?2023-2023菁優(yōu)網(wǎng) 2023年高考復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)向量的綜合應(yīng)用拔高題組〔有詳細(xì)答案〕一．選擇題〔共20小題〕1．〔2023?淮南二模〕如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)〔含邊界〕的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)=α+β〔α，β∈R〕，那么α+β的最大值等于〔〕A．B．C．D．12．〔2023?宜春模擬〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)=α+β〔α，β∈R〕，那么α+β的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．[，]C．〔1，〕D．〔1，〕3．〔2023?呼倫貝爾二?！吃谶呴L為1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，那么?的最大值為〔〕A．B．C．D．4．〔2023?安慶三?！橙缦铝袌D，設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且=+，那么△ABP與△ABC的面積之比等于〔〕A．B．C．D．5．〔2023?宜春模擬〕如圖，圓M：〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是〔〕A．B．[﹣6，6]C．D．[﹣4，4]6．〔2023?洛陽二?！臣僭O(shè)，，均為單位向量，且?=﹣，=x+y〔x，y∈R〕，那么x+y的最大值是〔〕A．2B．C．D．17．〔2023?安徽〕在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||=||=?=2，那么點(diǎn)集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是〔〕A．B．C．D．8．〔2023?湖南〕，是單位向量，?=0．假設(shè)向量滿足|﹣﹣|=1，那么||的最大值為〔〕A．B．C．D．9．〔2023?上?！吃谶呴L為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、．假設(shè)m、M分別為〔++〕?〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，那么m、M滿足〔〕A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜010．〔2023?重慶〕在平面上，⊥，||=||=1，=+．假設(shè)||＜，那么||的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．〔，]C．〔，]D．〔，]11．〔2023?鐵嶺模擬〕兩點(diǎn)A〔1，0〕，B〔1，〕，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC=120°，設(shè)，〔λ∈R〕，那么λ等于〔〕A．﹣1B．1C．﹣2D．212．〔2023?楚雄州模擬〕點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且++3=，那么△APB，△APC，△BPC的面積之比等于〔〕A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：313．〔2023?廣東〕對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義○=，假設(shè)平面向量、滿足||≥||＞0，與的夾角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1C．D．14．〔2023?天津〕在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，λ∈R．假設(shè)=﹣2，那么λ=〔〕A．B．C．D．215．〔2023?廣東〕對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義?=．假設(shè)兩個(gè)非零的平面向量，滿足與的夾角，且?和?都在集合中，那么?=〔〕A．B．C．1D．16．〔2023?天津〕△ABC為等邊三角形，AB=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，λ∈R．假設(shè)=﹣，那么λ=〔〕A．B．C．D．17．〔2023?濟(jì)南二模〕點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，，．那么λ2?λ3取最大值時(shí)，2x+y的值為〔〕A．B．C．1D．218．〔2023?棗莊一?！吃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得，那么〔λ﹣3〕2+μ2的取值范圍是〔〕A．〔2，9〕B．〔4，10〕C．〔〕D．〔2，+∞〕19．〔2023?淮北一模〕在△ABC中，，sinB=cosA?sinC，S△ABC=6，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．，那么的最小值為〔〕A．B．C．D．20．〔2023?上?！吃O(shè)A1，A2，A3，A4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，那么使成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為〔〕A．0B．1C．2D．4二．填空題〔共10小題〕21．〔2023?和平區(qū)模擬〕如圖，在正方形ABCD中，AB=2，M為BC的中點(diǎn)，假設(shè)N為正方形內(nèi)〔含邊界〕任意一點(diǎn)，那么的最大值是_________．22．〔2023?河北區(qū)三?！吃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，點(diǎn)A是半圓x2﹣4x+y2=0〔2≤x≤4〕上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OA的延長線上．當(dāng)時(shí)，那么點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是_________．23．〔2023?四川二模〕，那么向量與向量的夾角是_________．24．〔2023?韶關(guān)模擬〕AD是△ABC的中線，假設(shè)∠A=120°，，那么的最小值是_________．25．〔2023?福建模擬〕設(shè)A、B、C、D是半徑為1的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿足=0，?=0，?=0，用S1、S2、S3分別表示△ABC、△ACD、ABD的面積，那么S1+S2+S3的最大值是_________．26．〔2023?江蘇模擬〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，那么當(dāng)最小時(shí)，CN=_________．27．〔2023?河西區(qū)三模〕如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點(diǎn)，∠CBA=60°，∠ABD=45°，那么x+y=_________．28．〔2023?北京〕向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如下列圖，假設(shè)，那么=_________．29．〔2023?上海〕正方形ABCD的邊長為1，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，假設(shè)i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，那么的最小值是_________．30．〔2023?山東〕向量與的夾角為120°，且，．假設(shè)，且，那么實(shí)數(shù)λ=_________．2023年高考復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)向量的綜合應(yīng)用拔高題組〔有詳細(xì)答案〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共20小題〕1．〔2023?淮南二?！橙鐖D，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)〔含邊界〕的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)=α+β〔α，β∈R〕，那么α+β的最大值等于〔〕A．B．C．D．1考點(diǎn)：相等向量與相反向量．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先建立以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸的直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與α，β之間的關(guān)系；再根據(jù)點(diǎn)P的位置，借助于可行域即可求解．解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P〔x，y〕，那么〔x，y〕=α〔0，1〕+β〔3，0〕=〔3β，α〕，所以．因?yàn)椋?≤x=3β≤3，0≤y=α≤1?設(shè)z=α+β，根據(jù)可行域知，當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)E〔1，1〕時(shí)，α+β=z最大，其最大值為，應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題主要考查相等向量以及線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，是對知識點(diǎn)的綜合考查，考查計(jì)算能力．2．〔2023?宜春模擬〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)=α+β〔α，β∈R〕，那么α+β的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．[，]C．〔1，〕D．〔1，〕考點(diǎn)：平面向量共線〔平行〕的坐標(biāo)表示．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程；設(shè)出P的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)用α，β表示，代入圓內(nèi)方程求出范圍．解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系那么D〔0，0〕，A〔0，1〕，B〔﹣3，1〕，C〔﹣1，0〕直線BD的方程為x+3y=0C到BD的距離為∴以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為設(shè)P〔x，y〕那么，∴〔x，y﹣1〕=〔﹣3β，﹣α〕∴x=﹣3β，y=1﹣α∵P在圓內(nèi)∴，解得應(yīng)選D點(diǎn)評：通過建立直角坐標(biāo)系將問題代數(shù)化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標(biāo)公式．3．〔2023?呼倫貝爾二?！吃谶呴L為1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，那么?的最大值為〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：綜合題；壓軸題．分析：根據(jù)，可得==﹣1+，利用x＞0，y＞0，且x+y=1，可求的最大值．解答：解：由題意，∵∴==﹣1+∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤∴﹣1+=﹣1+≤當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)，取等號∴當(dāng)x=y=時(shí)，的最大值為應(yīng)選B點(diǎn)評：此題考查向量知識的運(yùn)用，考查向量的加法，考查向量的數(shù)量積，考查根本不等式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．4．〔2023?安慶三?！橙缦铝袌D，設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且=+，那么△ABP與△ABC的面積之比等于〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：此題考查的知識點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，及三角形面積的性質(zhì)，由△ABP與△ABC為同底不等高的三角形，故高之比即為兩個(gè)三角面積之間，連接CP并延長后，我們易得到CP與CD長度的關(guān)系，進(jìn)行得到△ABP的面積與△ABC面積之比．解答：解：連接CP并延長交AB于D，∵P、C、D三點(diǎn)共線，∴=λ+μ，且λ+μ=1設(shè)=k，結(jié)合=+，得=+由平面向量根本定理解之，得λ=，k=3且μ=，∴=+，可得=，∵△ABP的面積與△ABC有相同的底邊AB高的比等于||與||之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為，應(yīng)選：C點(diǎn)評：三角形面積性質(zhì)：同〔等〕底同〔等〕高的三角形面積相等；同〔等〕底三角形面積這比等于高之比；同〔等〕高三角形面積之比等于底之比．5．〔2023?宜春模擬〕如圖，圓M：〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是〔〕A．B．[﹣6，6]C．D．[﹣4，4]考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用．分析：通過圓的方程求出圓的圓心與半徑，求出ME，OM，利用向量的三角形法那么，化簡，然后利用數(shù)量積求解范圍即可．解答：解：因?yàn)閳AM：〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，圓心的坐標(biāo)〔3，3〕半徑為2，所以|ME|=，|OM|==3，，==，∵，∴，∴=6cos〔π﹣∠OME〕∈[﹣6，6]，的取值范圍是[﹣6，6]．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題考查向量在幾何中的應(yīng)用，注意向量的垂直與向量的轉(zhuǎn)化，數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．6．〔2023?洛陽二?！臣僭O(shè)，，均為單位向量，且?=﹣，=x+y〔x，y∈R〕，那么x+y的最大值是〔〕A．2B．C．D．1考點(diǎn)：平面向量的綜合題；平面向量的根本定理及其意義．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由題設(shè)知==x2+y2﹣xy=1，設(shè)x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12〔t2﹣1〕≥0，由此能求出x+y的最大值．解答：解：∵，，均為單位向量，且?=﹣，=x+y〔x，y∈R〕，∴==x2+y2﹣xy=1，設(shè)x+y=t，y=t﹣x，得：x2+〔t﹣x〕2﹣x〔t﹣x〕﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12〔t2﹣1〕≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值為2．應(yīng)選A．點(diǎn)評：此題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意平面向量的數(shù)量積和換元法的靈活運(yùn)用．此題也可用根本不等式解答7．〔2023?安徽〕在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||=||=?=2，那么點(diǎn)集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：平面向量的根本定理及其意義；二元一次不等式〔組〕與平面區(qū)域；向量的模．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：由兩定點(diǎn)A，B滿足==2，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，設(shè)出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量根本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點(diǎn)集P所表示區(qū)域的面積．解答：解：由兩定點(diǎn)A，B滿足==2，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．不妨設(shè)A〔〕，B〔〕．再設(shè)P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等價(jià)于或或或．可行域如圖中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，那么區(qū)域面積為．應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題考查了平面向量的根本定理及其意義，考查了二元一次不等式〔組〕所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．8．〔2023?湖南〕，是單位向量，?=0．假設(shè)向量滿足|﹣﹣|=1，那么||的最大值為〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：通過建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合即可得出．解答：解：∵||=||=1，且，∴可設(shè)，，．∴．∵，∴，即〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=1．∴的最大值==．應(yīng)選C．點(diǎn)評：熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．〔2023?上?！吃谶呴L為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、．假設(shè)m、M分別為〔++〕?〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，那么m、M滿足〔〕A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜0考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；進(jìn)行簡單的合情推理．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而可結(jié)論．解答：解：由題意，以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、、、，∴利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，∵m、M分別為〔++〕?〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分析出向量數(shù)量積的正負(fù)是關(guān)鍵．10．〔2023?重慶〕在平面上，⊥，||=||=1，=+．假設(shè)||＜，那么||的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．〔，]C．〔，]D．〔，]考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的根本定理及其意義．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計(jì)算公式，即可得到結(jié)論．解答：解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為〔x，y〕，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔a，b〕，由=1，得，那么∵||＜，∴∴∴∵〔x﹣a〕2+y2=1，∴y2=1﹣〔x﹣a〕2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．11．〔2023?鐵嶺模擬〕兩點(diǎn)A〔1，0〕，B〔1，〕，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC=120°，設(shè)，〔λ∈R〕，那么λ等于〔〕A．﹣1B．1C．﹣2D．2考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)題意和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別用λ表示x和y，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示出∠AOC的余弦值，再求出λ的值．解答：解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔x，y〕，那么由得，〔x，y〕=﹣2〔1，0〕+λ〔1，〕=〔﹣2+λ，〕，∴x=﹣2+λ，y=，又∵∠AOC=120°，∴cos120°=，即﹣=，解得，λ=1．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題考查向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，即通過條件列出關(guān)系式，利用向量相等的坐標(biāo)等價(jià)條件進(jìn)行求值．12．〔2023?楚雄州模擬〕點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且++3=，那么△APB，△APC，△BPC的面積之比等于〔〕A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：3考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先將向量式化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形法那么及向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比解答：解：∵++3=，∴+=﹣+〕，如圖：∵，∴∴F、P、G三點(diǎn)共線，且PF=2PG，GF為三角形ABC的中位線∴====2而S△APB=S△ABC∴△APB，△APC，△BPC的面積之比等于3：2：1應(yīng)選C點(diǎn)評：此題考查了向量式的化簡，向量加法的平行四邊形法那么，向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義等向量知識，充分利用向量共線是解決此題的關(guān)鍵13．〔2023?廣東〕對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義○=，假設(shè)平面向量、滿足||≥||＞0，與的夾角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1C．D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題；新定義．分析：由題意可得?==，同理可得?==，故有n≥m且m、n∈z．再由cos2θ=，與的夾角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，從而得到?==的值．解答：解：由題意可得?====．同理可得?====．由于||≥||＞0，∴n≥m且m、n∈z．∴cos2θ=．再由與的夾角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴?==，應(yīng)選C．點(diǎn)評：此題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到n≥m且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14．〔2023?天津〕在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，λ∈R．假設(shè)=﹣2，那么λ=〔〕A．B．C．D．2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由題意可得=0，根據(jù)=﹣〔1﹣λ〕﹣λ=〔λ﹣1〕4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．解答：解：由題意可得=0，由于=〔〕?〔〕=[﹣]?[﹣]=0﹣〔1﹣λ〕﹣λ+0=〔λ﹣1〕4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法那么，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．15．〔2023?廣東〕對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義?=．假設(shè)兩個(gè)非零的平面向量，滿足與的夾角，且?和?都在集合中，那么?=〔〕A．B．C．1D．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題；新定義．分析：先求出?=，n∈N，?=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，從而求得?=的值．解答：解：∵?=====，n∈N．同理可得?====，m∈N．再由與的夾角，可得cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴?==，應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得m=n=1，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16．〔2023?天津〕△ABC為等邊三角形，AB=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，λ∈R．假設(shè)=﹣，那么λ=〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：平面向量的綜合題．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)向量加法的三角形法那么求出，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義求出再根據(jù)=﹣即可求出λ．解答：解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC為等邊三角形，AB=2∴=+λ+〔1﹣λ〕=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+〔1﹣λ〕×2×2×cos180°+λ〔1﹣λ〕×2×2×cos60°=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，=﹣2λ2+2λ﹣2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴〔2λ﹣1〕2=0∴應(yīng)選A點(diǎn)評：此題主要考查了平面向量數(shù)量級的計(jì)算，屬?？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量加法的三角形法那么求出然后再結(jié)合數(shù)量積的定義和條件△ABC為等邊三角形，AB=2，=﹣即可求解！17．〔2023?濟(jì)南二?！滁c(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，，．那么λ2?λ3取最大值時(shí)，2x+y的值為〔〕A．B．C．1D．2考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：綜合題；壓軸題．分析：由題設(shè)條件知，時(shí)取等號，此時(shí)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，能求出λ2?λ3取最大值時(shí)，2x+y的值．解答：解：∵△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，，，．∴，∵P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，∴，∴時(shí)取等號，此時(shí)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，∵實(shí)數(shù)x，y滿足，∴由，得到．應(yīng)選A．點(diǎn)評：此題考查向量在幾何中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．18．〔2023?棗莊一?！吃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得，那么〔λ﹣3〕2+μ2的取值范圍是〔〕A．〔2，9〕B．〔4，10〕C．〔〕D．〔2，+∞〕考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的根本定理及其意義．專題：綜合題；壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：由得μ2=1+λ2﹣2λ，從而可構(gòu)建函數(shù)f〔λ〕=〔λ﹣3〕2+μ2，即可求得〔λ﹣3〕2+μ2的取值范圍．解答：解：因?yàn)锳，B，C互異，所以﹣1＜＜1，由得μ2=1+λ2﹣2λ那么f〔λ〕=〔λ﹣3〕2+μ2=2λ2﹣6λ﹣2λ+10＞2λ2﹣8λ+10≥2．f〔λ〕=〔λ﹣3〕2+μ2=2λ2﹣6λ﹣2λ+10＜2λ2﹣4λ+10，無最大值，∴〔λ﹣3〕2+μ2的取值范圍是〔2，+∞〕．應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題考查向量知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．19．〔2023?淮北一?！吃凇鰽BC中，，sinB=cosA?sinC，S△ABC=6，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．，那么的最小值為〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：平面向量的綜合題．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，那么存在實(shí)數(shù)λ使得=〔3λ，4﹣4λ〕〔0≤λ≤1〕，設(shè)那么，，由=〔x，0〕+〔0，y〕=〔x，y〕可得x=3λ，y=4﹣4λ那么4x+3y=12而，利用根本不等式求解最小值．解答：解：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin〔A+C〕=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C〔0，0〕A〔3，0〕B〔0，4〕P為線段AB上的一點(diǎn)，那么存在實(shí)數(shù)λ使得=〔3λ，4﹣4λ〕〔0≤λ≤1〕設(shè)那么，∴=〔x，0〕+〔0，y〕=〔x，y〕∴x=3λ，y=4﹣4λ那么4x+3y=12=故所求的最小值為應(yīng)選：C點(diǎn)評：題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及根本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把所給的是一個(gè)單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關(guān)系，解決此題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3λ，y=4﹣4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用根本不等式求解最小值20．〔2023?上海〕設(shè)A1，A2，A3，A4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，那么使成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為〔〕A．0B．1C．2D．4考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)所給的四個(gè)固定的點(diǎn)，和以這四個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的和是一個(gè)零向量，根據(jù)向量加法法那么，知這樣的點(diǎn)是一個(gè)唯一確定的點(diǎn)．解答：解：根據(jù)所給的四個(gè)向量的和是一個(gè)零向量，那么，即，所以．當(dāng)A1，A2，A3，A4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)確定以后，那么也是確定的，所以滿足條件的M只有一個(gè)，應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題考查向量的加法及其幾何意義，考查向量的和的意義，此題是一個(gè)根底題，沒有具體的運(yùn)算，是一個(gè)概念題目．二．填空題〔共10小題〕21．〔2023?和平區(qū)模擬〕如圖，在正方形ABCD中，AB=2，M為BC的中點(diǎn)，假設(shè)N為正方形內(nèi)〔含邊界〕任意一點(diǎn)，那么的最大值是6．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：在平面內(nèi)建立適宜的坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，再利用線性規(guī)劃解決問題．解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閤軸正方向，以AB方向?yàn)閥軸負(fù)方向建立坐標(biāo)系，那么=〔1，﹣2〕設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為〔x，y〕，那么=〔x，y〕，那么0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，將A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2故Z=的最大值為6故答案為：6點(diǎn)評：向量的主要功能就是數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，但關(guān)鍵是建立適宜的坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，再將數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題．22．〔2023?河北區(qū)三模〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是半圓x2﹣4x+y2=0〔2≤x≤4〕上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OA的延長線上．當(dāng)時(shí)，那么點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣5，5]．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：設(shè)點(diǎn)C〔a，b〕，由題意可得=λ，且λ＞0，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)M〔2，2〕時(shí)，由=20，且a=b，解得b的值．當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)N〔2，﹣2〕時(shí)，由=20，且a=﹣b，解得b的值，從而求得C的縱坐標(biāo)的取值范圍．解答：解：半圓x2﹣4x+y2=0〔2≤x≤4〕即〔x﹣2〕2+y2=4〔2≤x≤4〕，設(shè)點(diǎn)C〔a，b〕，由于與的方向相同，故=λ，且λ＞0，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)M〔2，2〕時(shí)，=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)N〔2，﹣2〕時(shí)，=2a+〔﹣2b〕=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．綜上可得，那么點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣5，5]，故答案為[﹣5，5]．點(diǎn)評：此題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題23．〔2023?四川二?！?，那么向量與向量的夾角是．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：據(jù)題意可得，∴=進(jìn)一步利用向量夾角的范圍求出夾角．解答：解：設(shè)的夾角為θ那么∵即∵，∴∴=∵θ∈[0，π]∴故答案為：點(diǎn)評：解決向量的夾角問題，一般利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行解決．但要注意向量夾角的范圍．24．〔2023?韶關(guān)模擬〕AD是△ABC的中線，假設(shè)∠A=120°，，那么的最小值是1．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用根本不等式，即可求的最小值．解答：解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔7分〕∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔8分〕∵=〔+〕，∴||2=〔||2+||2+2?〕=〔||2+||2﹣4〕≥〔2||||﹣4〕=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔12分〕故答案為：1．點(diǎn)評：此題考查向量的數(shù)量積，根本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．25．〔2023?福建模擬〕設(shè)A、B、C、D是半徑為1的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿足=0，?=0，?=0，用S1、S2、S3分別表示△ABC、△ACD、ABD的面積，那么S1+S2+S3的最大值是2．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由題意可知，三棱錐的頂點(diǎn)的三條直線AB，AC，AD兩兩垂直，可以擴(kuò)展為長方體，對角線為球的直徑，設(shè)出三度，表示出面積關(guān)系式，然后利用根本不等式，求出最大值．解答：解：設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，因?yàn)锳B，AC，AD兩兩互相垂直，擴(kuò)展為長方體，它的對角線為球的直徑，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=〔ab+ac+bc〕≤〔a2+b2+c2〕=2即最大值為：2故答案為2．點(diǎn)評：此題是根底題，考查球的內(nèi)接多面體，根本不等式求最值問題，能夠把幾何體擴(kuò)展為長方體，推知多面體的外接球是同一個(gè)球，是解題的關(guān)鍵．26．〔2023?江蘇模擬〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，那么當(dāng)最小時(shí)，CN=．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：壓軸題；探究型；平面向量及應(yīng)用．分析：通過三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范圍，然后求解即可求得結(jié)論．解答：解：易證△AOM≌△CON，那么AM=CN=x設(shè)CN=x，經(jīng)過點(diǎn)N作NE⊥AB那么四邊形NEBC為矩形∴NE=BC=1，BE=CN=x那么ME=〔1﹣x〕﹣x=1﹣2x〔或2x﹣1〕∴MN2=EM2+EN2=2﹣4x+4x2BN2=BC2+CN2=1+x2令2﹣4x+4x2=t〔1+x2〕，整理﹙t﹣4﹚x2+4x+t﹣2=0有實(shí)根∴16﹣4〔t﹣4〕〔t﹣2〕≧0解得：3﹣≤t≤3+∴當(dāng)取最小值時(shí)，即t取最小值3﹣，x=即CN=，故答案為：點(diǎn)評：此題考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的探究能力，屬于中檔題．27．〔2023?河西區(qū)三模〕如