第9講環(huán)的結(jié)構(gòu)教師：李艷俊本講內(nèi)容一、環(huán)的定義二、環(huán)內(nèi)特殊元素三、環(huán)的分類四、子環(huán)、理想和商環(huán)一、環(huán)的定義（1）（R，＋）是一個(gè)可換群；（2）（R，·）是一個(gè)半群；（3）左、右分配律成立：對(duì)任何a，b，cR，有：a(b＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc；則稱代數(shù)系統(tǒng)（R，＋，·）是一個(gè)環(huán)。（R，＋）是一個(gè)交換群，稱為環(huán)R的加法群。如果環(huán)R的乘法還滿足交換律，則稱R為交換環(huán)。定義1：設(shè)R是一個(gè)非空集合，在R中定義兩種二元運(yùn)算，一種叫加法，記做＋，另一種叫乘法，記做·；且滿足：（Z，＋，·）是一個(gè)交換環(huán)。（Z，＋，·）稱為整數(shù)環(huán)。有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對(duì)于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成交換環(huán)。把數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法、乘法做成的環(huán)，稱為數(shù)環(huán)。Z，Q，R，C都是數(shù)環(huán)。例1：全體整數(shù)所成集合Z對(duì)于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)（Z，＋，·）。一般地，設(shè)A是一個(gè)數(shù)環(huán)，A[x]表示系數(shù)屬于A的一切x的多項(xiàng)式所成集合，則A[x]關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。例2：設(shè)Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn|aiZ，n≥0為整數(shù)}，則Z[x]是系數(shù)為整數(shù)的一切x的多項(xiàng)式所組成的集合，Z[x]關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。二、環(huán)內(nèi)特殊元素環(huán)R的元素a的加法逆元稱為a的負(fù)元，記做－a。R的零元及每個(gè)元素的負(fù)元都是唯一的。如果環(huán)R中存在元素e，使對(duì)任意的aR，有ae=ea=a，則稱R是一個(gè)有單位元的環(huán)，并稱e為R的單位元。常把環(huán)R的單位元e記為1。如果環(huán)R有單位元，則單位元是唯一的。1．環(huán)內(nèi)一些特殊元素環(huán)R的加法單位元常用0表示，稱為環(huán)R的零元。如果a可逆，則a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元記做a－1。對(duì)于一個(gè)有單位元的環(huán)R，其所有可逆元組成的集合關(guān)于環(huán)R的乘法構(gòu)成群。這個(gè)群稱為環(huán)R的單位群或可逆元群，記做U(R)。設(shè)環(huán)R是有單位元1的環(huán)，aR，如果存在bR，使ab=ba=1，則稱a是R的一個(gè)可逆元，并稱b為a的逆元。則(Zn，＋，·)是有單位元的交換環(huán)，稱為整數(shù)模n的同余類（或剩余類）環(huán)。(Zn，＋，·)的單位群是Zn*。倍數(shù)法則：對(duì)任意的m，nZ，a，bR，（1）ma＋na=(m＋n)a；（2）m(a＋b)=ma＋mb；（3）m(na)=(mn)a=n(ma)；（4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。指數(shù)法則：對(duì)任意的m，nZ，a，bR，（1）(am)n=amn；（2）am·an=am＋n。利用負(fù)元的概念，定義環(huán)R的減法“－”為：對(duì)任意的a，bR，令a－b=a＋(－b)。2．性質(zhì)若一個(gè)元素既是左零因子，又是右零因子，則稱它為零因子。R是無零因子環(huán)充要條件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。

3．無零因子環(huán)定義3：設(shè)環(huán)R不含左、右零因子，則稱R為無零因子環(huán)。例7：求模6的同余類環(huán)Z6的所有零因子和單位。定義2：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，a，bR，若a·b=0，且a≠0和b≠0，則稱a為R的一個(gè)左零因子，b為R的一個(gè)右零因子。定理1：環(huán)中無左（右）零因子的充要條件是乘法消去律成立，即：a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。三．環(huán)的分類1．整環(huán)定義5：一個(gè)有單位元，無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。所有數(shù)環(huán)都是交換環(huán)，同時(shí)也是整環(huán)。2.除環(huán)定義6：若含有單位元和零的環(huán)R中每個(gè)非零元都可逆，則稱R為除環(huán)。模6的同余類環(huán)Z6不是整環(huán)。3．域定義7：若R是一個(gè)可交換的除環(huán)，則稱R為域。注：域一定是整環(huán)，但整環(huán)卻不一定是域。整數(shù)環(huán)Z不是域。有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對(duì)于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成域，分別稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域。具有有限個(gè)元素的域，稱為有限域。定理2：（Zn，＋，·）是域的充要條件是n是素?cái)?shù)。具有有限個(gè)元素的整環(huán)是域。四、子環(huán)、理想和商環(huán)

定義8：設(shè)（R，＋，·）是一個(gè)環(huán)，S是R的一個(gè)非空子集；如果S關(guān)于R的運(yùn)算構(gòu)成環(huán)，則稱S為R的一個(gè)子環(huán)，R為S的一個(gè)擴(kuò)環(huán)。定理3：設(shè)（R，＋，·）是一個(gè)環(huán)，S是R的一個(gè)非空子集；則S是R的子環(huán)的充要條件是：（1）對(duì)任意的a，bS，有a－bS；（2）對(duì)任意的a，bS，有abS。對(duì)于任意一個(gè)環(huán)R，都有兩個(gè)子環(huán)：{0}與R。這兩個(gè)子環(huán)稱為R的平凡子環(huán)。定義9：設(shè)R為環(huán)，I為R的非空子集，如果I滿足：（1）對(duì)任意的r1，r2I，r1－r2I；（2）對(duì)任意的rI，sR，rs，srI；則稱I為環(huán)R的一個(gè)理想。例9：整數(shù)環(huán)Z中，任取mZ，則I={mn|nZ}是Z的理想。例10：在數(shù)環(huán)R上多項(xiàng)式環(huán)R[x]中，令I(lǐng)表示一切常數(shù)項(xiàng)為零的多項(xiàng)式全體，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn|aiR，nN}，則I是多項(xiàng)式環(huán)R[x]的一個(gè)理想。定理4：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，I是環(huán)R的一個(gè)理想，則（R/I，＋，·）是一個(gè)環(huán)。定義10：稱環(huán)R/I為環(huán)R關(guān)于理想I的商環(huán)，或稱為R模I的同余類環(huán)。定理5：設(shè)R為環(huán)，I是R的理想，則：（3）如果R是交換環(huán)，則R/I也是交換環(huán)。（2）同一個(gè)記號(hào)Zn表示不同的意義：(i)當(dāng)Zn看作是整數(shù)n的商群時(shí)，Zn中只有加法一種運(yùn)算；

(ii)當(dāng)Zn看作是整數(shù)n的商環(huán)時(shí)，Zn中有加法和乘法兩種運(yùn)算。

例12：做出環(huán)Z關(guān)于(3)={3r|rZ}的商環(huán)Z/(3)的加法和乘法運(yùn)算表。注：