《總體特征數(shù)的估計(jì)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)實(shí)例理解樣本的數(shù)字特征，如平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差．2．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本，從數(shù)據(jù)樣本中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的解釋?zhuān)虒W(xué)重點(diǎn)：用算術(shù)平均數(shù)作為近似值的理論根據(jù)．（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)數(shù)據(jù)穩(wěn)定程度的理論根據(jù)．教學(xué)難點(diǎn)：平均數(shù)對(duì)總體水平進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)的可靠性(和中位數(shù)和眾數(shù)之間的聯(lián)系)．通過(guò)實(shí)例使學(xué)生理解樣本數(shù)據(jù)的方差，標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用．課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程一．算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)（一）問(wèn)題情境某校高一(1)班同學(xué)在老師的布置下，用單擺進(jìn)行測(cè)試，以檢驗(yàn)重力加速度．全班同學(xué)兩人一組，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(單位：ｍ／s2)：9．629．549．789．9410．019．669．889．6810．329．769．459．999．819．569．789．729．939．949．659．799．429．689．709．849．90問(wèn)題1：怎樣用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)的中位數(shù)（median）．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)的眾數(shù)，算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)或均數(shù)．問(wèn)題2：用這些特征數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都有關(guān)系．對(duì)這些數(shù)據(jù)所包含的信息的反映最為充分，因而應(yīng)用最為廣泛，特別是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)有重要作用，但計(jì)算較繁瑣，并且易受極端數(shù)據(jù)的影響．用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性較差，但眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡(jiǎn)便，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”．用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也較差，但中位數(shù)也不受極端數(shù)據(jù)的影響，也可選擇中位數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”的“特征數(shù)”，它們各自特點(diǎn)如下：任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具備的性質(zhì)，也正是這個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.問(wèn)題3：我們常用算術(shù)平均數(shù)(其中ai(i＝1，2，…，n)為n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))作為重力加速度的近似值，它的依據(jù)是什么呢？處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差盡可能地小，我們考慮(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，當(dāng)x為何值時(shí)，此和最小．(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a12＋a22＋…＋an2．所以當(dāng)x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)時(shí)離差的平方和最?。ǘ?shù)學(xué)理論故可用x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)作為表示這個(gè)物理量的理想近似值，稱(chēng)其為這ｎ個(gè)數(shù)據(jù)a1＋a2＋…＋an的平均數(shù)或均值一般記為：eq\o(\s\up4(－),a)＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)．（三）數(shù)學(xué)應(yīng)用例1某校高一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的語(yǔ)文測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢偡郑?50分），試確定這次考試中，哪個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)更好一些．甲班：11286106841001059810294107

87112949499901209895119

1081009611511110495108111105

104107119107931029811211299

92102938494941009084114

乙班：11695109961069810899110103

949810510111510411210111396

108100110981078710810610397

10710611112197107114122101107

10711111410610410495111111110

分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的水平，因此，分別求得甲、乙兩個(gè)班級(jí)的平均分即可．解：用科學(xué)計(jì)算器分別求得甲班的平均分為101．1，乙班的平均分為105．4，故這次考試乙班成績(jī)要好于甲班．此處介紹Excel的處理方法．例2：已知某班級(jí)13歲的同學(xué)有4人，14歲的同學(xué)有15人，15歲的同學(xué)有25人，16歲的同學(xué)有6人，求全班的平均年齡．解：eq\f(13×4＋14×15＋15×25＋16×6,4＋15＋25＋6)＝13×eq\f(4,50)＋14×eq\f(15,50)＋15×eq\f(25,50)＋16×eq\f(6,50)這里的eq\f(4,50)，eq\f(15,50)，eq\f(25,50)，eq\f(6,50)，其實(shí)就是13，14，15，16的頻率．[數(shù)學(xué)理論]一般地若取值為x1，x2，…xn的頻率分別是p1，p2，…pn，則其平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．睡眠時(shí)間人數(shù)頻率[6，6．5)50．05[6．5，7)170．17[7，7．5)330．33[7．5，8)370．37[8，8．5)60．06[8．5，9]20．02合計(jì)1001例3．下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間的抽樣頻率分布表(單位：h)，試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間．分析：要確定這100名學(xué)生的平均睡眠時(shí)間，就必須計(jì)算其總睡眠時(shí)間．由于每組中的個(gè)體睡眠時(shí)間只是一個(gè)范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示．解法1：總睡眠時(shí)間約為×5＋×17＋×33＋×37＋×6＋×2＝739（ｈ）．

故平均睡眠時(shí)間約為ｈ．解法2：求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和原式＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝（ｈ）．答估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為ｈ．例4．某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10％，15％，20％，25％，15％，10％和5％，試估計(jì)該單位職工的平均年收入．分析：上述比就是各組的頻率．解估計(jì)該單位職工的平均年收入為12500×10％＋17500×15％＋22500×20％＋27500×25％＋32500×15％＋37500×10％＋45000×5％＝26125（元）．答估計(jì)該單位人均年收入約為26125元．例5．小明班數(shù)學(xué)平均分是78分，小明考了80分，老師卻說(shuō)他是倒數(shù)幾名，你覺(jué)得這可能嗎？(再看書(shū)P64思考)二．方差與標(biāo)準(zhǔn)差（一）問(wèn)題情境為了提高農(nóng)副產(chǎn)品的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力，一些行業(yè)協(xié)會(huì)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品的規(guī)格進(jìn)行了劃分．某外貿(mào)公司要進(jìn)口一批規(guī)格為75g的雞腿，現(xiàn)有2個(gè)廠家提供貨源，它們的價(jià)格相同雞腿的品質(zhì)也相近．質(zhì)檢員分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20只雞腿，它們的質(zhì)量(單位：g)如下：甲廠7574747673767577777474757576737673787772乙廠7578727774757379727580717677737871767375二、數(shù)學(xué)理論實(shí)際生活中，除了關(guān)心數(shù)據(jù)的“平均水平”外，人們往往還關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度，即它們相對(duì)于“平均水平”的偏離情況．方差與標(biāo)準(zhǔn)差就是刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量．一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為eq\o(x,\d\fo1()\s\up7(－))，則稱(chēng)為這個(gè)樣本的方差．因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開(kāi)方后的值稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即乙廠甲廠乙廠甲廠三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例6．在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階．圖11是其中的甲、乙段臺(tái)階路的示意圖．你認(rèn)為哪段臺(tái)階路走起來(lái)更舒服？為什么？例7：為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差．解各組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為165×1％＋195×11％＋225×18％＋255×20％＋285×25％＋315×16％＋345×7％＋375×2％＝267．9≈268(天)．將各組中值對(duì)于此平均數(shù)求方差得eq\f(1,100)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2］＝2128．60，eq