第2章一元線性回歸分析?一元線性回歸模型；?線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)；?預(yù)測值與預(yù)測區(qū)間；?可化為一元線性回歸的曲線回歸；?環(huán)境應(yīng)用。1第1節(jié)一元線性回歸模型?回歸分析概述?一元線性回歸模型假設(shè)條件?一元線性回歸方程?回歸系數(shù)最小二乘法估計(jì)2“回歸”一詞是由英國生物學(xué)家高爾頓F.Galton(1822-1911年)在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。發(fā)現(xiàn)兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）存在線性關(guān)系。也即高個(gè)子父代的子代在成年之后的身高平均來說不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個(gè)子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩(wěn)定的現(xiàn)象稱之“回歸”?！案郀栴D等人關(guān)于回歸分析的先驅(qū)性的工作，以及時(shí)間序列分析方面的一些工作，…是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史中的重要事件.”──摘自《中國大百科全書》（數(shù)學(xué)卷）。3?33.730.516YX??(1)回歸分析概述回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。八大功能1.WaterQuantityTreatment2.WaterQualityTreatment3.GroundwaterRecharge4.Micro-ClimateAlteration5.VegetativeBuffering6.WildlifeHabitat7.NaturalAreaProtection8.AestheticImprovement三大結(jié)構(gòu)-Plant、Mulch、Soilmedia植物滯留系統(tǒng)降雨初期1h的下凹式綠地進(jìn)出水濃度關(guān)系y=0.6135x-0.1114R2=0.771900.511.522.501234NH4-N出水濃度NH4-N進(jìn)水濃度下面圖形中X-Y具有相關(guān)關(guān)系6(1)相關(guān)分析和回歸分析之間的聯(lián)系：?理論和方法具有一致性；?無相關(guān)就無回歸，相關(guān)程度越高，回歸越好；?相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)方向一致，可以互相推算。(2)相關(guān)分析和回歸分析之間的區(qū)別：?相關(guān)分析中x與y對(duì)等，回歸分析中x與y要確定自變量和因變量；?相關(guān)分析中x、y均為隨機(jī)變量，回歸分析中只有y為隨機(jī)變量；?相關(guān)分析測定相關(guān)程度和方向，回歸分析用回歸模型進(jìn)行預(yù)測和控制。相關(guān)分析和回歸分析之間既有聯(lián)系又有區(qū)別：?自變量x只有一個(gè)；?因變量Y與自變量x之間具有線性關(guān)系；?x是非隨機(jī)的，Y是隨機(jī)的；?誤差項(xiàng)，，即的分布與x無關(guān)；?不同的x對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)是相互獨(dú)立的。7?～),0(2?N??(2)一元線性回歸模型假設(shè)條件89假定()E?=0，有樣本一元線性回歸方程：

?yabx??

(2.1)回歸截距a表示在沒有自變量x的影響時(shí)，其它各種因素對(duì)因變量y的平均影響；回歸系數(shù)b表明自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位，因變量y平均變動(dòng)b個(gè)單位。

b的符號(hào)反映了x影響y的性質(zhì)，b的絕對(duì)值大小反映了x影響y的程度。叫做回歸估計(jì)值，是當(dāng)x在在其研究范圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí)，y值平均數(shù)的估計(jì)值。y?(3)一元線性回歸方程10?yabx??是理論模型，表明x與y變量之間的平均變動(dòng)關(guān)系，而變量y的實(shí)際值應(yīng)為：

i?()iiiiyabxy???????

其中，a、b的確定如下：

為獲得a、b的估計(jì)，需對(duì)自變量及與其對(duì)應(yīng)的因變量進(jìn)行n次獨(dú)立觀測。假設(shè)實(shí)測數(shù)據(jù)為：??iiyx,

ni?2,1?，

nnyyyyxxxx...,,,...,,,321321

(2.2)(4)回歸系數(shù)最小二乘法估計(jì)11要選擇ba,，使得ix直線上對(duì)應(yīng)的值iibxay???與ix對(duì)應(yīng)的實(shí)測值iy的誤差i?在某種意義下最小。

niyyiii,...,2,1,?????

顯然i?越小方程對(duì)數(shù)據(jù)擬合得越理想，但i?有正負(fù)之分，為避免正負(fù)抵消，可求????????niiniiiyy1212??的最小值。下面采用最小二乘法原則來估計(jì)ba,。

????????niiiniibxayQ1212)]([?

使達(dá)最小。

???????

.)(),(12取最小值?????niiibxaybaQ?aQ???????niiibxay1

)(2?0bQ???????niiiixbxay1)(2??0即只需函數(shù)根據(jù)

???????

)(1bxnanii???bxaxniinii)()(121??????

1??niiy???niiiyx1??????niiniiniixxxn1211不全相同，由于ix?2112-??????????niiniixxn????niixxn12)(?0方程組的系數(shù)行列式得方程組?,)())((121???????niiniiixxyyxxa?其中b????????????????????niniiininiiniiiixxnyxyxn1212111))((???????niiniixnbyn11?1?xby??,11??niixny.11??niiyn??后，的估計(jì)在得到baba?,?,，對(duì)于給定的xx?xyL

yyLxxLb?a?22111(),nniiiixxn????????niixx12)(??????niiyy12)(22111(),nniiiiyyn???????????niiiyyxx1))((,xxxyLL?.?)1(111bxnynniinii??????

這樣所得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計(jì)量(OrdinaryLeastSquaresEstimators,OLSE)。

y?xba?????xby??回歸方程的基本性質(zhì)：16回歸方程的另一種形式(中心化形式)：????2)?(yyQ性質(zhì)1最?。?)?(???yy性質(zhì)2；),(yx性質(zhì)3回歸直線通過點(diǎn)。)(?xxbybxxbyy??????),(yx?例1某河流溶解氧濃度(以百萬分之一計(jì))隨著流動(dòng)時(shí)間而下降，現(xiàn)測得8組數(shù)據(jù)如表2.1。17

流動(dòng)時(shí)間x(天)0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度y

0.280.290.290.180.170.180.10.12

表2.1河流中溶解氧濃度?由表2.1所示，首先根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，畫出以流動(dòng)時(shí)間為橫坐標(biāo)，溶解氧濃度為縱坐標(biāo)的散點(diǎn)圖(圖2-1)，從散點(diǎn)圖上可以很明顯的觀察出各個(gè)點(diǎn)都近似均勻的分布在一條直線的周圍，但是又不完全在一條直線上。18圖2-1溶解氧濃度隨時(shí)間變化曲線198119.2000iix???，811.6100iiy???

14.5000xxL