第5講

概率與概率分布案例1：有同學(xué)生日相同的概率有多大？如果我說(shuō)在座的各位同學(xué)中至少有兩人的生日相同，大家相信嗎？即便班里只有50位同學(xué)，其中至少有兩人生日相同的概率也超過(guò)了95%，大家相信嗎？2

案例2：“石頭剪刀布”中的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)石頭、剪刀、布三種動(dòng)作在每輪被選中的概率大約是三分之一；條件反應(yīng)模式：如果上一輪“贏”，那么下一輪有最高的概率仍然采取上一輪已經(jīng)采用過(guò)的動(dòng)作；如果上一輪“平”，那么下一輪保持同樣動(dòng)作的概率也較高，但也有較高的概率逆時(shí)針改變動(dòng)作；但是，如果上一輪“輸”，那么下一輪就有最高的概率順時(shí)針改變動(dòng)作。3案例3：蒙提霍爾問(wèn)題（TheMontyHallproblem）參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉的門(mén)，其中一扇門(mén)后面有汽車(chē)，選中該扇門(mén)就可以贏得汽車(chē)。而另外兩扇門(mén)后面各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門(mén)，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候，知道門(mén)后情形的節(jié)目主持人會(huì)開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)中的一扇，露出其中一只山羊。接下來(lái)，參賽者一個(gè)機(jī)會(huì)：堅(jiān)持原來(lái)的選擇，還是選擇另一扇未打開(kāi)的門(mén)？4堅(jiān)持原來(lái)的選擇或選擇另一扇門(mén)，會(huì)有什么不同嗎？5圖#750次蒙特霍爾問(wèn)題試驗(yàn)的結(jié)果

本講概要1)基礎(chǔ)概率2)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)3)概率分布、期望值與變異數(shù)4)常用統(tǒng)計(jì)分布61.基礎(chǔ)概率1)隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象是概率論的研究對(duì)象，它是指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象，其共同點(diǎn)在于給定條件下可能出現(xiàn)的結(jié)果不止一種，因此對(duì)其中任一種結(jié)果的出現(xiàn)，都只能說(shuō)具有一定的可能性、偶然性或隨機(jī)性。隨機(jī)現(xiàn)象具有非確定性，但其中也存在著規(guī)律性。7隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的每一種結(jié)果或這些結(jié)果的集合。隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察。它需要滿(mǎn)足如下條件：①可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有結(jié)果是事先已知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)可能結(jié)果的一種，且不能預(yù)先判斷是哪一種。82)概率的概念概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示。按照概率情況，可以劃分如下三種事件：①不可能事件

Φ

→②必然事件

S

→③隨機(jī)事件E

→9

3)概率的計(jì)算方法①頻率法隨機(jī)事件E出現(xiàn)的次數(shù)n——頻數(shù)n與試驗(yàn)次數(shù)N的比值——頻率概率是試驗(yàn)或觀察次數(shù)N趨于無(wú)窮時(shí)，相應(yīng)頻率的穩(wěn)定值。亦即：10

隨機(jī)擲1000次和100000次骰子的結(jié)果比較rollFreq.PercentCum.116516.516.5215215.231.7317117.148.8417117.165.9517917.983.8616216.2100Total1,00010011rollFreq.PercentCum.116,57816.5816.58216,74016.7433.32316,49016.4949.81416,62016.6266.43516,70216.7083.13616,87016.87100Total100,000100②古典法樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中的每一種結(jié)果樣本空間：樣本點(diǎn)的總和用古典法求概率的條件：a.樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)b.每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同對(duì)于包含m個(gè)樣本點(diǎn)的事件A，其出現(xiàn)的概率12

例：(1)擲兩枚均勻的硬幣，求“兩枚都朝上”的概率。(2)5人中3男2女，求隨機(jī)抽一人為女的概率。答案：(1)1/4(2)2/5132.概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1)事件之間的關(guān)系：①事件的包含與相等事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)為B包含A，記作如果，則。14

②事件和事件A與事件B至少有一個(gè)事件發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱(chēng)為A與B的事件和，記作③事件積事件A與事件B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱(chēng)為A與B的事件積，記作15

④互斥事件——事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)B和A是互斥事件，記作⑤對(duì)立事件——事件A與事件B是互斥事件，且在一次試驗(yàn)中必有其一發(fā)生，稱(chēng)A與B為對(duì)立事件，記作⑥相互獨(dú)立事件——事件A的發(fā)生與事件B是否發(fā)生毫無(wú)關(guān)系，稱(chēng)A與B為相互獨(dú)立事件。16

2)概率的運(yùn)算①加法事件互不相容時(shí)，事件不滿(mǎn)足互不相容時(shí)，17

練習(xí)：根據(jù)上海市職業(yè)代際流動(dòng)的統(tǒng)計(jì)，向下流動(dòng)的概率是0.07，靜止不動(dòng)的概率是0.6，求向上流動(dòng)的概率是多少？為了研究父代文化程度對(duì)子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計(jì)出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有大學(xué)文化程度的占有10％，問(wèn)從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？18②乘法聯(lián)合且獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自概率的乘積。概率的乘法是研究事件積的概率與事件本身概率之間的關(guān)系。如果事件A與事件B相互獨(dú)立，19

如果事件A與事件B不滿(mǎn)足相互獨(dú)立的條件，則事件A發(fā)生與否將影響事件B發(fā)生的概率，反之亦然。條件概率：當(dāng)一事件已發(fā)生條件下另一事件發(fā)生的概率——事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率；——事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率。20

練習(xí)：(1)某城市中，60%的家庭訂閱日?qǐng)?bào)，80%的家庭有電視機(jī)，假定這兩個(gè)事件是獨(dú)立的，隨機(jī)抽出一個(gè)家庭，發(fā)現(xiàn)既訂日?qǐng)?bào)又有電視機(jī)的概率？(2)對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行3次射擊，第一、二、三、次射擊命中的概率分別是：0.3,0.4,0.6，求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。(3)居民樓20戶(hù)，無(wú)子女家庭2戶(hù)，訪問(wèn)兩戶(hù)均為無(wú)子女家庭的概率？21(4)課本p105據(jù)統(tǒng)計(jì)，由出生活到60歲的概率是0.8，活到70歲的概率是0.4，請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)年60歲的人活到70歲的概率是多少？答案：令A(yù)={這個(gè)人活到60歲} B={這個(gè)人活到70歲}則P(A)=0.8，P(B)=0.4且A∩B=B題中所求為P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=P(B)/P(A)=0.5223.概率分布、期望值與變異數(shù)1)概率分布隨機(jī)事件及其概率回答的是隨機(jī)現(xiàn)象某一局部結(jié)果，或稱(chēng)隨機(jī)事件及其概率的大小。而概率分布則要在滿(mǎn)足完備性和互不相容性的前提下，回答隨機(jī)現(xiàn)象一共會(huì)出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少，它是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象更為全面的考察。23概率分布描述的是隨機(jī)變量的取值及每一種取值對(duì)應(yīng)的概率狀況；這里的隨機(jī)變量可以理解為隨機(jī)現(xiàn)象的量化描述。概率分布與頻率分布是兩個(gè)相互區(qū)別的概念：A.概率分布是先驗(yàn)的理論分布；頻率分布是經(jīng)驗(yàn)分布，它是經(jīng)資料整理而來(lái)B.概率分布具有唯一性；頻率分布則依樣本的不同而不同，它有對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分布24①離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量的取值是可數(shù)的，如果對(duì)X的每個(gè)可能取值xi計(jì)算其實(shí)現(xiàn)的概率Pi

，我們便得到了離散型隨機(jī)變量的概率分布，即性質(zhì)：25

離散型隨機(jī)變量的概率分布表明全部概率在各可能取值之間的分布規(guī)律，全面描敘離散隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。26離散型隨機(jī)變量的概率分布也可以用表格和圖形兩種形式來(lái)表示。由于離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)，表示離散型隨機(jī)變量概率分布多為折線圖。②連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿(mǎn)某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無(wú)意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度的概念來(lái)表達(dá)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。概率密度：27

頻率密度等于頻率除以組距。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類(lèi)似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對(duì)組距求了Δx→0的極限，其圖形為平滑曲線。28

隨機(jī)變量X取值在區(qū)間[x1,x2]上的概率等于概率密度曲線下面x1與x2兩點(diǎn)之間面積。概率密度的性質(zhì)：29

③分布函數(shù)為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對(duì)隨機(jī)變量的概率進(jìn)行研究，引入分布函數(shù)F(x)的概念，它被定義為如果將X看成數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在(-∞,x]上的概率。30

例：求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)的分布函數(shù)31X23456789101112合計(jì)P(X)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/361F(X)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/3636/362)數(shù)學(xué)期望在前面統(tǒng)計(jì)分組的討論中，我們?cè)诘玫筋l數(shù)(或頻率)分布后，為了對(duì)變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識(shí)，分別研究了集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)。其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對(duì)隨機(jī)變量的理論分布時(shí)，也要對(duì)隨機(jī)變量的集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)作概括性的描述，這就引出數(shù)學(xué)期望和變異數(shù)的概念。

32數(shù)學(xué)期望的計(jì)算離散型：連續(xù)型：33

數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計(jì)中等同總體均值的記號(hào)，而則在推論統(tǒng)計(jì)中被作為樣本均值的記號(hào)。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯一的，不過(guò)它是一個(gè)先驗(yàn)的理論值。由于它是用隨機(jī)變量各取值分別乘以取值的概率來(lái)計(jì)算的，因此數(shù)學(xué)期望又可稱(chēng)為隨機(jī)變量的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái)，但它具有隨機(jī)性。34

數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的期望等于該常數(shù)，即E(c)＝c(2)常數(shù)c與隨機(jī)變量X之積的期望等于X的期望與c的積，即E(cX)＝cE(X)(3)兩個(gè)隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和，即E(X+Y)＝E(X)+E(Y)(4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積，即E(XY)＝E(X)·E(Y)353)變異數(shù)(隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差)數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的集中趨勢(shì)，但僅知道集中趨勢(shì)還不夠，還應(yīng)該知道隨機(jī)變量在均值周?chē)碾x散程度，即離散趨勢(shì)。變異數(shù)是綜合反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計(jì)中已討論過(guò)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記為D(X)。36隨機(jī)變量方差的計(jì)算：隨機(jī)變量X的方差也可以寫(xiě)成：37

隨機(jī)變量方差的幾個(gè)基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的方差等于0，即D(c)＝0(2)常數(shù)c與隨機(jī)變量X之積的方差，等于隨機(jī)變量X的方差c2倍，即D(cX)＝c2D(X)(3)隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即D(X+c)＝D(X)(4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們的方差和，即D(X+Y)＝D(X)+D(Y)384.常用統(tǒng)計(jì)分布1)正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的概率分布：A.許多自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象都可用正態(tài)分布加以描述；B.當(dāng)樣本足夠大時(shí)，都可用正態(tài)近似法解決變量的概率分布問(wèn)題；C.許多統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布呈正態(tài)分布。39正態(tài)分布的主要特征：A.集中性(單峰)B.對(duì)稱(chēng)性C.均勻變動(dòng)性D.Mean=Med=Mo40正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：正態(tài)分布有期望值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ兩個(gè)參數(shù)，如果變量X服從正態(tài)分布，則記為：41

正態(tài)分布概率密度曲線下的面積：

之間:0.6827

之間:0.9545

之間:0.9973

42

90%的樣本統(tǒng)計(jì)值落在之間；95%位于；99%位于。

2)標(biāo)