用根軌跡法分析系統(tǒng)性能第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能一、閉環(huán)極點位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系nC(s)=

sn+a1sn-1+···+an-1s+anb0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bmR(s)sA0s-sjAj∑nj=1=+待定系數(shù):i=1m(s-zi)j=1n(s-sj)KrAj=s=sj(s-sj)A0=ss-s1+A1Ans-sn+…+系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：c(t)=A0+∑nj=1Ajesjt負實數(shù)極點離虛軸越遠,對應(yīng)的分量

esjt衰減越快系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間就越短,響應(yīng)越快.由上式可見性能主要由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點決定。=

ζωnωncosβ=ζs1s2σβ01-ωζ2nω-ζn1-ωζ2n-ωnjωs1.2

ωnωζ

=-±n1-

ζ2一對共軛復(fù)數(shù)極點在s平面上的分布:ωn=-+ωdjζ|s1|=|s2|=ωnζωd()2+2ωn=-1=

ζcosβ復(fù)數(shù)極點的參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系為

c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βe-ζζπ1-2100%σ%=

ζ3ωn=

ts第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能復(fù)數(shù)極點的位置與性能的關(guān)系：（1）閉環(huán)復(fù)數(shù)極點的實部ζω反映了系統(tǒng)的調(diào)整時間；

（2）閉環(huán)極點的虛部ωd表征了系統(tǒng)輸出響應(yīng)的振蕩頻率；

（3）閉環(huán)極點與坐標原點的距離ωn表征了系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率；

（4）閉環(huán)極點與負實軸的夾角β反映了系統(tǒng)的超調(diào)量；

（5）閉環(huán)極點在s左、右平面的分布反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當系統(tǒng)具有多個閉環(huán)極點時，可借助于主導(dǎo)極點的概念，將系統(tǒng)簡化成低階系統(tǒng)來處理。第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):Φ(s)=(s+1)(0.01s2+0.08s+1)1試估算系統(tǒng)的性能指標。解：閉環(huán)有三個極點σjω0s1

s1=-1s2,3=-4±

s2s3

-1-4s1為主導(dǎo)極點

s可以忽略不計。Φ(s)=s+11ts=3T=3(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)簡化為第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能二、已知根軌跡增益Kr確定閉環(huán)極點根據(jù)根軌跡曲線分析系統(tǒng)性能，有時需要確定增益Kr取某值時的閉環(huán)極點，進而確定閉環(huán)傳遞函數(shù)。已知Kr一般采用試探的方法確定閉環(huán)極點.第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=Kr試確定Kr=1時的閉環(huán)極點。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖:解：σjω0p1p2p3-1-2?。簊3s3Kr=|s3||s3+1||s3+2|Kr××Krs3Kr即Kr=1s3s3s1s2根據(jù)長除法有s+2.325s3+3s2+2s+1=s2可得另兩個極點s2,3±閉環(huán)傳遞函數(shù)為:Φ(s)=(s+2.325)(s2+0.675s+0.431)1第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能三、已知性能指標確定閉環(huán)極點和Kr采用根軌跡法分析系統(tǒng)性能，有時也需要根據(jù)對系統(tǒng)的性能指標要求確定閉環(huán)極點的位置和對應(yīng)的Kr值，使得系統(tǒng)的性能滿足要求。第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=

Krζ試確定閉環(huán)極點和對應(yīng)的Kr值。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求：系統(tǒng)的根軌跡圖如圖:解：σjω0p1p2p3-1-2s3s1s2作射線:β=cos-1ζ=±60o與根軌跡相交點為s1和s2s1,2±n-m2>_∑3j=1pj-s1-s2s3=×××Kr=|s3||s3+1||s3+2|系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)=(s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]1.066第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能四、增加開環(huán)零極點對系統(tǒng)性能的影響由以上分析知，閉環(huán)特征根應(yīng)該位于s左半平面，而且離虛軸要有一定的距離，才能滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性要求。增加開環(huán)零、極點必將改變根軌跡的形狀和走向，即改變系統(tǒng)的性能。第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能（1）二階系統(tǒng)s(s+1)G(s)H(s)=Kr1.

增加開環(huán)零點系統(tǒng)的根軌跡圖如圖:σjω0p1p2-1不管怎么選擇Kr閉環(huán)極點離虛軸的距離都太近,影響系統(tǒng)的快速性。

s1增加零點后:系統(tǒng)的根軌跡圖為:s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+2)z1

-2零點使根軌跡向左彎曲，選擇適當Kr值，既可使閉環(huán)極點離虛軸有一定的距離。s2β又可使β角較小，降低超調(diào)量。ω-ζn第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能零點選擇不合適，效果就完全不一樣。

s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系統(tǒng)的根軌跡圖如圖:σjω0p1z1

p2-1不管怎么選擇Kr值，閉環(huán)極點總為兩個實數(shù)極點。主導(dǎo)極點離虛軸的距離在之間，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間不可能縮短。s(s+1)G(s)H(s)=Kr增加零點后:第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能（2）三階系統(tǒng)s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+2)系統(tǒng)的根軌跡圖如圖:σjω0p1p2p3-5增加零點后:s2(s+5)G(s)H(s)=Krz1

-2系統(tǒng)的根軌跡圖:加了零點后根軌跡的漸近線位于s左半平面，系統(tǒng)由不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。如果增加零點:s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+10)系統(tǒng)的根軌跡圖:根軌跡的漸近線位于s右半平面，系統(tǒng)仍然不穩(wěn)定。p1p2p3-50σjωz1

-102σ=-5+10=2.5第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Krζ例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求：試確定開環(huán)零點的位置。ts≤3s(1)系統(tǒng)根軌跡圖:解：(2)

驗證性能指標作射線β=cos-1ζ=60os1,2±不滿足要求,加入開環(huán)零點來改善系統(tǒng)的性能

=7.5sts=3ωζnσjω0p1p2p3s1z1

s2(3)確定開環(huán)零點的位置1）選擇零點z=-2Kr=6s1,2=-1±滿足要求s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+2)系統(tǒng)的根軌跡圖:

=3sts=3ωζn第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能z1

2）選擇零點σjω0p1p2p3s1s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系統(tǒng)的根軌跡圖:由于閉環(huán)實數(shù)極點靠近虛軸，故系統(tǒng)響應(yīng)速度較低。一般不希望系統(tǒng)出現(xiàn)這種情況.第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能3）選擇零點z=-7s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=

Kr(s+7)系統(tǒng)的根軌跡圖:σjω0p1p2p3s1z1

系統(tǒng)的性能沒有大的改善2σ=-1-4+7=1第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能2．增加開環(huán)極點設(shè)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+3)系統(tǒng)的根軌跡圖:σjω0p1p2z1

1）選擇極點p=-6p3s(s+1)(s+6)G(s)H(s)=

Kr(s+3)系統(tǒng)的根軌跡圖:第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能σjω0p1p2z1

2）選擇極點p=-2系統(tǒng)的根軌跡圖:p3開環(huán)傳遞函數(shù)中增加極點,系統(tǒng)的根軌跡向右彎曲,系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=

Kr(s+3)2σ=-1-2+3=0第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能3）選擇極點系統(tǒng)的根軌跡圖:σjω0p1p2z1

p3所增加極點的模值越小，根軌跡向右彎曲趨勢越明顯，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響也就越大。s(s+1)(s+0.5)G(s)H(s)=

Kr(s+3)第四章總結(jié)通過時域法分析系統(tǒng)的性能可知：系統(tǒng)的性能主要由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根來確定。根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡即可分析系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)性能的分析過程：開環(huán)傳遞函數(shù)八條規(guī)則閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡根據(jù)性能指標要求確定閉環(huán)極點位置σ%ts確定根軌跡放大系數(shù)Kr第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能主要內(nèi)容一、根軌跡的基本概念系統(tǒng)的某個參數(shù)由零變到無窮大時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上移動的軌跡。根軌跡方程：=-1Kri=1m∏(s-zi)j=1n∏(s-pj)幅值方程K=(0,1,2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pj)=±(2k+1)π相角方程=1Kri=1m∏(s-zi)j=1n∏(s-pj)第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能二、繪制根軌跡的基本規(guī)則1.根軌跡的對稱性和分布性根軌跡對稱于實軸

n階系統(tǒng)有n條根軌跡2.根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點m條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點n-m條根軌跡終止于無窮遠3.實軸上的根軌跡段實軸上根軌跡段右側(cè)的開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)。第四節(jié)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能4.根軌跡的漸近線K=0,1,2,3…∑nj=1∑mi=1n-mσ=pj-zi+

n-m(2k+1)θ=π5.根軌跡的分離點和會合點A(s)B'(s)=A'(s)B(s)

6.

根軌跡的出射角和入射角θ∑mi=1(pl-zi)-(pl-pj)∑nj=l

l=±π+∑nj=1(zl-pj)(zl-zi)+∑mi=l

φ