第十章分離變量法第一節(jié)有界弦的自由振動(dòng)第二節(jié)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)第三節(jié)特殊區(qū)域上的位勢(shì)方程第四節(jié)高維定解問(wèn)題的分離變量法第五節(jié)對(duì)非齊次邊界條件和非齊次方程的處理1精選課件第一節(jié)有界弦的自由振動(dòng)物理解釋：

一根長(zhǎng)為l

的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒(méi)有強(qiáng)迫外力作用下的振動(dòng)2精選課件求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解本征值問(wèn)題X(x)：T(t)：3精選課件第二步：求本征值和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式本征值和本征函數(shù)4精選課件第三步：利用初始條件求得定解問(wèn)題的解利用初始條件得5精選課件駐波其中振幅頻率初相位振動(dòng)元素，本征振動(dòng)駐波oln=46精選課件其它邊界條件的混合問(wèn)題兩端自由的邊界條件7精選課件左端點(diǎn)自由、右端點(diǎn)固定的邊界條件8精選課件左端點(diǎn)固定、右端點(diǎn)自有的邊界條件9精選課件第三類邊界條件的混合問(wèn)題的求解中遇到的困難10精選課件舉例-弦的敲擊對(duì)不同的c，有界弦的自由振動(dòng)11精選課件當(dāng)c=0.2l時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)12精選課件當(dāng)c=0.5l時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)13精選課件再例-弦的撥動(dòng)對(duì)不同的d，有界弦的自由振動(dòng)14精選課件當(dāng)d=0.5l時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)15精選課件當(dāng)d=0.3l時(shí)，有界弦的自由振動(dòng)16精選課件第二節(jié)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)物理解釋：

一根長(zhǎng)為l

的均勻細(xì)桿，其右端保持絕熱，左端保持零度，給定桿內(nèi)的初始的溫度分布，在沒(méi)有熱源的情況下桿在任意時(shí)刻的溫度分布17精選課件求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解本征值問(wèn)題X(x)：T(t)：18精選課件第二步：求本征值和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式本征值和本征函數(shù)19精選課件第三步：利用初始條件求得定解問(wèn)題的解利用初始條件得20精選課件舉例21精選課件當(dāng)u0=1

時(shí)，桿內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化22精選課件第三節(jié)特殊區(qū)域上的位勢(shì)方程矩形域上的邊值問(wèn)題

散熱片的橫截面為一矩形[0,a][0,b]，它的一邊y=b處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的穩(wěn)恒的溫度分布23精選課件參數(shù)選取24精選課件圓域內(nèi)的邊值問(wèn)題

一個(gè)半徑為a的薄圓盤(pán)，上下兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù)f(x,y)，求穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤(pán)內(nèi)的溫度分布25精選課件ora+2隱含著的周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件26精選課件第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解()：R(r)：周期本征值問(wèn)題歐拉方程27精選課件第二步：求解周期本征值問(wèn)題和歐拉方程28精選課件第三步：利用邊界條件利用邊界條件29精選課件解的約化-Poisson積分公式30精選課件舉例-觀察法31精選課件第四節(jié)高維定解問(wèn)題的分離變量法球域內(nèi)Laplace方程的邊值問(wèn)題球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問(wèn)題球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問(wèn)題32精選課件球域內(nèi)Laplace方程的邊值問(wèn)題球面坐標(biāo)變換33精選課件隱含著的周期邊值條件和球內(nèi)約束條件34精選課件第一步：求滿足方程、周期邊界條件和球內(nèi)約束條件的變量分離的解R(r)：()：()：35精選課件R(r)：()：歐拉方程第二步：求R(r)，()和()的具體表達(dá)式36精選課件()：()=(cos-1x)=y(x)：締合勒讓德方程37精選課件第三步：利用邊界條件求解38精選課件舉例半徑為a的球形內(nèi)部沒(méi)有電荷，球面上的電勢(shì)為sin2cossin

，求球形區(qū)域內(nèi)部的電勢(shì)分布39精選課件附記：球函數(shù)R(r)：Y(,)：球函數(shù)球方程40精選課件球域內(nèi)波動(dòng)方程的初邊混合問(wèn)題41精選課件第一步：首先將時(shí)間變量與空間變量分離開(kāi)來(lái)，即求形如

T(t)：v(x,y,z)：其中k是待定常數(shù)42精選課件第二步：求解T(t)

第三步：求解v(x,y,z)

43精選課件求如下形式的解

R(r)：Y(,)：球函數(shù)球Bessel方程球Bessel函數(shù)44精選課件第四步：利用初始條件求解45精選課件球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問(wèn)題46精選課件附注對(duì)于其它特殊區(qū)域上的定解問(wèn)題我們同樣可以利用分離變量法進(jìn)行求解例如：半球內(nèi)或外、圓柱上的Laplace方程的邊值問(wèn)題半球內(nèi)或外、圓柱上的波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)的初邊混合問(wèn)題等47精選課件第五節(jié)對(duì)非齊次邊界條件和非齊次方程的處理對(duì)非齊次邊界條件的處理疊加原理對(duì)非齊次方程的處理48精選課件對(duì)非齊次邊界條件的處理將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件49精選課件其中w可以取或50精選課件疊加原理51精選課件對(duì)非齊次方程的處理沖量定理法Fourier級(jí)數(shù)法52精選課件Fourier級(jí)數(shù)法滿足齊次邊界條件正交完備系53精選課件預(yù)設(shè)則有54精選課件其中55精選課件舉例-共振56精選課件當(dāng)趨向于某個(gè)特征頻率k，則有這說(shuō)明