概率論與數(shù)理統(tǒng)計二、無偏估計第二節(jié)估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)三、最小方差無偏估計四、有效估計五、相合估計(一致估計)一、問題的提出一、問題的提出

究竟采用哪一個估計量更好呢？這就個數(shù)字特征出發(fā)，引入無偏性，有效性，

對于總體分布中的同一個未知參數(shù),若采用不同的估計方法，可能得到不同的估計量。產(chǎn)生了如何評價與比較估計量的好壞的問題，我們從估計量的數(shù)學(xué)期望及方差這兩最小方差無偏估計和相合性等概念。二、無偏性設(shè)是參數(shù)的一個估計量，如果

，滿足關(guān)系式

如果的一列估計則稱是的漸近無偏估計量.估計量如果不是無偏估計量,就稱這個估計量是有偏的，稱為估計量的偏差.則稱是的無偏估計(量).例1證所以，和均為無偏估計量，而故是的漸近無偏估計.例2設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布,

是總體的一個樣本.

試證：參數(shù)的矩估計量是的無偏的漸近無偏估計.證故的矩估計是無偏估計量.估計;的最大似然估計是所以但是,

即是的漸近無偏估計量.

但只要修正為

那么也是的無偏估計量.1°一個未知參數(shù)可能有不止一個無偏估計量.都是無偏估計量.

2°有時一個參數(shù)的無偏估計可能不存在.例如，設(shè)總體則||就沒有無偏估計.其中.注3°有時無偏估計可能明顯不合理.例如，設(shè)是來自泊松總體的一個

樣本，可以證明是的無偏估計.

但這個無偏估計明顯不合理.當(dāng)

取奇數(shù)值時，估計值為負(fù)數(shù).用一個負(fù)數(shù)估計，明顯不合理.三、、最最小小方方差差無無偏偏估估計計定義義6.4如果存在一個無偏估計量,使對的任意無偏估計量,都有則稱是的最小方差無偏估計(量).縮寫寫為為MVUE.最小小方方差差無無偏偏估估計計是是一一種種最最優(yōu)優(yōu)估估計計.例3設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布,

的一個樣本，矩

是總體估計和修正的最大似然估計

的無偏估計，和哪個更有效？均為解顯然當(dāng)時即比有效.例4來自總體X的樣本,問:下列三個對的無偏估計量哪哪一一個個最最有有效效?解注一般地，在的無偏估計量可用用求求條條件件極極值值的的拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法證證明明定義6.6設(shè)是未知參數(shù)的估計序列，如果依概率收斂于，即對任意,有：或則稱是的相合估計(或一致估計).四、、相相合合估估計計(一致致估估計計)且

,則是的相合估計(或一致估計).證明明由于于定理理6.2設(shè)是的一個估計量,若令,由定理的假設(shè)得即是的相合估計．均值的相合估計.

若總體的和都存在,證明是總體證因為故是總體均值的相合估計.一般樣本的階原點(diǎn)矩是總體階原點(diǎn)點(diǎn)矩矩的的相相合合估估計計.矩估估計計往往往往是是相相合合估估計計.例9估計計量量的的評評選選的的四四個個標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)，，但但要要求求一一下下三三個個標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)無偏偏性性有效效性性相合合性性相合合性性是是對對估估計計量量的的一一個個基基本本要要求求,不具具備備由最最大大似似然然估估計計法法得得到到的的估估計計量量,在一一定定條條相合合性性的的估估計計量量是是不不予予以以考考慮慮的的.有效效性性這這兩兩個個標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn).件下下也也具具有有相相合合性性.估計計量量的的相相合合性性只只有有當(dāng)當(dāng)樣樣本本容量量相相當(dāng)當(dāng)大大時時,才能能顯顯示示出出優(yōu)優(yōu)越越性性,這在在實實際際中中往往往難難以以做做到到,因此此,在工工程程中中往往往往使使用用無無偏偏性性和和內(nèi)容小結(jié)再見設(shè)總體的方差存在,且為來自總體的樣本,試選擇適當(dāng)?shù)某?shù),使得為D(X)的無偏估計.備用題例2-1解而相互獨(dú)立,且與X同分布依題意，設(shè)及為的兩個獨(dú)立的無偏估計量,且假定求常數(shù)使解例5-1

設(shè)總體的二階矩存在，是來自總體X的一個樣本，，.試證是總體均值的相合估計.證因為例9-1故是總體均值的相合估計.9、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、以以我我獨(dú)獨(dú)沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。12月月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。12月月-2212月月-2202:44:0902:44:09December31,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。31十十二月20222:44:09上午午02:44:0912月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月222:44上上午12月-2202:44December31,202216、行行動動出出成成果果，，工工作作出出財財富富。。。。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點(diǎn)點(diǎn)的的射射線線向向前前。。。。2:44:09上上午午2:44上上午午02:44:0912月月-229、沒有有失敗敗，只只有暫暫時停停止成成功??！。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、很多事情情努力了未未必有結(jié)果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、成功就是日日復(fù)一日那一一點(diǎn)點(diǎn)小小努努力的積累。。。12月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、世間間成事事，不不求其其絕對對圓滿滿，留留一份份不足足，可可得無無限完完美。。。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。12月-2212月-2202:44:0902:44:09December31,202214、意志堅強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。31十二二月20222:44:09上上午02:44:0912月-2215、楚塞三湘湘接，荊門門九派通。。。。十二月222:44上上午12月-2202:44December31,202216、少年十五二二十時，步行行奪得胡馬騎騎。。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217、空山新雨后后，天氣晚來來秋。。2:44:09上午2:44上上午02:44:0912月-229、楊楊柳柳散散和和風(fēng)風(fēng)，，青青山山澹澹吾吾慮慮。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、閱讀一一切好書書如同和和過去最最杰出的的人談話話。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、越是是沒有有本領(lǐng)領(lǐng)的就就越加加自命命不凡凡。12月月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、越是無能能的人，越越喜歡挑剔剔別人的錯錯兒。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、知知人人者者智智，，自自知知者者明明。。勝勝人人者者有有力力，，自自勝勝者者強(qiáng)強(qiáng)。。12月月-2212月月-2202:44:0902:44:09December31,202214、意志志堅強(qiáng)強(qiáng)的人人能把把世界界放在在手中中像泥泥塊一一樣任任意揉揉捏。。31十十二二月20222:44:09上上午02:44:0912月月-2215、最最具具挑挑戰(zhàn)戰(zhàn)性性的的挑挑戰(zhàn)戰(zhàn)莫莫過過于于提提升升自自我我。。。。十二二月月222:44上上午午12月月-2202:44December31,202216、業(yè)余生生活要有有意義，，不要越越軌。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217