《直線與平面垂直》同步作業(yè)一、選擇題1．在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B解析：[由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面，所以它們平行．]2如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A解析：∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.3.若空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交C解析：取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC異面,故選C.4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為()A．1 \r(2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)B解析：如圖，連接AC，DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD-A1B1C1D1，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB＝B))?AC⊥平面BDD1B1.∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).5．ABCD－A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1D解析：正方體中BD∥B1D1，可知選項(xiàng)A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；從而BD⊥AC1，即選項(xiàng)B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即選項(xiàng)C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．選D.二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝.6解析：[因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.]7．10.已知PA垂直于?ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則?ABCD的形狀一定是.

菱形解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)镻C⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為．2解析：[因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.]三、解答題9．如圖，在四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.證明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD為直角梯形，AD＝eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5).∵側(cè)面SAB為等邊三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.連接BD，則BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.10．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F(xiàn)分別是PA和AB的中點(diǎn)，求PA與平面PBC所成角的正弦值．[解]過A作AH⊥BC于H，連接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH為PA與平面PBC所成的角，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點(diǎn)，AH＝eq