習題五5-1振動和波動有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動曲線和波形曲線有什么不同?解:(1)振動是指一個孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復運動，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程，此時介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標位置，又是時間的函數(shù)，即．(2)在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間，它描述的是介質(zhì)中一個質(zhì)元偏離平衡位置的位中有兩個獨立變量，即坐標位置和時間，它描述的移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規(guī)律．當諧波方程中的坐標位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)不斷地振動又是產(chǎn)生波動的必要條件之一．(3)振動曲線描述的是一個質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．曲線每一幅圖只能給出某一時刻質(zhì)元的位移隨坐標位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖．5-2波動方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos()，又是什么意思?如果和均增加，但相應的［()+］的值不變，由此能從波動方程說明什么?解:波動方程中的表示了介質(zhì)中坐標位置為的質(zhì)元的振動落后于原點的時間；則表示處質(zhì)元比原點落后的振動位相；設時刻的波動方程為則時刻的波動方程為其表示在時刻，位置處的振動狀態(tài)，經(jīng)過后傳播到處．所以在中，當，均增加時，距離，說明的值不會變化，而這正好說明了經(jīng)過時間，波形即向前傳播了的描述的是一列行進中的波，故謂之行波方程．5-3波在介質(zhì)中傳播時，為什么介質(zhì)元的動能和勢能具有相同的位相，而彈簧振子的動能和勢能卻沒有這樣的特點?解:我們在討論波動能量時，實際上討論的是介質(zhì)中某個小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動動能當然是指質(zhì)元振動動能，其與振動速度平方成正比，波動勢能則是指介質(zhì)的形變勢能．形變勢能由介質(zhì)的相對形變量(即應變量)決定．如果取波動方程為的平方成正比．由波動曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動動能有極小(此處振動速度為零)，而在該處的應變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動勢能也為極小；，則相對形變量(即應變量)為.波動勢能則是與在平衡位置處波動動能為極大(該處振動速度的極大)，而在該處的應變也是最大(該處是曲線的拐點)，當然波動勢能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動動能與波動勢能是同步變化的，即具有相同的量值．題5-3圖對于一個孤立的諧振動系統(tǒng)，是一個孤立的保守系統(tǒng)，機械能守恒，即振子的動能與勢能之和保持為一個常數(shù)，而動能與勢能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動能和勢能不可能同步變化．5-4波動方程中，坐標軸原點是否一定要選在波源處?=0時刻是否一定是波源開始振動的時刻?波動方程寫成=cos()時，波源一定在坐標原點處嗎?在什么前提下波動方程才能寫成這種形式?解:由于坐標原點和開始計時時刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動方程中，坐標原點不一定要選在波源處，同樣，的時刻也不一定是波源開始振動的時刻；當波動方程寫成時，坐標原點也不一定是選在波源所在處的．因為在此處對于波源的含義已做了拓展，即在寫波動方程時，我們可以把介質(zhì)中某一已知點的振動視為波源，只要把振動方程為已知的點選為坐標原點，即可得題示的波動方程．5-5在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上，描述各質(zhì)點振動的什么物理量不同，什么物理量相同?解:取駐波方程為，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上，描述各質(zhì)點的振幅是不相同的，各質(zhì)點的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長上，各質(zhì)點的振動位相則是相同的，即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段，同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點都有相同的振動位相，而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點振動位相則相反．5-6波源向著觀察者運動和觀察者向波源運動都會產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應，這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運動時，波面將被擠壓，波在介質(zhì)中的波長，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完整數(shù)目()會增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運動時，波面形狀不變，但觀察者測到的波速增大，即，因而單位時間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會增多，即接收頻率也將增高．簡單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長)使頻率增高，后者則是觀察者的運動使得單位時間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率．題5-6圖多普勒效應5-7一平面簡諧波沿軸負向傳播，波長=1.0m，原點處質(zhì)點的振動頻率為=2.0Hz，振幅＝0.1m，且在=0時恰好通過平衡位置向軸負向運動，求此平面波的波動方程．解:由題知時原點處質(zhì)點的振動狀態(tài)為則有，故知原點的振動初相為,取波動方程為5-8已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程；(3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差．解:(1)已知平面簡諧波的波動方程()將上式與波動方程的標準形式比較，可知：波振幅為，頻率，波長，波速，波動周期．(2)將代入波動方程即可得到該點的振動方程(3)因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為將，及代入上式，即得．5-9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=(10(1)波的波速、頻率和波長