4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

我們?cè)谇懊鎸W(xué)過(guò)，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線．在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？復(fù)習(xí)引入AMrxOy問(wèn)題

當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新課

如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用坐標(biāo)(a,b)表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)的距離．

符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法來(lái)表示這個(gè)集合嗎？符合上述條件的圓的集合：圓的方程xOyA(a,b)Mr(x,y)問(wèn)題

圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)之間的距離能用什么公式表示？圓的方程根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：則點(diǎn)M、A間的距離為：即：是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

點(diǎn)M(x,y)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)適合方程，這就說(shuō)明點(diǎn)M與圓心的距離是r，即點(diǎn)M在圓心為A(a,b)，半徑為r的圓上．問(wèn)題

把這個(gè)方程稱(chēng)為圓心為A(a,b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.特殊位置的圓方程因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0,0)，將x＝0，y＝0和半徑r帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：?jiǎn)栴}

圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程是什么？得：整理得：

例1

寫(xiě)出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．

解：圓心是，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

把的坐標(biāo)代入方程左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上；典型例題

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．

例1

寫(xiě)出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．

解：圓心是，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：典型例題AxyoM1M2怎樣判斷點(diǎn)在圓內(nèi)呢？還是在圓外呢？點(diǎn)與圓的位置關(guān)系探究AxyoM1M2M3

從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上．怎樣判斷點(diǎn)在圓內(nèi)呢？還是在圓外呢？點(diǎn)與圓的位置關(guān)系探究AxyoM1M2M3

可以看到：點(diǎn)在圓外——點(diǎn)到圓心的距離大于半徑r；

點(diǎn)在圓內(nèi)——點(diǎn)到圓心的距離小于半徑r．

例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．

分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．

解：設(shè)所求圓的方程是（1）

因?yàn)锳(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）．于是典型例題所以，的外接圓的方程．典型例題解此方程組，得：

分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．

解：

例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．

例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)，且圓心C在直線上l：x

－y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大?。畧A心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)，由于圓心C與A,B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線上．又圓心C在直線l

上，因此圓心C是直線l與直線的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|．解：因?yàn)锳(1,1)和B(2,－2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)直線AB的斜率:典型例題因此線段AB的垂直平分線的方程是即圓心C的坐標(biāo)是方程組的解．典型例題

例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)，且圓心C在直線上l：x

－y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：所以圓心C的坐標(biāo)是圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是典型例題解此方程組，得

例3