第七章

氣體動(dòng)理論

第7章氣體動(dòng)理論本章主要內(nèi)容：1、氣體動(dòng)理論的基本概念2、理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的微觀解釋3、能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能4、麥克斯韋分布律和玻爾茲曼分布律5、氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程

熱學(xué)是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象與熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科。

根據(jù)對(duì)熱現(xiàn)象研究方法的不同，熱學(xué)又可分為宏觀理論和微觀理論兩部分。微觀模型宏觀熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)力學(xué)規(guī)律統(tǒng)計(jì)方法宏觀熱現(xiàn)象宏觀熱現(xiàn)象的規(guī)律觀察實(shí)驗(yàn)邏輯推理微觀理論統(tǒng)計(jì)物理學(xué)宏觀理論熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平均

描寫宏觀物質(zhì)整體特征的量。如體積、溫度、壓強(qiáng)和內(nèi)能等。宏觀量

描寫單個(gè)微觀粒子特征的量。如分子質(zhì)量、位置、速度、能量等。微觀量導(dǎo)論一、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)模型1、分子、原子觀點(diǎn):宏觀物體由大量微觀粒子（分子或原子)組成，且粒子之間有間隙。1）阿伏伽德羅常數(shù)：1mol物質(zhì)含有的分子或原子數(shù)。2）分子數(shù)密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的分子數(shù)。例：常溫常壓下：3）分子線度：氣體分子間距約為分子直徑的10倍。例：標(biāo)準(zhǔn)狀況下因此，標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體分子與其間距相比可看作質(zhì)點(diǎn)。

7.1氣體動(dòng)理論的基本概念3、分子力的觀點(diǎn)：分子間有相互作用力，此力為短程力,有作用范圍。引力、斥力視距離而定。1）引力與斥力引力的存在：汽化熱切開(kāi)的鉛球加壓后可黏合且不易分開(kāi)膠水、漿糊的黏合作用斥力的存在：液體、固體具有一定的體積而難于壓縮2、分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn):（無(wú)序性）組成物質(zhì)的分子在永不停息地作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)。典型例子：布朗運(yùn)動(dòng)、擴(kuò)散現(xiàn)象。①在r=r0時(shí)分子力為零，相當(dāng)于兩分子剛好“接觸”。②當(dāng)r＜r0時(shí),兩分子在受到“擠壓”過(guò)程中產(chǎn)生強(qiáng)斥力，這時(shí)F（r）＞0且隨r0減少而劇烈增大。

③當(dāng)r＞r0時(shí)兩分子“分離”，產(chǎn)生吸引力，F(xiàn)（r）＜0。r0平衡距離，此時(shí)分子間相互作用力平衡。設(shè)分子是球形的,r—分子質(zhì)心間距2）分子作用力曲線（1）理想氣體分子可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律。（2）理想氣體分子間、分子與器壁間的碰撞是完全彈性的。（3）除碰撞瞬間外，理想氣體分子間無(wú)相互作用。理想氣體：滿足理想氣體狀態(tài)方程的氣體。理想氣體模型——無(wú)分子力的彈性質(zhì)點(diǎn)模型實(shí)際中：指溫度不太低、壓強(qiáng)不太大的一般氣體。二、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè)1、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型：處于平衡態(tài)的氣體均具有各向同性，即氣體在各方向上的物理性質(zhì)都相同，反之稱為各向異性。2、平衡態(tài)理想氣體分子的統(tǒng)計(jì)假設(shè)（分子混沌性）2)分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相同.(分子運(yùn)動(dòng)速度無(wú)擇優(yōu)取向)1)無(wú)外場(chǎng)時(shí)，平衡態(tài)下氣體分子應(yīng)均勻分布在容器中。（分子在各處出現(xiàn)的概率相同）1、偶然事件（隨機(jī)事件）：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。例：伽爾頓板實(shí)驗(yàn)2、統(tǒng)計(jì)規(guī)律：大量偶然事件的總體所具有的規(guī)律。

對(duì)單個(gè)小球而言，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全是偶然的。

大量小球或一個(gè)小球重復(fù)投入許多次的分布具有必然性。

即系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，宏觀量與相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值有關(guān)。求統(tǒng)計(jì)平均值尋找統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法：三、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念

設(shè)系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)A時(shí)，測(cè)量值是MA的次數(shù)為NA；系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)B時(shí)，測(cè)量值是MB的次數(shù)為NB，…實(shí)驗(yàn)總次數(shù)為。定義為M的統(tǒng)計(jì)平均值。定義系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)A的次數(shù)NA除以實(shí)驗(yàn)總次數(shù)N所得的比值，在N→∞時(shí)的極限值，稱為系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)

A的概率，即統(tǒng)計(jì)平均值描述隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小的量

歸一化條件系統(tǒng)處于一切可能狀態(tài)的概率總和等于1。3、統(tǒng)計(jì)平均值與概率統(tǒng)計(jì)平均值：求平均值[例]考試成績(jī)：90分，5人；80分，10人；70分，20人；

60分，10人；50分，5人。求此次考試分?jǐn)?shù)的平均值設(shè)Mi(成績(jī))為隨機(jī)變量離散變量四、

狀態(tài)參量熱力學(xué)系統(tǒng)：在給定的范圍內(nèi)，由大量的微觀粒子所組成的宏觀物體。壓強(qiáng)p

：垂直作用于容器壁單位面積上的壓力。（力學(xué)描述）體積V

：氣體所能達(dá)到的最大空間。（幾何描述）溫度T

：描述系統(tǒng)冷熱程度的物理量，標(biāo)志系統(tǒng)內(nèi)部分子熱運(yùn)動(dòng)的激烈程度。（熱學(xué)描述）描述熱力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的宏觀物理量，稱為狀態(tài)參量。熱力學(xué)溫標(biāo)T：?jiǎn)挝粸镵（開(kāi)爾文）單位：攝氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)的關(guān)系為：攝氏溫標(biāo)t：?jiǎn)挝粸閛C（攝氏度）。標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：

熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為外界。五、

平衡態(tài)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程根據(jù)系統(tǒng)和外界的關(guān)系，可將系統(tǒng)分為以下幾種類型：孤立系統(tǒng)：與外界不發(fā)生任何物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)。封閉系統(tǒng)：與外界只有能量交換沒(méi)有物質(zhì)交換的系統(tǒng)。開(kāi)放系統(tǒng)：與外界同時(shí)發(fā)生能量交換和物質(zhì)交換的系統(tǒng)。1、平衡態(tài)：1)平衡態(tài)可用p-V圖上的一點(diǎn)表示。

一個(gè)孤立系統(tǒng)或一個(gè)不受外界作用的系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間達(dá)到一種狀態(tài)參數(shù)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)，稱為平衡態(tài)。pVOabpaVapbVb平衡態(tài)平衡態(tài)2)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)系統(tǒng)要同時(shí)滿足：(熱力學(xué)平衡條件）熱平衡條件—系統(tǒng)的溫度處處相等；力學(xué)平衡條件—在無(wú)外場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部壓強(qiáng)處處相等；化學(xué)平衡條件—系統(tǒng)內(nèi)部各處化學(xué)組分處處相等。

（無(wú)化學(xué)反應(yīng)無(wú)外場(chǎng)）

若過(guò)程進(jìn)行的足夠慢，以至于熱力學(xué)過(guò)程中系統(tǒng)經(jīng)歷的所有中間態(tài)都無(wú)限接近平衡態(tài)，則稱為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。2、準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程：說(shuō)明：1）理想過(guò)程，實(shí)際中可用一無(wú)限緩慢的過(guò)程趨近。理想氣體理想氣體變化足夠緩慢中間態(tài)為非平衡態(tài)中間態(tài)為平衡態(tài)例：帶有活塞的導(dǎo)熱容器里封閉有一定量理想氣體。（無(wú)摩擦）準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程pVOpaVapbVba平衡態(tài)b平衡態(tài)2）準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程可用p-V

圖中的的一條有方向的曲線來(lái)表示。1mol,

NA=6.023×1023/mol

─阿佛加德羅常數(shù)描述理想氣體在任一平衡態(tài)下各宏觀狀態(tài)量之間的關(guān)系。—

玻耳茲曼常量六、

理想氣體狀態(tài)方程復(fù)習(xí)3、理想氣體的狀態(tài)方程理想氣體：滿足理想氣體狀態(tài)方程的氣體。無(wú)分子力的彈性質(zhì)點(diǎn)模型1、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型：2、平衡態(tài)理想氣體分子的統(tǒng)計(jì)假設(shè)（分子混沌性）2)分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相同.(分子運(yùn)動(dòng)速度無(wú)擇優(yōu)取向)1)無(wú)外場(chǎng)時(shí)，平衡態(tài)下氣體分子應(yīng)均勻分布在容器中。理想氣體模型:一、

理想氣體的壓強(qiáng)公式及其統(tǒng)計(jì)意義微觀本質(zhì)密集的雨點(diǎn)持續(xù)地傾瀉在傘面上，對(duì)傘面產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的壓力，由此產(chǎn)生作用于傘面上的壓強(qiáng)。容器中數(shù)目巨大的氣體分子頻繁碰撞器壁，會(huì)對(duì)器壁產(chǎn)生持續(xù)的壓力，從而產(chǎn)生器壁上的壓強(qiáng)．壓強(qiáng)：大量分子碰撞器壁單位時(shí)間內(nèi)、作用于器壁單位面積

的平均沖量。大量分子不斷碰撞器壁，對(duì)器壁單位面積的平均沖力。7.2理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的微觀解釋

理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)：研究對(duì)象：立方容器l1、l2、l3；總分子數(shù)N；分子質(zhì)量為m0

。單個(gè)分子遵循力學(xué)規(guī)律分子碰撞A1前后動(dòng)量變化：分子碰撞一次給A1的沖量為：兩次碰撞A1的時(shí)間間隔：?jiǎn)挝粫r(shí)間施于A1的總沖量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)與A1碰撞的次數(shù)：?jiǎn)挝粫r(shí)間施于A1的平均沖力：N個(gè)分子單位時(shí)間給A1的平均作用力：壓強(qiáng)：又因?yàn)椋涸谄胶鈶B(tài)下，有：故：

大量分子總效應(yīng)：—?dú)怏w分子的平均平動(dòng)動(dòng)能理想氣體的壓強(qiáng)討論

揭示了壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)。2)P是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是大量分子碰撞器壁的結(jié)果,對(duì)單個(gè)分子或少數(shù)分子無(wú)壓強(qiáng)可言。3）是分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能，不包括氣體整體定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。二、理想氣體的溫度公式及其微觀意義得則1）處于平衡態(tài)時(shí)的理想氣體，其分子平均平動(dòng)動(dòng)能與氣體的溫度呈正比。2）溫度的微觀本質(zhì)是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；是表示氣體分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)激烈程度的物理量。3）溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，因而溫度對(duì)個(gè)別分子也毫無(wú)意義。由狀態(tài)方程和壓強(qiáng)公式說(shuō)明三、

理想氣體分子的方均根速率是大量分子的速率平方平均值的平方根，稱為方均根速率。例如，0℃時(shí)常見(jiàn)的幾種氣體的方均根速率：根據(jù)和，可得氫氣氧氣氮?dú)饪諝鈿怏w例題7-3.

若氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1eV（電子伏特），問(wèn)氣體的溫度為多少？當(dāng)溫度為27oC時(shí)，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為多少？解：已知由理想氣體的溫度公式得當(dāng)溫度為27oC時(shí)，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為例題7-4.

試計(jì)算0oC時(shí)氫分子的方均根速率。解：已知?jiǎng)t：一、自由度：1、自由度數(shù)：確定一個(gè)物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。用i表示.◆自由運(yùn)動(dòng)剛體的自由度：轉(zhuǎn)軸：2(α，β，γ)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)：1（θ）◆質(zhì)點(diǎn)的自由度：空間：3質(zhì)心：3（x，y，z)：t=3平面：2直線：1Cxzy當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)受到某種限制時(shí)，自由度數(shù)會(huì)減少。7.3能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能2、氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度：①單原子分子：③剛性多原子分子：i=t+r=3+3=63個(gè)平動(dòng)自由度，

2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。3個(gè)平動(dòng)自由度,i=3②剛性雙原子分子：i=t+r=53個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)剛性分子:分子中諸原子中心間距保持不變.二、

能量按自由度均分定理分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：平動(dòng):分子在每個(gè)平動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能相等，都等于kT/2。

氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平均能量都相等，均為kT/2。推廣：能量按自由度均分定理：對(duì)自由度為i

的分子，其平均總能量應(yīng)為：例：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能按自由度均分2）室溫下只有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，高溫下才有振動(dòng)。一般不說(shuō)明，都按剛性分子處理，即無(wú)振動(dòng)。3）該原理也適用于液體和固體。三、

理想氣體的內(nèi)能1、一般熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)部各種能量的總和。2、理想氣體的內(nèi)能：

（若無(wú)化學(xué)反應(yīng)、無(wú)核反應(yīng)）系統(tǒng)內(nèi)能指所有分子的各種形式的動(dòng)能、振動(dòng)勢(shì)能和分子間勢(shì)能的總和。

理想氣體（剛性分子）的內(nèi)能，是系統(tǒng)內(nèi)全部分子的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。1）能量按自由度均分定理是關(guān)于分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)單個(gè)分子無(wú)意義。說(shuō)明計(jì)算理想氣體的內(nèi)能。設(shè)理想氣體的質(zhì)量m；摩爾質(zhì)量M；摩爾數(shù)ν；摩爾內(nèi)能i=6i=5i=3自由度剛性多原子剛性雙原子單原子每個(gè)分子的平均動(dòng)能：1mol理想氣體的內(nèi)能(摩爾內(nèi)能)：νmol理想氣體的內(nèi)能：當(dāng)溫度發(fā)生微小變化dT時(shí)，內(nèi)能的變化為：當(dāng)溫度由T變到T+△T，則：2)T是狀態(tài)量，與過(guò)程無(wú)關(guān)，因而內(nèi)能也是狀態(tài)量，與過(guò)程無(wú)關(guān)。一個(gè)過(guò)程中理想氣體內(nèi)能的變化僅與初、末態(tài)溫度變化有關(guān)，與過(guò)程無(wú)關(guān)。（對(duì)一定的理想氣體）1)一定的理想氣體，內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù),E∝T。νmol理想氣體的內(nèi)能說(shuō)明3）公式變形：

例題7-5

1mol氦氣與2mol氧氣在室溫下混合，試求當(dāng)溫度由27oC升為30oC時(shí)，該系統(tǒng)的內(nèi)能增量。解由內(nèi)能公式對(duì)氦氣i=3,對(duì)氧氣i=5

則內(nèi)能為：內(nèi)能的增量為：[補(bǔ)充例題]儲(chǔ)有1mol氧氣（剛性理想氣體）、體積為1m3的容器以10m/s的速度運(yùn)動(dòng)，該容器突然停止運(yùn)動(dòng)，80%的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體的內(nèi)能，問(wèn)氣體溫度及壓強(qiáng)的增量是多少？解：作業(yè)P178：3，5由于氣體分子數(shù)目巨大且碰撞頻繁，故單個(gè)分子速率取值是任意偶然的。由理想氣體的溫度公式：知:溫度T一定時(shí),大量分子的方均根速率是確定的。說(shuō)明：平衡態(tài)時(shí)雖然單個(gè)分子的速率取值偶然，但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。引言

——麥克斯韋速率分布律。一、速率分布函數(shù)：

分子可能的速率值:分子速率在0—∞范圍內(nèi)，分成小的區(qū)間，設(shè)在內(nèi)的分子數(shù)為dN，總分子數(shù)為N,——分子速率處于速率區(qū)間內(nèi)的概率?；蚍植荚谒俾蕝^(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。實(shí)驗(yàn)表明：7.4麥克斯韋分布律德國(guó)物理學(xué)家斯特恩（Stern）最早于1920年做了分子射線束實(shí)驗(yàn)以測(cè)定分子射線束中的分子束速率分布曲線，驗(yàn)證了氣體分子速率具有一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。分子射線束實(shí)驗(yàn)

分子束速率分布概率密度函數(shù)分子束分布曲線我國(guó)物理學(xué)家葛正權(quán)也于1934年測(cè)定了鉍分子速率分布曲線。速率分布函數(shù)

表示在溫度為T

的平衡態(tài)下，速率在v

附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比。

單個(gè)分子來(lái)說(shuō)，表示單個(gè)分子的速率出現(xiàn)在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率，即概率密度。物理意義表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.或分子速率介于速率區(qū)間內(nèi)的概率。二、麥克斯韋速率分布律：—麥克斯韋速率分布函數(shù)（概率密度）速率分布在區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：1859年，麥克斯韋首先從理論上導(dǎo)出了平衡態(tài)下理想氣體分子速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)形式：—麥克斯韋速率分布律其中，k—玻爾茲曼常量；m－氣體分子質(zhì)量;

T—?dú)怏w溫度；v－分子熱運(yùn)動(dòng)的速率特點(diǎn)：兩頭少，中間多，存在極大值討論：1、麥克斯韋速率分布曲線：表示速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。麥克斯韋速率分布曲線速率分布函數(shù)2、麥克斯韋速率分布曲線下面積的物理意義。

表示在速率間隔v～v+dv內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比表示在v1—v2速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。b)右部陰影面積：a)左部窄條面積：c)總面積：歸一化條件

對(duì)于任意一個(gè)以v為變量的物理量A=A（v），其統(tǒng)計(jì)平均值等于系統(tǒng)處于各個(gè)可能狀態(tài)的概率與相應(yīng)的A（v）乘積的總和．

由概率論可知：——求解與分子速率相關(guān)的各種物理量的統(tǒng)計(jì)平均值的基本關(guān)系式．例：—分子的平均平動(dòng)動(dòng)能—分子的平均速率討論三、分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值：(1)最概然速率(最可幾速率)vp：與分子速率分布曲線的極大值對(duì)應(yīng)的速率，可由f（v）表達(dá)式對(duì)v的一階導(dǎo)數(shù)得（極值條件）：物理意義：分子速率分布在vP附近單位速率間隔內(nèi)的概率最大。(2)平均速率

－大量氣體分子速率的算術(shù)平均值?；虬阉俾蕝^(qū)間等分為若干小區(qū)間，分布在vP所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)最多。(3)方均根速率三種速率的比較：f(v)0v結(jié)果與

得到的完全相同。

比較不同溫度或不同質(zhì)量的氣體速率分布曲線時(shí)，計(jì)算分子平均自由程、碰壁數(shù)、運(yùn)動(dòng)的平均距離，計(jì)算分子平均動(dòng)能時(shí)，當(dāng)分子質(zhì)量一定時(shí)，T升高,速率分布曲線的峰值點(diǎn)右移,曲線分布變平坦.

f(v)曲線與T，m

的關(guān)系T1<T2<T3f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1A同種氣體不同溫度下分子的速率分布曲線當(dāng)T一定，m減小時(shí),速率分布曲線的峰值點(diǎn)右移,曲線分布變平坦.粒子質(zhì)量越小,速率大的分子數(shù)越多m1>m2>m3f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2vp2vp1A相同溫度不同氣體分子的速率分布曲線試說(shuō)明下列各量的意義：表示某分子的速率在v~v+dv間隔內(nèi)的概率；或速率在v~v+dv間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.表示分子速率在v~v+dv間隔內(nèi)的分子數(shù).表示分子速率在0~v間隔內(nèi)的概率，或該分子速率在0~v間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。表示分子速率在v1~v

2間隔內(nèi)的分子數(shù)。表示分子的平均速率。討論用總分子數(shù)N,氣體分子速率v,分子質(zhì)量m,分子數(shù)密度n和速率分布函數(shù)f(v)表示下列各量:(1)速率大于v0的分子數(shù)

。(2)所有分子的平均速率

。(3)分子速率大于v0的概率

。(4)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

。(5)速率大于v0的分子數(shù)密度

。(6)速率大于v0的分子的平均速率

。練習(xí)(6)速率大于v0

的分子的平均速率：——不對(duì)！正確解答例題7-7.若某種氣體在溫度T1=300K時(shí)的方均根速率等于溫度為T2時(shí)的平均速率，求T2=？解：常溫下氣體可看作理想氣體，而方均根速率和平均速率分別為由已知條件得：例題7-9.有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為（1）畫出速率分布曲線；（2）由N和v0求常數(shù)c；（3）求粒子的平均速率；（4）求粒子的方均根速率。解：（1）速率分布曲線如右圖所示。（2）速率分布函數(shù)必須滿足歸一化條件，即所以：（3）（4）四、麥克斯韋速度分布律——麥克斯韋速度分布函數(shù)

在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子之間的相互作用可忽略時(shí)，速度區(qū)間，即速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy

在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：所滿足的歸一化條件為：7.5玻耳茲曼分布律麥克斯韋速度分布律為：

對(duì)于更一般的情形，如在外力場(chǎng)中的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。一、

玻耳茲曼分布律

麥克斯韋速度分布律對(duì)應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響，只考慮分子在速度空間體積元dvxdvydvz

中的分布情況。分子按速度的分布不受力場(chǎng)的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場(chǎng)的性質(zhì)。①用εk+εp

代替εk，②用x、y、z、vx、vy、vz

為軸構(gòu)成的六維空間的體積元

dxdydzdvxdvydvz

代替速度空間的體積元dvxdvydvz

當(dāng)系統(tǒng)處在外力場(chǎng)中時(shí)（如重力場(chǎng)）：兩點(diǎn)修正玻爾茲曼的推廣系統(tǒng)在外力場(chǎng)中處于熱平衡時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為：為在處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)?！柶澛芰糠植悸尚问揭弧柶澛芰糠植悸尚问揭恢匾Y(jié)論：即分子總是處于低能狀態(tài)的概率大些而處于高能狀態(tài)的概率小些。討論：

3、玻爾茲曼分布是普遍的規(guī)律。對(duì)于處于平衡態(tài)氣體中的原子、分子、布朗粒子及液體、固體中的粒子都適用（粒子之間相互作用很小可忽略）。1、這里的勢(shì)能指的是分子在外力場(chǎng)中具有的勢(shì)能，而不是分子間相互作用勢(shì)能。

在坐標(biāo)區(qū)間xx+dx，yy+dy，zz+dz

內(nèi)具有所有各種速度的分子數(shù)為：4、如只考慮分子在外場(chǎng)中按空間位置的分布情況：表示保守力場(chǎng)中勢(shì)能為EP的空間位置附近單位體積內(nèi)的分子數(shù)。——玻爾茲曼密度分布律形式二（描繪外力場(chǎng)中分子在位形空間的分布）(對(duì)所有可能的速度積分)——玻爾茲曼分布的常用形式二、重力場(chǎng)中微粒按高度的分布設(shè)Z=0

處，Ep=0,分子數(shù)密度n0

,分子勢(shì)能Ep=mgz

則高為z處單位體積內(nèi)的分子數(shù):說(shuō)明：重力場(chǎng)中分子數(shù)密度n隨高度的增加按指數(shù)衰減.法國(guó)物理學(xué)家佩蘭1909年測(cè)量了懸濁液內(nèi)不同高度處粒子的數(shù)目，證實(shí)了重力場(chǎng)中粒子按高度的分布律。無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)(T)均勻分布重力(m)分子聚集到地面平衡2、等溫高度公式：（高度計(jì)原理）1、等溫氣壓公式：表明:氣壓隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律衰減。三、等溫氣壓公式與等溫高度公式（近似結(jié)果）對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)：假設(shè)：大氣為理想氣體，不同高度處溫度相等近似估計(jì)高度練習(xí)重力場(chǎng)中，大氣壓

p

隨高度的變化規(guī)律為：當(dāng)大氣壓強(qiáng)減至地面壓強(qiáng)的75%時(shí)，該處距離地面的高度h=？（?。葴馗叨裙剑翰６澛芏确植悸甥溈怂鬼f速度分布律描繪分子在位形空間的分布描繪分子在速度空間的分布動(dòng)能+勢(shì)能=能量描繪分子按能量的分布規(guī)律

—玻耳茲曼能量分布律

從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)看，分子總是處于低能狀態(tài)的概率大些，而處于高能狀態(tài)的概率小些。系統(tǒng)在外力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)：玻爾茲曼分布

室溫下，按照麥克斯韋速率分布理論，空氣分子的平均速率達(dá)500m·s-1

左右，但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，氣體中的擴(kuò)散速率非常慢。原因是：氣體分子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)歷十分頻繁的碰撞。頻繁地碰撞使分子不斷改變運(yùn)動(dòng)方向與速率大小，致使分子路徑變得迂回曲折，使得分子實(shí)際的宏觀位移非常小。描述氣體分子間碰撞特征的物理量：

平均碰撞頻率；平均自由程。Why？引言7.6氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程一、分子的平均碰撞頻率d稱為分子的有效直徑，數(shù)量級(jí)為10-10m。

分子在運(yùn)動(dòng)中相互靠近，并在分子力作用下發(fā)生短時(shí)間相互作用。若用d表示兩個(gè)分子質(zhì)心距離的平均值，分子的碰撞相當(dāng)于兩個(gè)直徑為d的彈性球相碰撞。1、分子碰撞實(shí)質(zhì)2、分子的平均碰撞頻率：平均碰撞頻率：一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)與其它分子碰撞的平均次數(shù)稱為分子的平均碰撞頻率，3）兩個(gè)分子碰撞等效于兩個(gè)直徑為分子有效直徑d的彈性球相碰撞。1）假設(shè)其它分子都不動(dòng)，只有一個(gè)分子A以平均相對(duì)速率運(yùn)動(dòng)。2）分子A與其它分子碰撞后其速度方向改變，相鄰兩次碰撞之間沿直線運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)化模型思路：跟蹤一個(gè)分子A,計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)與A碰撞的分子數(shù)。圓柱體的截面積:

單位時(shí)間內(nèi)分子A

走