第十三章動量矩定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩動量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程引言

由靜力學力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉(zhuǎn)動。若將簡化中心和基點取在質(zhì)心上，則動量定理（質(zhì)心運動定理）描述了剛體隨同質(zhì)心的運動的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機械運動規(guī)律的一個側(cè)面。剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將有本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械運動規(guī)律的另一個側(cè)面。13.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩一、質(zhì)點的動量矩

設(shè)質(zhì)點某瞬時的動量為，質(zhì)點相對固定點

的矢徑為，如圖。質(zhì)點M的動量對于點O的矩，定義為質(zhì)點對于點O的動量矩，即

垂直于，大小等于面積的二倍，方向由右手法則確定。

類似于力對點之矩和力對軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點對固定坐標軸的動量矩等于質(zhì)點對坐標原點的動量矩在相應坐標軸上的投影，即質(zhì)點對固定軸的動量矩是代數(shù)量，其正負號可由右手法則來確定。動量矩是瞬時量。在國際單位制中，動量矩的單位是13.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩

1、質(zhì)點系對固定點的動量矩

設(shè)質(zhì)點系由個質(zhì)點組成，其中第個質(zhì)點的動量為，對任一固定點的動量矩為，則質(zhì)點系對固定點的動量矩為即：質(zhì)點系對任一固定點O的動量矩定義為質(zhì)點系中各質(zhì)點對固定點動量矩的矢量和。

2、質(zhì)點系對固定軸的動量矩

以固定點O為原點建立直角坐標軸，將上式投影到軸上，則有即：質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩定義為質(zhì)點系中各質(zhì)點對該固定軸動量矩的代數(shù)和。13.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩

3、平動剛體的動量矩

設(shè)平動剛體的質(zhì)量為，質(zhì)心的速度為。其上任一點的質(zhì)量為，速度為，則。任選一固定點，則有由于，所以即：平動剛體對任一固定點的動量矩等于視剛體為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點對該固定點的動量矩。

13.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩

4、轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩

設(shè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角速度為，剛體上任一質(zhì)點的質(zhì)量為，到轉(zhuǎn)軸的距離為，則其速度的大小為，于是有令

稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，于是有即：定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角速度的乘積。13.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩

例1均質(zhì)圓盤可繞軸轉(zhuǎn)動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物。若圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為，角速度為，重物的質(zhì)量為，并設(shè)繩與原盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸的動量矩。

解：的轉(zhuǎn)向沿逆時針方向。13.2動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理

設(shè)質(zhì)點對固定點的動量矩為

，作用力對同一點的矩為，如圖所示。

將動量矩對時間取一次導數(shù)，得由，且，則上式可改寫為因為，，于是得13.2動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理即：質(zhì)點對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于質(zhì)點所受的力對同一點的矩。這就是質(zhì)點的動量矩定理。

將上式投影在直角坐標軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系代入，得即：質(zhì)點對某固定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等于質(zhì)點所受的力對同一軸的矩。13.2動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理

在特殊情況下，若，則

若，則即：若作用在質(zhì)點上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。這就是質(zhì)點的動量矩守恒定理。13.2動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理

例2圖示為一單擺（數(shù)學擺），擺錘質(zhì)量為，擺線長為，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經(jīng)過點的鉛垂平面內(nèi)擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規(guī)律。

解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。在任一瞬時，擺錘的速度為，擺的偏角為，則式中負號表示力矩的正負號恒與角坐標的正負號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。13.2動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理由，得即這就是單擺的運動微分方程。當很小時擺作微擺動，，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲泻蜑榉e分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為顯然，周期只與有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理

設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有個質(zhì)點，作用于每個質(zhì)點的力分為外力和內(nèi)力。由質(zhì)點的動量矩定理有這樣的方程共有個，相加后得由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項上式左端為于是得13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理即：質(zhì)點系對某固定點O的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。這就是質(zhì)點系的動量矩定理。應用時，取投影式即：質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理

在特殊情況下，若，則

若，則即：若作用在質(zhì)點系上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點系對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。這就是質(zhì)點系的動量矩守恒定理。內(nèi)力不影響動量矩的變化。例：人坐在轉(zhuǎn)椅上，雙腳離地，則人自己不能將椅子轉(zhuǎn)動。例：均質(zhì)鼓輪質(zhì)量為m1，對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，置于摩擦系數(shù)為f的粗糙水平面上，并與光滑的鉛垂墻接觸，重物A的質(zhì)量為m2，不計繩質(zhì)量。求：重物A下落的加速度和鼓輪所受的約束力。Ar2Or1Or1Am1gm2gxF1N1N2y解：取系統(tǒng)，受力如圖。因粗糙地面及夾墻的作用，鼓輪質(zhì)心O位置不變。ω=vA/r1。對固定點O用動量矩定理13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理例3高爐運送礦石的卷揚機如圖。已知鼓輪的半徑為，質(zhì)量為，繞軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為。作用在鼓輪上的力偶矩為，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，軌道傾角為。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計，求小車的加速度。

解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則由，有13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理因，，于是解得若，則，小車的加速度沿軌道向上。

必須強調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負號規(guī)定必須完全一致。13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理例4水平桿AB長為，可繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂時，這系統(tǒng)繞軸的角速度為（如圖）。如某時此細線拉斷后，桿AC和BD各與鉛垂線成角。不計各桿的質(zhì)量，求這時系統(tǒng)的角速度。

解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理其中于是由此求出斷線后的角速度為顯然，此時的角速度。13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理

例5一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為的重物，另一端有一質(zhì)量為的人以速度相對細繩向上爬。若滑輪半徑為，質(zhì)量不計，并且開始時系統(tǒng)靜止，求人的速度。

解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。由于，且系統(tǒng)初始靜止，所以。

設(shè)重物A上升的速度為，則人的絕對速度的大小為所以即13.2動量矩定理二、質(zhì)點系的動量矩定理由上式解得重物A的速度為于是人的絕對速度為由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

設(shè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，受力如圖所示。設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則，由得即：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。應用剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程可以解決動力學兩類問題。13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

例6如圖所示，已知滑輪半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，帶動滑輪的皮帶拉力為和。求滑輪的角加速度。

解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程于是得由上式可見，只有當定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

例7圖示物理擺的質(zhì)量為，為其質(zhì)心，擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。求微小擺動的周期。

解：設(shè)角以逆時針方向為正。當角為正時，重力對點之矩為負。由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有

當微擺動時，有，故方程寫為此方程通解為

為角振幅，為初相位。它們均由初始條件確定。擺動周期為13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

如將上式改寫為這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于點作微幅擺動，測出擺動周期后即可計算出此物體對于軸的轉(zhuǎn)動慣量。

例8如圖，飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，以初角速度繞水平軸轉(zhuǎn)動，其阻力矩（為常數(shù)）。求經(jīng)過多長時間，角速度降至初角速度的一半，在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)。

解：以飛輪為研究對象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有（1）13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程將（1）式變換，有將上式求定積分，得將（1）式改寫為即將上式求定積分，得轉(zhuǎn)過的角度為因此轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸、轉(zhuǎn)動，其半徑分別為、，質(zhì)量分別為、，轉(zhuǎn)動慣量分別為、，今在輪上作用一力矩，求其角加速度。

解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有由運動學關(guān)系，得注意到，聯(lián)立求解以上三式得13.4轉(zhuǎn)動慣量一、轉(zhuǎn)動慣量的概念

由前知，剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量定義為：剛體上所有質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到軸的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式

由定義可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是：。同一剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，而它對某定軸的轉(zhuǎn)動慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣量。13.4轉(zhuǎn)動慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

1、均質(zhì)細桿對過質(zhì)心和端點且垂直于桿軸線軸的轉(zhuǎn)動慣量

取桿的軸線為軸，軸的位置如圖。在距軸為處取一長度為的微段，它的質(zhì)量為，對于的轉(zhuǎn)動慣量為。于是整個細長桿對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為同法可得對軸的轉(zhuǎn)動慣量為13.4轉(zhuǎn)動慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

2、細圓環(huán)對過質(zhì)心垂直于圓環(huán)平面軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為，半徑為。則

3、薄圓板對過質(zhì)心垂直于板平面軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為，半徑為。則，圓環(huán)的質(zhì)量為，于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為13.4轉(zhuǎn)動慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

4、圓柱體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)圓柱體的質(zhì)量為，半徑為，則

5、薄平面的轉(zhuǎn)動慣量

取如圖坐標軸。任取微面元，其質(zhì)量為，則于是得到薄平板對三坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系式，即13.4轉(zhuǎn)動慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

對于薄圓板，注意到它關(guān)于直徑的對稱性，有

6、矩形薄平板的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)板的質(zhì)量為，則同理而它對垂直于板平面的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為13.4轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即

證明：如圖所示，作直角坐標系，則因為，，于是13.4轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理

由質(zhì)心坐標公式，當坐標原點取在質(zhì)心時，，，又有，于是得證畢。

由定理可知：剛體對于所有平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。13.4轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理

例10如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，求桿對的轉(zhuǎn)動慣量。

解：由，得（1）（2）13.4轉(zhuǎn)動慣量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動慣量

例11均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為，求其對軸

的轉(zhuǎn)動慣量。

解：13.4轉(zhuǎn)動慣量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動慣量

例12如圖所示，質(zhì)量為的均質(zhì)空心圓柱體外徑為，內(nèi)徑為，求對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解：空心圓柱可看成由兩個實心圓柱體組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為，內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為取負值，即設(shè)、分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則于是13.4轉(zhuǎn)動慣量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)單位體積的質(zhì)量為，則代入前式得注意到，則得13.4轉(zhuǎn)動慣量五、回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）

在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其定義為

稱為剛體對軸的回轉(zhuǎn)半徑。顯然具有常度的單位。如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將剛體的質(zhì)量集中到一點處，并保持剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長度。

由定義知，回轉(zhuǎn)半徑僅與剛體的形狀有關(guān)，而與剛體的材質(zhì)（即與剛體的質(zhì)量）無關(guān)。即幾何形狀相同，材質(zhì)不同的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。例：圖示一均質(zhì)正方形平板在光滑水平面上以角速度ω繞AB軸轉(zhuǎn)動，設(shè)該板一角E突然被固定在CD軸上，從而使板以角速度ω1繞CD軸轉(zhuǎn)動，試比較ω與ω1的大小。OABCDEωω1解：∵∑mZ（F）=0∴關(guān)于Z軸動量矩守恒

JABω=JCDω1∵JCD=JAB+m（OE）2＞JAB∴ω＞ω1

即：轉(zhuǎn)動慣量越大，越不易改變運動狀態(tài)。如胖人比瘦人轉(zhuǎn)的慢。又如花樣滑冰運動員手臂的收、放。例：圖示系統(tǒng)，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB在質(zhì)量為M的均質(zhì)管CD內(nèi)自由的滑動，當桿全部在管內(nèi)時（x=0），系統(tǒng)的角速度為ω1，摩擦略去不計，求：當x=l/2時，系統(tǒng)的角速度ω2。ABCDlxz對Z軸動量矩守恒x=0：LZ1=JZ1ω1=

l2（M+m）ω1/3x=l/2：LZ2=（Ml2/3+ml2/12+ml2）ω213.5質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理

如圖所示，為固定點，為質(zhì)點系的質(zhì)心，質(zhì)點系對于固定點的動量矩為對于任一質(zhì)點，由圖可見于是由于，令，它是質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩。于是得即：質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量對于O點的動量矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動量矩（應為矢量和）。13.5質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理

質(zhì)點系對于固定點O的動量矩定理可寫成展開上式括弧，注意右端項中，于是上式化為因為，，，，于是上式成為上式右端是外力對質(zhì)心的主矩，于是得13.5質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理即：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理。例13均質(zhì)圓盤質(zhì)量為，半徑為。細桿OA質(zhì)量為，長為，繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度逆時針方向轉(zhuǎn)動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度順時針方向轉(zhuǎn)動。解：(a)13.5質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理(b)(c)13.6剛體平面運動微分方程

由剛體平面運動理論知：平面運動剛體的位置可由基點的位置與剛體繞基點的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)心為基點，如圖所示，則剛體的位置可有質(zhì)心坐標和角確定。剛體的運動可分解為隨同質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。取如圖的動坐標系，則剛體繞質(zhì)心的動量矩為

為剛體過質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。

設(shè)剛體在力、、、作用下作平面運動，由質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理得13.6剛體平面運動微分方程上式也可寫成以上兩式稱為剛體平面運動微分方程。應用時，前一式取其投影式。即或13.6剛體平面運動微分方程例14一均質(zhì)圓柱，重，半徑為，無初速地放在傾角為的斜面上，不計滾動阻力，求其質(zhì)心的加速度。

解：以圓柱體為研究對象，受力如圖。圓柱體在斜面上的運動形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進行討論：（1）設(shè)接觸處完全光滑

此時圓柱作平動，由質(zhì)心運動定理即得圓柱質(zhì)心的加速度13.6剛體平面運動微分方程（2）設(shè)接觸處相當粗糙

此時圓柱作純滾動，這時滑動摩擦力。由有（1）（2）（3）由純滾動條件有（4）

由（1）、（3）、（4）式解得同時可解得由于圓柱作純滾動，故13.6剛體平面運動微分方程所以：，可得這就是圓柱體在斜面上作純滾動的條件。（3）設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動的條件，即當時，則圓柱體在斜面上既滾動又滑動。在這種情況下，關(guān)系式（4）不成立。

設(shè)圓柱體沿斜面滑動的動摩擦系數(shù)為，則滑動摩擦力（5）于是，由式（1）、（2）、（3）、（5）聯(lián)立解得13.6剛體平面運動微分方程例15均質(zhì)圓柱體A和B重量均為，半徑均為。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。

解：分別以A、B為研究對象，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動，B作平面運動。對A和B分別應用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程和平面運動的微分方程，有（1）（2）（3）其中（4）13.6剛體平面運動微分方程由運動學關(guān)系（5）聯(lián)立求解（1）——（5），得13.6剛體平面運動微分方程例16均質(zhì)桿質(zhì)量為，長為，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束反力。

解：以桿AB為研究對象，受力如圖。桿作平面運動，設(shè)質(zhì)心C的加速度為、，角加速度為，如圖。由剛體平面運動微分方程有（1）（2）（3）13.6剛體平面運動微分方程以C點為基點，則A點的加速度為在運動開始時，，故，將上式投影到軸上，得所以（4）再以C點為基點，則B點的加速度為同理，在運動開始時，，故，將上式投影到軸上，得所以（5）13.6剛體平面運動微分方程

聯(lián)立求解（1）——（5）式，并注意到可得注：

亦可由坐標法求出（4）、（5）式：運動開始時，，故13.6剛體平面運動微分方程例17如圖質(zhì)量為的均質(zhì)桿AB用細繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為。求B端繩斷開瞬時，A端繩的張力。

解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。由有（1）（2）

AB作平面運動，以A為基點，則13.6剛體平面運動微分方程因為斷開初瞬時，，，故，所以將上式投影到軸上，得而所以（3）聯(lián)立求解（1）、（2）、（3）式，得注:物體由靜止突然運動時,質(zhì)心Vc=0,aCτ≠0;剛體