學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)17平面向量的看法及其線性運(yùn)算1．平面向量的實(shí)質(zhì)背景及基本看法（1）認(rèn)識(shí)向量的實(shí)質(zhì)背景.(2）理解平面向量的看法和兩個(gè)向量相等的含義.（3）理解向量的幾何表示.2．向量的線性運(yùn)算（1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義。(2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義.（3）認(rèn)識(shí)向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。一、平面向量的相關(guān)看法名稱定義表示方注意事項(xiàng)法既有大小又有方向向量AB向量的量叫做向量；向或a；平面向量是自量的大小叫做向量模|AB|或由向量的長(zhǎng)度（或模）|a|零向長(zhǎng)度等于0的向記作0零向量方向是學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精量量，方向是任意的單位長(zhǎng)度等于1個(gè)單位常用e表向量的向量示平行方向同樣或相反的向量a與b共非零向量線可記共線平行向量又叫共線向量為ab向量相等長(zhǎng)度相等且方向相ab向量同的向量相反長(zhǎng)度相等且方向相ab向量反的向量二、向量的線性運(yùn)算

任意的非零向量a的單a位向量是|a|0與任向來(lái)量平行或共線兩向量只有相等或不等，不能夠比較大小0的相反向量為01．向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．共線向量定理向量a(a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得ba.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【注】限制a≠0的目的是保證明數(shù)λ的存在性和唯一性．考向一平面向量的基本看法解決向量的看法問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下六點(diǎn)：(1）正確理解向量的相關(guān)看法及其含義是解題的要點(diǎn)．（2)相等向量擁有傳達(dá)性，非零向量的平行也擁有傳遞性．(3）共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)沒(méi)關(guān)．(4)相等向量不但模相等,而且方向要同樣，所以相等向量必然是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5）向量能夠平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象搬動(dòng)混作一談．（6)非零向量

a與

a的關(guān)系

:

a

是a方向上的單位向量．|a|

|a|7）向量與數(shù)量不同樣，數(shù)量能夠比較大小，向量則不能夠,但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù),故能夠比較大小。典例1設(shè)a0為單位向量，給出以下命題：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=｜a|a0；②若a與a0平行,則a=|a｜a0;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精③若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不用然同樣，故①是假命題；若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況：一是同向,二是反向，反向時(shí)a=-|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3。應(yīng)選D.1．設(shè)a,b都是非零向量，以下四個(gè)條件，使ab成立ab的充要條件是A．a(chǎn)bB．a(chǎn)2bC．a(chǎn)∥b且abD．a(chǎn)∥b且方向同樣考向二向量的線性運(yùn)算平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略:(1）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)變到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比率等性學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)．2)向量的線性運(yùn)算近似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧:①觀察各向量的地址；②搜尋相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法規(guī)找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.典例2如圖，在直角梯形中，，為邊????????????=2????=2??????????上一點(diǎn)，,為的中點(diǎn)，則???????????????????==3????1????2?????2????1?????A．3-3B．3-31????2?????D．-2????1?????C．-3+33+3【答案】D【解析】由題意得，1??????1???2??????=2???,=2????,????=3???.那么???????1???????1(??????+2???11(????+??????????????=????+???=-????+???=-?+???)=-????++)22323=1????+1?????1????=2????1?????-(????+)-+.23233【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)向量加法、減法運(yùn)算的觀察，重在對(duì)加法法規(guī)、減法法規(guī)的理解，要特別注意首學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精尾按次相接的若干向量的和為0的情況。一般將向量放在詳盡的幾何圖形中，常有的有三角形、四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、梯形)、正六邊形等。在解決這類問(wèn)題時(shí),要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應(yīng)用.當(dāng)運(yùn)用三角形加法法規(guī)時(shí)，要注意兩個(gè)向量首尾按次相接，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí),能夠考慮用減法。??1???????2．已知的外心滿足3(????+??)則cos??=,A．21B．√23C．-31D．√33典例3如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，ABADAO，則____________。【答案】2【解析】由平行四邊形法規(guī)，得ABADAC2AO，故λ=2。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且AN1NC，P是22BN上的一點(diǎn)，若APmABAC，則實(shí)數(shù)m的值為9A．91B．31C．1D．3考向三共線向量定理的應(yīng)用共線向量定理的主要應(yīng)用：(1）證明向量共線：對(duì)于非零向量a，b,若存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb,則a與b共線．（2）證明三點(diǎn)共線:若存在實(shí)數(shù)λ，使ABAC，則A，B,C三點(diǎn)共線．【注】證明三點(diǎn)共線時(shí),需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).(3）求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．典例4已知兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1）若????=?a+b,???=2a+8b,????=3?（a-b),求證：A，B,D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka+b和a+kb共線.【答案】（1）證明見解析；（2)k=1或-1?！窘馕觥?1)∵????=?a+b，?????=2a+8b，????=3?（a-b),學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精???=??????+????=2?a+8b+3（a-b)=5（a+b)=5????，?????，?????共線，又∵它們有公共點(diǎn)B,∴A，B，D三點(diǎn)共線.(2）∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使得ka+b=λ(a+kb），∴（k-λ）a=（λk1)-b.∵a,b是兩個(gè)不共線的非零向量，k-λ=λk1=0,-k2-1=0，k=1或-1?！久麕燑c(diǎn)睛】利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，一般是把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成證明過(guò)同一點(diǎn)的兩條有向線段所在的向量共線。對(duì)于第（2)問(wèn),解決此類問(wèn)題的要點(diǎn)在于利用向量共線的條件得出ka+b=λ（a+kb），再利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等這一條件,列出方程組，解出參數(shù).．已知向量???????????????,??,??4??共線，則實(shí)數(shù)的值等于A．10B．-10C．2D．-2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．以下命題正確的選項(xiàng)是A．a(chǎn)babB．a(chǎn)babC．a(chǎn)∥babD．a(chǎn)0a02．設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OAOBOCOD等于A．OMB．2OMC．3OMD．4OM3．如圖，已知??????C、D是半圓弧的兩個(gè)是圓的直徑，點(diǎn)三均分點(diǎn)，???????=??，???=??，?????=????+????，則??-??=A．0B．12C．-1D．-124．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，????=???，??????=??,???=??，則｜??+??+??｜等于A．0B．22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精C．√2D．35．已知向量e1,e2是兩個(gè)不共線的向量，若a2e1e2,與be1e2共線，則的值為A．1B．-22C．1D．22中，與交于點(diǎn)是線段的6．在平行四邊形??????????????????,??????中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn),若，則=???????????????A．41??+21??B．21??+41??C．32??+31??D．31??+32??7．設(shè)向量a=2,x1，b=x1,4，則“x3”是“a∥b”的A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件8．若P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足???++????=???????，則點(diǎn)P的地址為?????A．P在△ABC的內(nèi)部B．P在△ABC的外面C．P在AB邊所在的直線上D．P在AC邊所在的直線上9．在△ABC中,??在????上，????:????=1:2,??為????中點(diǎn),????、????訂交于點(diǎn)??,連接????.設(shè)????????????????=??????+????(??,??∈??)，則??,??的值分別為學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．21,31B．31,32C．51,52D．31,6110．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且OAOB2OC0,則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為A．3B．4C．5D．611．已知向量不平行，=a,=b,=c,???=d,=e,設(shè)t??,???????????????????R，3a=c，2b=d，e=t（a+b），若C，D，E三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則t的值為________.12．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn),AD=12AB，BE=23BC.若????=?λ1????+λ2?????（λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為________．13．已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線,且ab與c共線，c與a共線,則向量abc=________.14．若是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足-????|=|????+????-??????????????????????????????|????,則的形狀為________。2?????|????????15．如圖，在△ABC中，M為BC上不同樣于B，C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N滿足AN2NM。若ANxAByAC,則x29y2的最小值為________.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．（2017年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）設(shè)非零向量a，b滿足a+b=ab，則A．a(chǎn)⊥b．a(chǎn)=bBC．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)b變式拓展1．【答案】D2．【答案】A【解析】取????的中點(diǎn)??,連接???????,，則?????=?????+?????=12?????+1?????????1???????11???????1?????2???+，又???=3(????+??)?????+??+=(????+，所以223????)，即?????=16?????+16????=13?????，所以??為△ABC的重心，從而可得△ABC為正三角形，故∠??=60°,則cos??=12,應(yīng)選A.3．【答案】B【解析】如圖，因?yàn)锳N1NC,所以2AC222APmABmAB3ANmABAN，又B,P，N三點(diǎn)9291.3共線,所以m1，則m33學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．【答案】C考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D【解析】A中，兩個(gè)向量的模相等,但是方向不用然同樣，所以不正確;中，兩個(gè)向量不能夠比較大小，所以錯(cuò)誤；中，向量平行只能獲取方向同樣或相反，不能夠獲取向量相等,所以錯(cuò)誤；中,若是一個(gè)向量的模等于0，則這個(gè)向量是??.2．【答案】D3．【答案】D【解析】連接????、????、CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三均分點(diǎn)，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精得∠??????=∠??????=∠??????=60,且和均為邊長(zhǎng)等于圓O°????????????????的半徑的等邊三角形,所以四邊形OACD為菱形,所以????=?????+????=2????+????=2??+??，所以??=2，??=1，??-??=-2，應(yīng)選D.????????1????????1114．【答案】B【解析】由題意知：??+??=??，且|??|=√2，∴|??+??+??|=|2??|=2√2.應(yīng)選B.5．【答案】A【解析】向量共線，則存在實(shí)數(shù)滿足:2e1e2e1e2，據(jù)此可得：21，解得21.本題選擇A。6．【答案】C????????1，所以?????=1?????==33【解析】因?yàn)锳B∥CD，所以????????，由題意可得????=?????+?????=?????+13?????=?????+????+13(????-????)=1?111??1??2??1?21???+2???+(??-2??)=3??+???=??+??232333.7．【答案】A【解析】充分性：當(dāng)x3時(shí)，a2,2,b4,4,∴a2,∴1ba∥b成立,充分性成立；必要性:∵a2,x1,bx1,4且a∥b，∴24x1x1,解得x3，必要性不成立，故為充分不用要條件.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．【答案】D9．【答案】C【解析】因?yàn)????:????=1:2,??為????中點(diǎn)，所以?????=13?????,???=2。因?yàn)??????三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)，使得=1???、、???????=，所以1????????=3??????=??(????-?????)??????????(1-???-???=????+(1-??)??????)?????+??????。因?yàn)??、??、??三點(diǎn)共線，同理存在實(shí)數(shù)??，使1)21??=(1-??=5=(1-??)????{.所以得??????+1()，解得{1???31-??=????=51?????2?????=12+???,所以,??=5。選C.???=??????+??????10．【答案】B【解析】∵D為AB的中點(diǎn)，則OD1(OAOB)，2又OAOB2OC0,∴ODOC，∴O為CD的中點(diǎn)，又∵D為AB中點(diǎn)，∴S△AOC1S△ADC1S△ABC,則S△ABC4