§8.3傅立葉變換的性質(zhì)三、利用

Matlab

實(shí)現(xiàn)

Fourier

變換一、基本性質(zhì)二、卷積與卷積定理*一、基本性質(zhì)且所涉及到的函數(shù)的Fourier在下面給出的基本性質(zhì)中，變換均存在，1.線性性質(zhì)設(shè)

a

,b

為常數(shù)，則性質(zhì)對(duì)于涉及到的一些運(yùn)算(如求導(dǎo)、積分、極限及求和等)的次序交換問(wèn)題，均不另作說(shuō)明。直接進(jìn)入基本性質(zhì)匯總？證明(略)

一、基本性質(zhì)2.位移性質(zhì)設(shè)

為實(shí)常數(shù)，則性質(zhì)(時(shí)移性質(zhì))(頻移性質(zhì))(2)同理，可得到頻移性質(zhì)。(1)(2)證明(1)令

時(shí)移性質(zhì)表明：當(dāng)一個(gè)信號(hào)沿時(shí)間軸移動(dòng)后，各頻率成份

頻移性質(zhì)則被用來(lái)進(jìn)行頻譜搬移，這一技術(shù)在通信系統(tǒng)中的大小不發(fā)生改變，但相位發(fā)生變化；得到了廣泛應(yīng)用。一、基本性質(zhì)2.位移性質(zhì)設(shè)

為實(shí)常數(shù)，則性質(zhì)(時(shí)移性質(zhì))(頻移性質(zhì))(1)(2)令證明(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，同理可得性質(zhì)一、基本性質(zhì)3.相似性質(zhì)

相似性質(zhì)表明，事實(shí)上，在對(duì)矩形脈沖函數(shù)的頻譜分析中(§8.1)已知，脈沖越窄，則其頻譜(主瓣)越寬;脈沖越寬，則其頻譜(主瓣)越窄。相似性質(zhì)正好體現(xiàn)了脈沖寬度與頻帶寬度之間的反比關(guān)系。若信號(hào)被壓縮則其頻譜被擴(kuò)展；若信號(hào)被擴(kuò)展

則其頻譜被壓縮。性質(zhì)一、基本性質(zhì)3.相似性質(zhì)相似性質(zhì)表明這兩者是矛盾的，因?yàn)橥瑫r(shí)壓縮脈沖寬度和在電信通訊中，為了有效地利用信道，希望信號(hào)的頻帶寬度要窄。為了迅速地傳遞信號(hào)，希望信號(hào)的脈沖寬度要??；頻帶寬度是不可能的。性質(zhì)一、基本性質(zhì)3.相似性質(zhì)一、基本性質(zhì)4.微分性質(zhì)若

則性質(zhì)證明

由有一般地，若則記憶由一、基本性質(zhì)4.微分性質(zhì)若

則性質(zhì)記憶由上式可用來(lái)求的

Fourier

變換．一、基本性質(zhì)4.微分性質(zhì)

同理，可得到像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式證明令則由微分性質(zhì)有又有即得性質(zhì)一、基本性質(zhì)5.積分性質(zhì)一、基本性質(zhì)6.帕塞瓦爾(Parseval)等式證明由有右邊=

左邊

.一、基本性質(zhì)(匯總)線性性質(zhì)相似性質(zhì)位移性質(zhì)(時(shí)移性質(zhì))(頻移性質(zhì))一、基本性質(zhì)(匯總)Parseval

等式積分性質(zhì)微分性質(zhì)(

直接進(jìn)入

Parseval

等式舉例?)例設(shè)求解已知根據(jù)線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)有又解根據(jù)相似性質(zhì)有P198例8.11修改設(shè)

求例根據(jù)微分性質(zhì)有解令則又已知解設(shè)矩形脈沖函數(shù)由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，已知的頻譜為由

Parserval

等式有故有P200例8.12即二、卷積與卷積定理廣義積分對(duì)任何實(shí)數(shù)t都收斂，函數(shù)為與的卷積，記為1.卷積的概念與運(yùn)算性質(zhì)設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有定義，定義如果它在

上定義了一個(gè)自變量為t的函數(shù)，則稱(chēng)此P200定義

8.2

二、卷積與卷積定理1.卷積的概念與運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)(1)交換律(2)結(jié)合律

(3)分配律P201

解(1)當(dāng)時(shí)，t(2)當(dāng)時(shí)，P201

例

8.13

將函數(shù)反褶并平移到

t

，得到

從上面的例子可以看出(2)卷積由反褶、平移、相乘、積分四個(gè)部分組成。因此，卷積又稱(chēng)為褶積或卷乘。(1)在計(jì)算一些分段函數(shù)的卷積時(shí)，如何確定積分限是解題另外，利用卷積滿(mǎn)足交換律這一性質(zhì)，適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)函數(shù)的關(guān)鍵。再與函數(shù)相乘后求積分，得到卷積的卷積次序，還可以使積分限的確定更直觀一些。如果采用圖形方式則比較容易確定積分限。即首先P203

(1)當(dāng)時(shí)，解由卷積的定義及性質(zhì)有221t221P202例8.14修改221t(2)當(dāng)時(shí)，解由卷積的定義及性質(zhì)有221221t(3)當(dāng)時(shí)，解由卷積的定義及性質(zhì)有221綜合得解由卷積的定義及性質(zhì)有221證明同理可證

(B)

式。二、卷積與卷積定理2.卷積定理P203定理

8.4

二、卷積與卷積定理3.卷積的物理意義*設(shè)有某信號(hào)為問(wèn)題試將該信號(hào)的低頻成份完全保留，而高頻成份完全去掉，即對(duì)其進(jìn)行理想低通濾波。(1)如何從收到的實(shí)際信號(hào)中分離出“想要”的某個(gè)頻帶背景內(nèi)的信號(hào)。(2)如何從收到的實(shí)際信號(hào)中消除在傳輸過(guò)程中加入的高頻干擾噪聲。(跳過(guò)?)二、卷積與卷積定理3.卷積的物理意義方法*(1)求出信號(hào)頻譜函數(shù)顯然，新的信號(hào)中完全保留了原信號(hào)中頻率低于

a

的頻率成份，而去掉了頻率高于

a

的頻率成份。方法一

在頻率域中實(shí)現(xiàn)

(2)令(理想低通濾波器)(3)將與相乘，得到(4)對(duì)作

Fourier

逆變換，得到二、卷積與卷積定理3.卷積的物理意義方法*由卷積定理，信號(hào)

與方法一中信號(hào)

是一樣的，方法二

在時(shí)間域中實(shí)現(xiàn)

(1)令(理想低通濾波器)(2)求(理想低通濾波因子)(3)計(jì)算卷積與

分別又稱(chēng)為頻率響應(yīng)函數(shù)與沖激響應(yīng)函數(shù)。注這正是卷積的意義和價(jià)值。解方法一根據(jù)卷積定理有方法二已知的

Fourier

變換為令注(1)一般地，有(2)本例的結(jié)論被用來(lái)獲取或者檢測(cè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。其頻譜分別為解函數(shù)和均為抽樣信號(hào)，令則根據(jù)卷積定理有P203例8.15令則解方法一利用卷積定理求解P204例8.16(跳過(guò)?)解令則方法二利用頻移性質(zhì)求解又根據(jù)頻移性質(zhì)有在數(shù)學(xué)軟件

Matlab

的符號(hào)演算工具箱中，提供了專(zhuān)用函數(shù)來(lái)進(jìn)行

Fourier

變換與

Fourier

逆變換。(1)F

=

fourier

(

f

)對(duì)函數(shù)

f(

x

)

進(jìn)行Fourier變換，三、利用

Matlab

實(shí)現(xiàn)

Fourier

變換*對(duì)并返回結(jié)果

F

(

w

)。

(2)f

=

ifourier

(

F

)對(duì)函數(shù)

F

(

w

)

進(jìn)行Fourier逆變換，對(duì)并返回結(jié)果

f

(

x

)。

補(bǔ)

(跳過(guò)?)求函數(shù)的

Fourier

變換。例解Matlab

程序clear;symsareal;symsx;f=cos(a*x);F=fourier

(

f

)；其中，Dirac

為函數(shù)，pi

代表F

=

pi

*

Dirac

(w

-

a)+pi

*

Dirac

(w

+

a)輸出即解Matlab

程序求函數(shù)的

Fourier

變換。例clear;symsareal;symsx;F=fourier

(

f

)；f=a*sin(a*x)/(pi*a*x);輸出F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a))-1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)))其中，pi

代表Heaviside

為單位階躍函數(shù)，求函數(shù)的

Fourier

變換。例其中，pi

代表輸出F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a))-1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)))Heaviside

為單位階躍函數(shù)，即解