第07講傅里葉變換的性質(zhì)1/9/20231第07講傅里葉變換的性質(zhì)1/9/20231頻率分析通過變換將時間變量轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率變量、在頻域內(nèi)分析信號和系統(tǒng)特性的方法。這是基于信號的頻率特性來分析信號與系統(tǒng)響應(yīng)的方法。1/9/20232頻率分析通過變換將時間變量轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率變量、在頻域內(nèi)分析本章要求熟練掌握周期信號與非周期信號的頻率分析及信號通過系統(tǒng)時系統(tǒng)響應(yīng)在頻域中的求解方法熟練掌握傅氏變換與反變換的方法及其傅氏變換的性質(zhì)了解掌握頻率分析方法的一些實際應(yīng)用1/9/20233本章要求熟練掌握周期信號與非周期信號的頻率分析及信號通本章主要內(nèi)容4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/20234本章主要內(nèi)容4.1引言返回4.6能量譜和功率譜14.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/202354.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202傅里葉變換的性質(zhì)線性奇偶性對稱（互易）性尺度變換（時頻展縮）時移（延時）特性頻移特性卷積定理時域微分和積分頻域的微分與積分特性傅里葉變換有許多基本性質(zhì)，它們進(jìn)一步揭示了信號時域特性與頻域特性間的內(nèi)在聯(lián)系，加深了變換的物理概念，簡化了運(yùn)算，在實際工作中有著重要的意義。返回1/9/20236傅里葉變換的性質(zhì)線性傅里葉變換有許多基本性質(zhì)，它們進(jìn)一步揭線性特性若則有：（這里包括齊次性、疊加性）1/9/20237線性特性若則有：（這里包括齊次性、疊加性）1/9/20237例題1/9/20238例題1/9/20238奇偶特性其中：從而：1/9/20239奇偶特性其中：從而：1/9/20239⑴

實函數(shù)：f(t)的頻譜F(jω)是共軛對稱函數(shù)，R(ω)是偶函數(shù)，X(ω)是奇函數(shù)，|F(jω)|是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。

即若有那么：1/9/202310⑴實函數(shù)：f(t)的頻譜F(jω)是共軛對稱函數(shù)，R(ω∵

為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即

⑵

若f(t)是實偶函數(shù)，其頻譜F(jω)也為實偶函數(shù)∴

⑶

若f(t)是實奇函數(shù)，其頻譜F(jω)為虛奇函數(shù)∵

為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即

∴1/9/202311∵為奇函數(shù)，在對稱區(qū)⑷

偶函數(shù)的頻譜為偶函數(shù)

⑸

奇函數(shù)的頻譜為奇函數(shù)

證法同上1/9/202312⑷偶函數(shù)的頻譜為偶函數(shù)⑸奇函數(shù)的頻譜為奇函數(shù)證法同對稱（互易）特性若，則有：當(dāng)為偶函數(shù)時有:上式表明：傅里葉正反變換式之間存在著對稱的互易關(guān)系，即信號的波形與信號頻譜的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)

，式中

表示頻譜函數(shù)的坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例：，利用此性質(zhì)有:1/9/202313對稱（互易）特性若，則有：當(dāng)為偶函數(shù)時有:尺度變換（時頻展縮）特性若則有：上式表明了時間函數(shù)與頻譜函數(shù)之間的關(guān)系，即對時域的壓縮對應(yīng)于頻域的擴(kuò)展，由此得到一個重要結(jié)論：信號的持續(xù)時間與其所占頻帶成反比。①

在近代通信中，要求快速通信，縮短通信時間，就要求壓縮信號的持續(xù)時間，那么，要保證通信質(zhì)量，則必須按比例地展寬通信設(shè)備的頻帶；②

信號持續(xù)時間有限，則其占有頻帶無限，反之亦然。1/9/202314尺度變換（時頻展縮）特性若則有：上式表明了時間函數(shù)與頻譜函如果是一路數(shù)字信號：假設(shè)1個時間單位內(nèi)傳送4次，其帶寬是100rad/s；若1個時間單位內(nèi)傳送4×2=8次則其帶寬為2×100=200rad/s。1/9/202315如果是一路數(shù)字信號：假設(shè)1個時間單位內(nèi)傳送4次，其帶寬是10延時（時移）特性若則有：上式表明：如果在時域中延遲了時間

t0

，其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位要變（-t0ω），與頻率成正比，即為了使延遲的信號波形保持不變，必須在傳輸過程中，使信號的頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率成正比，否則延遲信號將失真，這實際上是系統(tǒng)分析中“不失真系統(tǒng)”的條件。例：1/9/202316延時（時移）特性若則有：上式表明：如果在時域中延遲了時間頻移特性若頻移特性（調(diào)制特性）：將頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上平移ω0，則其代表的信號波形與原信號波形有很大區(qū)別。該特性在信號調(diào)制中有著十分重要的意義。則有：1/9/202317頻移特性若頻移特性（調(diào)制特性）：將頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上平移例：收端：

（實際系統(tǒng)調(diào)制要比這復(fù)雜）發(fā)端：

1/9/202318例：收端：（實際系統(tǒng)調(diào)制要比這復(fù)雜）發(fā)端：1/9/2021/9/2023191/9/202319頻分復(fù)用每個（對）用戶在所有的時間內(nèi)使用各自一個頻段。應(yīng)用情況：⑴有線通信：程控交換機(jī)以前所用載波交換機(jī)；

⑵無線通信：移動通信；

⑶廣播：AM、FM

1/9/202320頻分復(fù)用每個（對）用戶在所有的時間內(nèi)使用各自一個頻段。應(yīng)用情用頻率搬移手段，將原來各路頻譜相同的信號，搬移到不同的頻率段，以達(dá)到信道復(fù)用，且消除相互干擾的目的。頻分復(fù)用通信1/9/202321用頻率搬移手段，將原來各路頻譜相同的信號，搬移到不同的頻率段頻移特性要注意的是頻移特性與時移特性有完全相似的形式，這也是傅里葉變換對稱互易特性的體現(xiàn)，如：由對稱特性有：例：∵有虛指數(shù)信號：1/9/202322頻移特性要注意的是頻移特性與時移特性有完全相似的形式，這也卷積定理若則有：⑴

時域卷積特性：變卷積運(yùn)算為積分運(yùn)算⑵

頻域卷積特性：又稱為乘積特性，與上有互易關(guān)系

若則有：1/9/202323卷積定理若則有：⑴時域卷積特性：變卷積運(yùn)算為積分運(yùn)算⑵例題部分分式法1/9/202324例題部分分式法1/9/202324微分特性若，則有：例：∵則有：1/9/202325微分特性若，則有：例：∵則有：1/9/202325例題例：求如圖所示非周期信號的頻譜。方法一：利用基本積分公式

分段積分：1/9/202326例題例：求如圖所示非周期信號的頻譜。方法一：利用基本方法二：利用微分性質(zhì)：

1/9/202327方法二：利用微分性質(zhì)：1/9/202327鑒頻器在發(fā)送端：將要傳送的信號調(diào)制a(t)載波信號b(t)的頻率，得到調(diào)頻信號cω(t)，其頻率隨信號a(t)的變化，如ω(t)。1/9/202328鑒頻器在發(fā)送端：將要傳送的信號調(diào)制a(t)載波信號b(t)鑒頻器1/9/202329鑒頻器1/9/202329鑒頻器在接收端：讓接收到的調(diào)頻信號cω(t)通過具有微分特性的鑒頻器（可用RC電路、諧振電路（的上升沿）或其他電路實現(xiàn)），得到的信號d(t)幅度隨頻率的變化面變化，如e(t)，再把頻率的變化也考慮進(jìn)來，得到頻率、幅度均與a(t)相同變化的f(t)。可以看到，不考慮頻率的變化，f(t)就是一個調(diào)幅信號，將它通過檢波器就能恢復(fù)出原信號a(t)。1/9/202330鑒頻器在接收端：讓接收到的調(diào)頻信號cω(t)通過具有微分特積分特性若，則有：當(dāng)時，為：例：∵∴1/9/202331積分特性若，則有：當(dāng)時，為：例：∵∴1/9/202331頻域的微分與積分特性，則有：⑴微分：若，或，或例：∵，∴∵，∴1/9/202332頻域的微分與積分特性，則有：⑴微分：若，或，或例：∵，∴∵頻域的微分與積分特性，則有：⑵積分：若例：∵∴1/9/202333頻域的微分與積分特性，則有：⑵積分：若例：∵∴1/9/20其中ω

是變化的，變化范圍是（-∞，∞），所以上面的積分式應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的情況要分幾個區(qū)域：、將頻率區(qū)域分成了三塊（-∞，-1）、（-1，1）、（1，∞），所以:⑴1/9/202334其中ω是變化的，變化范圍是（-∞，∞），所以上面的積分式應(yīng)⑵⑶1/9/202335⑵⑶1/9/202335已知：互易特性：時移特性：互易特性：頻移特性：時域微分特性：時域積分特性：線性特性：頻域微分特性：1/9/202336已知：互易特性：時移特性：互易特性：頻移特性：時域微分特性：4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/2023374.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202能量譜與功率譜非周期信號的能量頻譜

周期信號的功率頻譜本節(jié)討論周期信號的功率在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系，非周期信號的能量在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系。1/9/202338能量譜與功率譜非周期信號的能量頻譜本節(jié)討論周期信號的功率在變換式：非周期信號所具有的能量是表征信號特征的另一個重要參數(shù)，它等于在全部時間內(nèi)消耗于

1Ω電阻上的總能量——歸一化能量。信號的能量公式可寫成:（交換積分順序）1/9/202339變換式：非周期信號所具有的能量是表征信號特征的另一個重要參數(shù)非周期信號的能量頻譜∴非周期信號的歸一化能量在時域中與在頻域中也保持恒等——帕斯瓦爾（Parseval）時頻能量恒等式。1/9/202340非周期信號的能量頻譜∴非周期信號的歸一化能量在時域中與在頻域由于非周期信號可分解成振幅為無窮小的頻率分量，其各頻率分量的能量也是無窮小，為表示能量在頻率中的分布情況，也可以借助于密度的概念：定義單位角頻率的信號能量為能量密度頻譜函數(shù)（能量頻譜），用G(ω)表示，依此，信號在整個頻率范圍內(nèi)的全部能量應(yīng)為：與前式比較有：其單位為：J?S。1/9/202341由于非周期信號可分解成振幅為無窮小的頻率分量，其各頻率分量的非周期信號的能量頻譜信號能量頻譜與信號頻譜函數(shù)模值的平方有關(guān)，而與其相位無關(guān)。同樣根據(jù)能量頻譜G(ω)畫出的頻譜曲線，稱為能量密度頻譜曲線。依據(jù)該曲線可以研究信號能量的分布情況，從而可適當(dāng)選擇系統(tǒng)或電路的通頻帶，以便充分利用信號能量，發(fā)揮系統(tǒng)效能。1/9/202342非周期信號的能量頻譜信號能量頻譜與信號頻譜函數(shù)模值的平方有關(guān)信號的能量（功率）頻譜概念為定義信號的持續(xù)時間

t

和頻帶寬度

B

提供了又一個方法。有些信號從理論上講，其持續(xù)時間或頻帶寬度是無限的，但從能量（功率）分布來看，其絕大部分能量（功率）都分布在一定范圍內(nèi)，超出此范圍，其能量（功率）很小，可忽略不計。返回1/9/202343信號的能量（功率）頻譜概念為定義信號的持續(xù)時間t和頻帶寬因此，定義集中了90％信號能量（功率）的時間為信號的有效持續(xù)時間，定義集中了90％信號能量（功率）的頻帶寬度為信號的有效頻帶寬度。以上所述，周期信號在時域內(nèi)的功率和在頻域內(nèi)的功率相等，而非周期信號在時域內(nèi)的能量與在頻域內(nèi)的能量相等，這是功率（能量）守恒定理在信號分析中的體現(xiàn)，也是信號的時間特性與頻率特性的又一重大關(guān)系。返回1/9/202344因此，定義集中了90％信號能量（功率）的時間為信號的有效持續(xù)4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7周期信號的傅里葉變換1/9/2023454.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202正弦、余弦信號的傅里葉變換∴

由頻移特性可得：于是正弦信號與余弦信號就可以得到：由互易特性可得：1/9/202346正弦、余弦信號的傅里葉變換∴由頻移特性可得：于是正弦信號與1/9/2023471/9/202347一般周期信號當(dāng)周期信號f(t)的周期為T

時，可將

f(t)展開為：周期信號的頻譜是以

Ω間隔的沖激序列，每個沖激函數(shù)強(qiáng)度為2πFn?？梢?，信號的頻譜與其指數(shù)頻譜的形狀相同，只是譜線變成了沖激，強(qiáng)度增加了2π

倍。1/9/202348一般周期信號當(dāng)周期信號f(t)的周期為T時，可將f(例題例：周期信號

（m為整數(shù)）即1/9/202349例題例：周期信號（m為整數(shù)）即1/9/20234沖激信號序列的頻譜仍是一個周期沖激信號序列，所不同的是：一個在時域中，間隔為T，強(qiáng)度為1；一個是在頻域中，間隔為Ω，強(qiáng)度也為Ω。返回1/9/202350沖激信號序列的頻譜仍是一個周期沖激信號序列，所不同的是：一個頻分復(fù)用通信——信號的調(diào)制調(diào)制：用信號對載波信號 的參量進(jìn)行控制的過程，分調(diào)幅、調(diào)頻、調(diào)相。（這里僅介紹調(diào)幅）⑴∵∴（頻率搬移）1/9/202351頻分復(fù)用通信——信號的調(diào)制調(diào)制：用信號對載波信號 1/9/2023521/9/202352例：對周期性方波：設(shè)：可有：∴

這里：1/9/202353例：對周期性方波：設(shè)：可有：∴這里：1/9/202353其中②、③兩部分的形狀與完全相同。①

載頻項：無直流就無此項；可見，已調(diào)信號由三部分組成：②

上邊帶 ：和頻項③

下邊帶 ：差頻項1/9/202354其中②、③兩部分的形狀與完全相同。①載頻⑵

它包含有載頻項， 為調(diào)幅指數(shù)，常用百分?jǐn)?shù)表示（中波為30%）。與⑴中相比多了兩個沖激（載波），于是不管中是否有直流，已調(diào)波中均帶有載波，這樣便于接收機(jī)進(jìn)行相干解調(diào)。1/9/202355⑵它包含有載頻項， 為調(diào)幅指數(shù)，常用百分?jǐn)?shù)表示解調(diào)：將原信號從已調(diào)信號上取下來的過程。方法：相干解調(diào)，非相干解調(diào)。⑴相干解調(diào)：利用與發(fā)送端同頻同相的載波解調(diào)的方法。由前有：再利用一帶寬為

的低通濾波器，即可以恢復(fù)原信號

。頻分復(fù)用通信——信號的解調(diào)1/9/202356解調(diào)：將原信號從已調(diào)信號上取下來的過程。方法：相干相干解調(diào)要求有同頻同相的載波，否則解調(diào)將發(fā)生失真；電路復(fù)雜。如果利用其調(diào)制波的特點而不用載波將大大簡化接收設(shè)備——非相干解調(diào)。⑵非相干解調(diào)：（對調(diào)幅稱為檢波，對調(diào)頻稱為鑒頻）分為小信號（平方律）檢波（電壓

）和包絡(luò)線檢波（電壓

）。①平方律檢波：當(dāng)信號較小時1/9/202357相干解調(diào)要求有同頻同相的載波，否則解調(diào)將發(fā)生失真；電路復(fù)雜。若工作點很低時，其中

項等高頻分量由

濾除，

包含有所需的原

分量，而1/9/202358若工作點很低時，其中 項等高頻分量由濾除∴第一項為直流，由

去掉；第三項為有用信號，m大好；第二項頻率不高，不易去掉，易造成失真，與m的平方成正比，故m不宜大。②線性檢波：信號較大時基本上沿著調(diào)幅波的包絡(luò)線，但有很大起伏，若保持

，增加

，則電容放電時間減少，波形起伏較小，檢波器輸出電壓波形就基本上與調(diào)幅波包絡(luò)線一致從而再現(xiàn)

信號。1/9/202359∴第一項為直流，由去掉；第三項為有用信號，m大第07講傅里葉變換的性質(zhì)1/9/202360第07講傅里葉變換的性質(zhì)1/9/20231頻率分析通過變換將時間變量轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率變量、在頻域內(nèi)分析信號和系統(tǒng)特性的方法。這是基于信號的頻率特性來分析信號與系統(tǒng)響應(yīng)的方法。1/9/202361頻率分析通過變換將時間變量轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率變量、在頻域內(nèi)分析本章要求熟練掌握周期信號與非周期信號的頻率分析及信號通過系統(tǒng)時系統(tǒng)響應(yīng)在頻域中的求解方法熟練掌握傅氏變換與反變換的方法及其傅氏變換的性質(zhì)了解掌握頻率分析方法的一些實際應(yīng)用1/9/202362本章要求熟練掌握周期信號與非周期信號的頻率分析及信號通本章主要內(nèi)容4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/202363本章主要內(nèi)容4.1引言返回4.6能量譜和功率譜14.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/2023644.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202傅里葉變換的性質(zhì)線性奇偶性對稱（互易）性尺度變換（時頻展縮）時移（延時）特性頻移特性卷積定理時域微分和積分頻域的微分與積分特性傅里葉變換有許多基本性質(zhì)，它們進(jìn)一步揭示了信號時域特性與頻域特性間的內(nèi)在聯(lián)系，加深了變換的物理概念，簡化了運(yùn)算，在實際工作中有著重要的意義。返回1/9/202365傅里葉變換的性質(zhì)線性傅里葉變換有許多基本性質(zhì)，它們進(jìn)一步揭線性特性若則有：（這里包括齊次性、疊加性）1/9/202366線性特性若則有：（這里包括齊次性、疊加性）1/9/20237例題1/9/202367例題1/9/20238奇偶特性其中：從而：1/9/202368奇偶特性其中：從而：1/9/20239⑴

實函數(shù)：f(t)的頻譜F(jω)是共軛對稱函數(shù)，R(ω)是偶函數(shù)，X(ω)是奇函數(shù)，|F(jω)|是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。

即若有那么：1/9/202369⑴實函數(shù)：f(t)的頻譜F(jω)是共軛對稱函數(shù)，R(ω∵

為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即

⑵

若f(t)是實偶函數(shù)，其頻譜F(jω)也為實偶函數(shù)∴

⑶

若f(t)是實奇函數(shù)，其頻譜F(jω)為虛奇函數(shù)∵

為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間積分為零，即

∴1/9/202370∵為奇函數(shù)，在對稱區(qū)⑷

偶函數(shù)的頻譜為偶函數(shù)

⑸

奇函數(shù)的頻譜為奇函數(shù)

證法同上1/9/202371⑷偶函數(shù)的頻譜為偶函數(shù)⑸奇函數(shù)的頻譜為奇函數(shù)證法同對稱（互易）特性若，則有：當(dāng)為偶函數(shù)時有:上式表明：傅里葉正反變換式之間存在著對稱的互易關(guān)系，即信號的波形與信號頻譜的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)

，式中

表示頻譜函數(shù)的坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例：，利用此性質(zhì)有:1/9/202372對稱（互易）特性若，則有：當(dāng)為偶函數(shù)時有:尺度變換（時頻展縮）特性若則有：上式表明了時間函數(shù)與頻譜函數(shù)之間的關(guān)系，即對時域的壓縮對應(yīng)于頻域的擴(kuò)展，由此得到一個重要結(jié)論：信號的持續(xù)時間與其所占頻帶成反比。①

在近代通信中，要求快速通信，縮短通信時間，就要求壓縮信號的持續(xù)時間，那么，要保證通信質(zhì)量，則必須按比例地展寬通信設(shè)備的頻帶；②

信號持續(xù)時間有限，則其占有頻帶無限，反之亦然。1/9/202373尺度變換（時頻展縮）特性若則有：上式表明了時間函數(shù)與頻譜函如果是一路數(shù)字信號：假設(shè)1個時間單位內(nèi)傳送4次，其帶寬是100rad/s；若1個時間單位內(nèi)傳送4×2=8次則其帶寬為2×100=200rad/s。1/9/202374如果是一路數(shù)字信號：假設(shè)1個時間單位內(nèi)傳送4次，其帶寬是10延時（時移）特性若則有：上式表明：如果在時域中延遲了時間

t0

，其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位要變（-t0ω），與頻率成正比，即為了使延遲的信號波形保持不變，必須在傳輸過程中，使信號的頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率成正比，否則延遲信號將失真，這實際上是系統(tǒng)分析中“不失真系統(tǒng)”的條件。例：1/9/202375延時（時移）特性若則有：上式表明：如果在時域中延遲了時間頻移特性若頻移特性（調(diào)制特性）：將頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上平移ω0，則其代表的信號波形與原信號波形有很大區(qū)別。該特性在信號調(diào)制中有著十分重要的意義。則有：1/9/202376頻移特性若頻移特性（調(diào)制特性）：將頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上平移例：收端：

（實際系統(tǒng)調(diào)制要比這復(fù)雜）發(fā)端：

1/9/202377例：收端：（實際系統(tǒng)調(diào)制要比這復(fù)雜）發(fā)端：1/9/2021/9/2023781/9/202319頻分復(fù)用每個（對）用戶在所有的時間內(nèi)使用各自一個頻段。應(yīng)用情況：⑴有線通信：程控交換機(jī)以前所用載波交換機(jī)；

⑵無線通信：移動通信；

⑶廣播：AM、FM

1/9/202379頻分復(fù)用每個（對）用戶在所有的時間內(nèi)使用各自一個頻段。應(yīng)用情用頻率搬移手段，將原來各路頻譜相同的信號，搬移到不同的頻率段，以達(dá)到信道復(fù)用，且消除相互干擾的目的。頻分復(fù)用通信1/9/202380用頻率搬移手段，將原來各路頻譜相同的信號，搬移到不同的頻率段頻移特性要注意的是頻移特性與時移特性有完全相似的形式，這也是傅里葉變換對稱互易特性的體現(xiàn)，如：由對稱特性有：例：∵有虛指數(shù)信號：1/9/202381頻移特性要注意的是頻移特性與時移特性有完全相似的形式，這也卷積定理若則有：⑴

時域卷積特性：變卷積運(yùn)算為積分運(yùn)算⑵

頻域卷積特性：又稱為乘積特性，與上有互易關(guān)系

若則有：1/9/202382卷積定理若則有：⑴時域卷積特性：變卷積運(yùn)算為積分運(yùn)算⑵例題部分分式法1/9/202383例題部分分式法1/9/202324微分特性若，則有：例：∵則有：1/9/202384微分特性若，則有：例：∵則有：1/9/202325例題例：求如圖所示非周期信號的頻譜。方法一：利用基本積分公式

分段積分：1/9/202385例題例：求如圖所示非周期信號的頻譜。方法一：利用基本方法二：利用微分性質(zhì)：

1/9/202386方法二：利用微分性質(zhì)：1/9/202327鑒頻器在發(fā)送端：將要傳送的信號調(diào)制a(t)載波信號b(t)的頻率，得到調(diào)頻信號cω(t)，其頻率隨信號a(t)的變化，如ω(t)。1/9/202387鑒頻器在發(fā)送端：將要傳送的信號調(diào)制a(t)載波信號b(t)鑒頻器1/9/202388鑒頻器1/9/202329鑒頻器在接收端：讓接收到的調(diào)頻信號cω(t)通過具有微分特性的鑒頻器（可用RC電路、諧振電路（的上升沿）或其他電路實現(xiàn)），得到的信號d(t)幅度隨頻率的變化面變化，如e(t)，再把頻率的變化也考慮進(jìn)來，得到頻率、幅度均與a(t)相同變化的f(t)?？梢钥吹剑豢紤]頻率的變化，f(t)就是一個調(diào)幅信號，將它通過檢波器就能恢復(fù)出原信號a(t)。1/9/202389鑒頻器在接收端：讓接收到的調(diào)頻信號cω(t)通過具有微分特積分特性若，則有：當(dāng)時，為：例：∵∴1/9/202390積分特性若，則有：當(dāng)時，為：例：∵∴1/9/202331頻域的微分與積分特性，則有：⑴微分：若，或，或例：∵，∴∵，∴1/9/202391頻域的微分與積分特性，則有：⑴微分：若，或，或例：∵，∴∵頻域的微分與積分特性，則有：⑵積分：若例：∵∴1/9/202392頻域的微分與積分特性，則有：⑵積分：若例：∵∴1/9/20其中ω

是變化的，變化范圍是（-∞，∞），所以上面的積分式應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的情況要分幾個區(qū)域：、將頻率區(qū)域分成了三塊（-∞，-1）、（-1，1）、（1，∞），所以:⑴1/9/202393其中ω是變化的，變化范圍是（-∞，∞），所以上面的積分式應(yīng)⑵⑶1/9/202394⑵⑶1/9/202335已知：互易特性：時移特性：互易特性：頻移特性：時域微分特性：時域積分特性：線性特性：頻域微分特性：1/9/202395已知：互易特性：時移特性：互易特性：頻移特性：時域微分特性：4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6能量譜和功率譜4.7

周期信號的傅里葉變換1/9/2023964.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202能量譜與功率譜非周期信號的能量頻譜

周期信號的功率頻譜本節(jié)討論周期信號的功率在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系，非周期信號的能量在時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系。1/9/202397能量譜與功率譜非周期信號的能量頻譜本節(jié)討論周期信號的功率在變換式：非周期信號所具有的能量是表征信號特征的另一個重要參數(shù)，它等于在全部時間內(nèi)消耗于

1Ω電阻上的總能量——歸一化能量。信號的能量公式可寫成:（交換積分順序）1/9/202398變換式：非周期信號所具有的能量是表征信號特征的另一個重要參數(shù)非周期信號的能量頻譜∴非周期信號的歸一化能量在時域中與在頻域中也保持恒等——帕斯瓦爾（Parseval）時頻能量恒等式。1/9/202399非周期信號的能量頻譜∴非周期信號的歸一化能量在時域中與在頻域由于非周期信號可分解成振幅為無窮小的頻率分量，其各頻率分量的能量也是無窮小，為表示能量在頻率中的分布情況，也可以借助于密度的概念：定義單位角頻率的信號能量為能量密度頻譜函數(shù)（能量頻譜），用G(ω)表示，依此，信號在整個頻率范圍內(nèi)的全部能量應(yīng)為：與前式比較有：其單位為：J?S。1/9/2023100由于非周期信號可分解成振幅為無窮小的頻率分量，其各頻率分量的非周期信號的能量頻譜信號能量頻譜與信號頻譜函數(shù)模值的平方有關(guān)，而與其相位無關(guān)。同樣根據(jù)能量頻譜G(ω)畫出的頻譜曲線，稱為能量密度頻譜曲線。依據(jù)該曲線可以研究信號能量的分布情況，從而可適當(dāng)選擇系統(tǒng)或電路的通頻帶，以便充分利用信號能量，發(fā)揮系統(tǒng)效能。1/9/2023101非周期信號的能量頻譜信號能量頻譜與信號頻譜函數(shù)模值的平方有關(guān)信號的能量（功率）頻譜概念為定義信號的持續(xù)時間

t

和頻帶寬度

B

提供了又一個方法。有些信號從理論上講，其持續(xù)時間或頻帶寬度是無限的，但從能量（功率）分布來看，其絕大部分能量（功率）都分布在一定范圍內(nèi)，超出此范圍，其能量（功率）很小，可忽略不計。返回1/9/2023102信號的能量（功率）頻譜概念為定義信號的持續(xù)時間t和頻帶寬因此，定義集中了90％信號能量（功率）的時間為信號的有效持續(xù)時間，定義集中了90％信號能量（功率）的頻帶寬度為信號的有效頻帶寬度。以上所述，周期信號在時域內(nèi)的功率和在頻域內(nèi)的功率相等，而非周期信號在時域內(nèi)的能量與在頻域內(nèi)的能量相等，這是功率（能量）守恒定理在信號分析中的體現(xiàn)，也是信號的時間特性與頻率特性的又一重大關(guān)系。返回1/9/2023103因此，定義集中了90％信號能量（功率）的時間為信號的有效持續(xù)4.1引言4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4

非周期信號的頻譜4.5

傅里葉變換的性質(zhì)返回4.6

能量譜和功率譜4.7周期信號的傅里葉變換1/9/20231044.1引言返回4.6能量譜和功率譜1/9/202正弦、余弦信號的傅里葉變換∴

由頻移特性可得：于是正弦信號與余弦信號就可以得到：由互易特性可得：1/9/2023105正弦、余弦信號的傅里葉變換∴由頻移特性可得：于是正弦信號與1/9/20231061/9/202347一般周期信號當(dāng)周期信號f(t)的周期為T

時，可將

f(t)展開為：周期信號的頻譜是以

Ω間隔的沖激序列，每個沖激函數(shù)強(qiáng)度為2πFn?？梢?，信號的頻譜與其指數(shù)頻譜的形狀相同，只是譜線變成了沖激，強(qiáng)度增加了2π

倍。1/9/2023107一般周期信號當(dāng)周期信號f(t)的周期為T時，可將f(例題例：周期信