2022-2023學年黑龍江省雞西市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.

2.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

3.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

4.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-1

5.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

6.

7.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

8.下列命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

9.A.有一個拐點B.有兩個拐點C.有三個拐點D.無拐點

10.

11.A.A.

B.

C.

D.

12.

13.設y=x＋sinx，則y=（）A.A.sinx

B.x

C.x＋cosx

D.1＋cosx

14.

15.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

16.設f(x)為連續(xù)函數，則()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)17.設函數y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

18.A.0B.1C.2D.不存在19.級數(k為非零正常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關

20.

21.

22.若收斂，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

23.

24.微分方程yy'=1的通解為A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

25.曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-1

26.

27.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

28.

29.A.0

B.1

C.e

D.e2

30.

31.

32.

33.

34.設x2是f(x)的一個原函數，則f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

35.

36.談判是雙方或多方為實現某種目標就有關條件（）的過程。

A.達成協(xié)議B.爭取利益C.避免沖突D.不斷協(xié)商

37.

38.設z=ln(x2+y)，則等于()。A.

B.

C.

D.

39.

40.A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(50題)41.

42.

43.如果函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

44.

45.

46.曲線y=x3－3x2－x的拐點坐標為____。47.

48.

49.50.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為______．

51.

52.53.

54.

55.56.

57.

58.微分方程y''+6y'+13y=0的通解為______.59.

60.

61.曲線y=(x+1)/(2x+1)的水平漸近線方程為_________.

62.

63.y"+8y=0的特征方程是________。

64.

65.

66.級數的收斂區(qū)間為______．67.若f'(x0)=1，f(x0)=0,則68.

69.

70.設函數y=x3，則y'=________.

71.

72.

73.74.75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.89.

90.

三、計算題(20題)91.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．92.93.求微分方程的通解．94.

95.

96.求曲線在點(1，3)處的切線方程．97.98.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

99.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

100.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．101.

102.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．103.證明：104.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則105.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．106.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．107.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．108.

109.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

110.

四、解答題(10題)111.112.113.114.

115.

116.將f(x)=1/3-x展開為(x+2)的冪級數，并指出其收斂區(qū)間。

117.

118.

119.

120.五、高等數學(0題)121.分析

在x=0處的可導性

六、解答題(0題)122.

參考答案

1.B解析：

2.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

3.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

4.D本題考查了函數的極值的知識點。

5.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

6.B

7.B

8.D

9.D

10.D

11.D本題考查的知識點為偏導數的計算．是關于y的冪函數，因此故應選D．

12.A

13.D

14.D

15.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續(xù)函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

16.C本題考查的知識點為可變上限積分的求導性質．

這是一個基本性質：若f(x)為連續(xù)函數，則必定可導，且

本題常見的錯誤是選D，這是由于考生將積分的性質與牛頓-萊布尼茨公式混在了一起而引起的錯誤．

17.B

18.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x＝1為f(x)的分段點，且在x＝1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

19.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性．

由于收斂，可知所給級數絕對收斂．

20.C

21.B

22.D本題考查的知識點為級數的基本性質．

由級數收斂的必要條件：若收斂，則必有，可知D正確．而A，B，C都不正確．

本題常有考生選取C，這是由于考生將級數收斂的定義存在，其中誤認作是un，這屬于概念不清楚而導致的錯誤．

23.C

24.D

25.C

26.B

27.C本題考查的知識點為不定積分基本公式．

28.D

29.B為初等函數，且點x=0在的定義區(qū)間內，因此，故選B．

30.A解析：

31.C解析：

32.D解析：

33.D解析：

34.A由于x2為f(x)的一個原函數，由原函數的定義可知f(x)=(x2)'=2x，故選A。

35.C

36.A解析：談判是指雙方或多方為實現某種目標就有關條件達成協(xié)議的過程。

37.A

38.A本題考查的知識點為偏導數的計算。由于故知應選A。

39.A解析：

40.D本題考查的知識點為二階常系數線性非齊次微分方程特解y*的取法：

41.e

42.

43.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

44.本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

45.-246.（1，-1）47.1．

本題考查的知識點為函數連續(xù)性的概念．

48.

49.

本題考查的知識點為極限的運算．

若利用極限公式

如果利用無窮大量與無窮小量關系，直接推導，可得

50.-24本題考查的知識點為連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續(xù)，?？梢岳脤蹬卸╢(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)內的駐點x1，…，xk．

(3)比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的點x為f(x)的最大(小)值點．

y=x3-27x+2,

則y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點x1=-3，x2=3，可知這兩個駐點都不在(1，2)內．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為-24．

本題考生中出現的錯誤多為求出駐點x1=-3，x2=3之后，直接比較

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為f(-3)=56．其錯誤的原因是沒有判定駐點x1=-3，x2=3是否在給定的區(qū)間(1，2)內，這是值得考生注意的問題．在模擬試題中兩次出現這類問題，目的就是希望能引起考生的重視．

本題還可以采用下列解法：注意到y(tǒng)'=3(x-3)(x+3)，在區(qū)間[1，2]上有y'＜0，因此y為單調減少函數?？芍?/p>

x=2為y的最小值點，最小值為y|x=2=-44．

x=1為y的最大值點，最大值為y|x=1=-24．

51.

52.

本題考查的知識點為函數商的求導運算．

考生只需熟記導數運算的法則

53.

54.

55.

本題考查的知識點為求直線的方程．

由于所求直線平行于已知直線1，可知兩條直線的方向向量相同，由直線的標準式方程可知所求直線方程為

56.

57.58.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程為r2+6r+13=0，特征根為所以微分方程的通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).59.0．

本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

60.

61.y=1/2本題考查了水平漸近線方程的知識點。62.本題考查的知識點為不定積分的換元積分法。

63.r2+8r=0本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程為r2+8r=0。

64.

解析：

65.11解析：66.(-1，1)本題考查的知識點為求冪級數的收斂區(qū)間．

所給級數為不缺項情形．

可知收斂半徑，因此收斂區(qū)間為

(-1，1)．

注：《綱》中指出，收斂區(qū)間為(-R，R)，不包括端點．

本題一些考生填1，這是誤將收斂區(qū)間看作收斂半徑，多數是由于考試時過于緊張而導致的錯誤．67.-168.由可變上限積分求導公式可知

69.(01)(0，1)解析：

70.3x2本題考查了函數的導數的知識點。因為y=x3，所以y'=3x2

71.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

72.11解析：

73.

74.3/2本題考查了函數極限的四則運算的知識點。

75.

76.ln2

77.33解析：

78.

本題考查的知識點為導數的四則運算．

79.0

80.

81.(00)

82.

83.2x＋3y．

本題考查的知識點為偏導數的運算．

84.90

85.2

86.

87.288.1/6

89.f(x)本題考查了導數的原函數的知識點。

90.e

91.

92.

93.

94.

95.

96.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

97.

98.

99.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

100.

101.由一階線性微分方