第五節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念.1.定義:若曲面s與三元方程f(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)s上任一點的坐標(biāo)滿足方程f(x,y,z)=0;(2)不在s上點的坐標(biāo)都不滿足方程f(x,y,z)=0;那末,方程f(x,y,z)=0叫做曲面s的方程,而曲面s叫做方程f(x,y,z)=0的圖形.f(x,y,z)=0

sxyzo

m0二、幾種常見曲面的方程.1.球面考慮球心為m0(x0,y0,z0),半徑為r的球面.即:(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2(1)稱方程(1)為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.

m

r特別:當(dāng)球心在原點o(0,0,0)時,球面方程:x2+y2+z2

=r2

對于球面上任一點m(x,y,z),都有|m

m0|2=r2.解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在m0(1,2,0),半徑為的球面.例1:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎樣的曲面?xyzo2.柱面:例如:考慮方程x2+y2=r2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=r2表示以原點o為圓心,半徑為r的圓.xoy面上的圓x2+y2=r2叫做柱面的準(zhǔn)線.平行于z軸的直線l叫做柱面的母線.曲面可以看作是由平行于z軸的直線l沿xoy面上的圓x2+y2=r2移動而形成,稱該曲面為圓柱面.olm(x,y,0)(1)定義:平行于定直線并沿定曲線c移動直線l形成的軌跡叫做柱面.定曲線c叫做柱面的準(zhǔn)線.動直線l叫做柱面的母線.例2:方程y2=2x表示.母線平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線是xoy面上的拋物線y2=2x,該柱面叫做拋物柱面.oxzyy2=2x例2:方程xy

=0表示.母線平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線是xoy面上的直線xy

=0,所以它是過z軸的平面.xy

=0zxyo(2)母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.1方程f(x,y)=0表示:母線平行于z軸的柱面,準(zhǔn)線為xoy面上的曲線c:f(x,y)=0.2方程f(x,z)=0表示:母線平行于y軸的柱面,準(zhǔn)線為xoz面上的曲線c:f(x,z)=0.3方程f(y,z)=0表示:母線平行于x軸的柱面,準(zhǔn)線為yoz面上的曲線c:f(y,z)=0.3.旋轉(zhuǎn)曲面(1)定義:以一條平面曲線c繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.yxzooc例如:已知yoz面上一條曲線c,方程為f(y,z)=0,曲線c繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)m0(0,y0,z0)是c上任意一點,則有f(y0,z0)=0當(dāng)c繞z軸旋轉(zhuǎn)而m0隨之轉(zhuǎn)到m(x,y,z)時,有將z0=z,

代入方程f(y0,z0)=0,得 yxozm0(0,y0,z0)mc旋轉(zhuǎn)曲面的方程:例4:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxy