《直線的方向向量與平面的法向量(2)》教案教學目標教學目標1.能用向量語言描述平面，理解平面的法向量的概念；2.會用待定系數(shù)法求平面的法向量；3.在學習實踐中認識向量方法是解決立體幾何問題的基本方法，形成看待立體幾何問題的多元、多維觀點．教學重難點教學重難點重點：平面的法向量的求解．難點：平面的法向量的求解．教學過程教學過程一、情境導入情境：觀察教室中黑板、課桌桌面、窗戶等所在的平面，可以發(fā)現(xiàn)，課桌桌面所在的平面是水平的，與地面平行；黑板、窗戶所在的平面都是豎直的，垂直于底面．那么，平面有“方向”嗎？如果平面有方向，那么如何來刻畫平面的“方向”呢？設計意圖：結合生活實際，讓學生觀察平面的不同位置，直觀感知平面的方向，然后通過問題，引發(fā)學生思考．二、新知探究問題1：我們已經(jīng)知道，給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線．類似地，空間中，給定一個點和一條直線后，能否確定一個平面?答案：給定空間中一點A和一條直線l，由立體幾何知識可知，過點A且垂直于直線l的平面唯一確定．追問1：如何用向量表示這個平面？答案：如果一條直線l與一個平面α垂直，那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量，則n⊥α追問2：平面的法向量是唯一的嗎？答案：如圖，直線l的方向向量有無數(shù)個(如n，a，b等)，因此，平面α的法向量也有無數(shù)個．因此，平面的法向量不唯一．問題2：如何用平面的法向量描述平面內任意一點的位置呢?答案：如圖，設點M是平面α內給定的一點，向量n是平面α的一個法向量，那么對于平面α內任意一點P，必有：MP·n=0反過來，由立體幾何的知識可以證明：滿足①式的點P都在平面α內，所以把①式稱為平面α的一個向量表示式．追問：若已知向量n=A，B，C答案：設平面α內任意一點P的坐標為x，y，代入①式，得MP·即，Ax-x0由此可見，平面α內任意一點P的坐標x，y，z都滿足方程②；反之，以滿足方程②的x，y，z為坐標的任意一點也都在問題3：我們知道，空間中的平面α可以由α內兩條相交直線確定，能否用兩條不共線的向量表示空間中的平面？答案：設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數(shù)對x，y，使得OP=xa+yb，這樣，點O與向量追問1：空間一點P在平面ABC內的充要條件是什么？答案：不共線的三點A、B、C構成兩個不共線的向量AB、AC，平面內任意一點P，存在實數(shù)x，y，使得AP=xAB+yAC因此空間一點P在平面ABC內的充要條件是：存在實數(shù)x，y使OP此結論可以證明空間四點共面．追問2：如何說明空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定？答案：xAB+yAC表示平面內的任意向量，OA+xAB三、應用舉例例1已知點A0，1，1，B1，2解：由已知可得：AB=1，1，設n=x，y，則n·AB=0不妨取x=1，得∴平面ABC的一個法向量的坐標為1，總結：利用待定系數(shù)法求平面的法向量的步驟：①求平面ABC的法向量時，要選取平面ABC內兩個不共線的向量，如AB，AC；②設平面的一個法向量為n=③聯(lián)立方程組n·④所求出向量中的三個坐標不是具體的值，而是比例關系，設定一個坐標為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量．例2：在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3．（1）在四邊形BCC'B'內，是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？（2）求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點．解：（1）以點A為原點，AB，AD，AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系，則B1，0，0故BD=-1設N1，y，z是四邊形BCC'B'內一點，則0則AN·BD=0AN·故在四邊形BCC'B'內存在一點N1，12，1（2）由（1）知AN=1，1又B1，0，1，化簡，得6，即6x+3y設點E為線段AC'的一個三等分點，且滿足AE=由AC'=1，2，3，可知代入方程（*）檢驗可知，點E的坐標滿足平面A'BD的方程（*）．所以AC'的三等分點E在平面A'BD內，即AC'與平面A'BD的交點恰好就是線段AC'的三等分點．四、課堂練習1.(多選)在直三棱柱ABC-A1A.ABB.AA1C.B2.在正方體ABCD-A1B1參考答案：1.根據(jù)直三棱柱的特點，側棱與底面垂直，可以直接得出AA1，BB1，CC1都可以作為平面ABC的法向量，同樣地，A1A，B12.分析：可用向量數(shù)量積的定義證明DB1與平面ACD1中兩個不共線向量分別垂直；也可用待定系數(shù)法求出平面解：不妨設正方體的棱長為1，以DA，DC，DD1為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-所以DB1=1，證法一：因為DB1·AC=1×又AC∩AD1=A，所以DB1⊥平面證法二：設平面ACD1的一個法向量為則n·AC=0不妨取x=1，得所以n=1，而DB1=1，1，1，故總結：在正方體ABCD-A1B1五、課堂小結設計意