高數(shù)B1-3章8節(jié) 《定積分在物理上的應(yīng)用舉例》 課件_第1頁
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文檔簡介

二、水壓力三、引力問題一、變力沿直線所作的功第八節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動(dòng)到x=b,力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元因此變力F(x)在區(qū)間[a,b]上所作的功為例1

由物理學(xué)知道,地球?qū)Φ厍蛲庖毁|(zhì)量為m的物體的引力,其中r為物體到地心的距離,R為地球的半徑,g為重力加速度.現(xiàn)把一質(zhì)量為m的物體從地面鉛直送到高度為h的高處,克服地球引力要做多少功?解取r

為積分變量,變化區(qū)間為[R,R+h],在[R,R+h]上任取一小區(qū)間[r,r+dr],其對應(yīng)的功元素為因此所求的功為體,求移動(dòng)過程中氣體壓力所由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a

處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣

例2解:建立坐標(biāo)系如圖.

壓強(qiáng)p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的力為所求功為恒溫時(shí),

一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?

建立坐標(biāo)系如圖.解:例3設(shè)水的密度為x(kN)這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(kJ

)面積為A的平板設(shè)水密度為在水深h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受壓力因平板上各點(diǎn)處處于不同水深所以壓強(qiáng)不等,從而問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??二、水壓力例4

某水庫的閘門形狀為等腰梯形,它的兩條底邊各長10m和6m,高為20m,較長的底邊與水面相齊.計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力.x解如右圖建立坐標(biāo)系,則直線AB的方程為在區(qū)間[0,20]中的任一

x

處,對應(yīng)區(qū)間[x,x+dx]上的面積微元為而該區(qū)間對應(yīng)的窄條各點(diǎn)處所受的壓強(qiáng)為:故所受的靜壓力微元?jiǎng)t總靜壓力為質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對質(zhì)點(diǎn)的引力,則需用積分解決.三、引力問題(G為引力系數(shù))設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)

M,試計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力.在例5?建立坐標(biāo)系如圖.解:將小段近似看成

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