有明顯影響。劉電芝〔2003〕提出兒童學(xué)習(xí)策略多重加工模型，以為兒童策略的加工經(jīng)過是一個(gè)不斷變化的新陳代謝經(jīng)過，新的策略不斷產(chǎn)生并替代舊的策略。策略意識(shí)和策略運(yùn)用的有效性推動(dòng)著策略的發(fā)展與變化。楊蕾〔2006〕發(fā)現(xiàn)大班幼兒的運(yùn)算策略較為豐富，其加減運(yùn)算策略與運(yùn)算得分的發(fā)展有關(guān)，幼兒對(duì)加減運(yùn)算策略選擇水平越高，其運(yùn)算得分越高，但幼兒運(yùn)算得分與幼兒加減運(yùn)算策略的多少?zèng)]有明顯相關(guān)。根據(jù)運(yùn)算思維在數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)過中的重要性，多名研究者對(duì)怎樣培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算思維提出了建議。薛松〔2018〕提出要不斷循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，包括培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性、邏輯性、批判性和靈敏性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維考慮問題，以促進(jìn)本身的成長(zhǎng)。田長(zhǎng)生〔2008〕也以為數(shù)學(xué)思維能力的高低是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，而思維能力往往具體表現(xiàn)出在思維品質(zhì)上，在教學(xué)經(jīng)過中要重視培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。金守成〔2018〕以為老師教學(xué)是影響學(xué)生運(yùn)算思維障礙的重要原因，老師教法不當(dāng)、缺乏情境創(chuàng)設(shè)、不注重梯度訓(xùn)練、缺乏穩(wěn)固和聯(lián)絡(luò)都將造成小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維障礙，老師應(yīng)切實(shí)提高教學(xué)水平?！踩持橇φ系K學(xué)生運(yùn)算的相關(guān)研究。學(xué)生運(yùn)算能力的研究大多集中在普通學(xué)生的運(yùn)算經(jīng)過中的認(rèn)知加工和運(yùn)算結(jié)果的錯(cuò)誤類型方面，對(duì)智力障礙學(xué)生的研究較少。通過查閱國內(nèi)外研究智力障礙學(xué)生數(shù)學(xué)能力的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，由于智力水平有限，智力殘疾學(xué)生的思維的發(fā)展遭到一定的限制。郭海英等〔2005〕通過測(cè)試智力落后學(xué)生認(rèn)知情況，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生在注意力、記憶、思維、感悟覺等方面明顯落后于普通學(xué)生，主要表現(xiàn)為：注意力分散；短時(shí)記憶差；思維速度慢、維度少、概念困難等。孫家駒等〔2000〕研究發(fā)現(xiàn)輕度弱智學(xué)生除智力整體發(fā)展水平較低，還存在著感悟障礙、記憶障礙、思維障礙等詳細(xì)的認(rèn)知障礙，這些障礙使輕度弱智學(xué)生相比普通學(xué)生在學(xué)習(xí)某些復(fù)雜材料時(shí)感悟、理解和把握水平都要更差些，一些有明顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的學(xué)生在理解較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)存在困難。除此之外，輕度弱智學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)明顯的適應(yīng)性行為障礙，如注意力障礙、情緒不穩(wěn)定、語言發(fā)展延遲緩慢、活動(dòng)水平異常等，這些都影響其學(xué)習(xí)水平。I