第2章二階線(xiàn)性偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的分類(lèi)與標(biāo)準(zhǔn)型§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))§2.2二階線(xiàn)性偏微分方程分類(lèi)§2.3二階線(xiàn)性偏微分方程簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)§2.4三類(lèi)方程的簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)形式第一頁(yè)，共28頁(yè)?！?.1常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線(xiàn)性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)的標(biāo)準(zhǔn)形式第二頁(yè)，共28頁(yè)。二.二階常系數(shù)(xìshù)線(xiàn)性齊次微分方程的解特征根：

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：第三頁(yè)，共28頁(yè)。齊次方程(fāngchéng)的通解為：特解為：(3)有一對(duì)(yīduì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程(fāngchéng)的通解為特征根為：特解為：(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)第四頁(yè)，共28頁(yè)。小結(jié)：二階常系數(shù)(xìshù)線(xiàn)性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程：利用(lìyòng)了歐拉公式第五頁(yè)，共28頁(yè)。例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解得第六頁(yè)，共28頁(yè)。所以(suǒyǐ)方程的通解為解得(2)特征方程為所以(suǒyǐ)方程的通解為

(3)特征方程為解得第七頁(yè)，共28頁(yè)。解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程(fāngchéng)的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得例:求滿(mǎn)足初始條件

的特解.將、代入以上二式,得第八頁(yè)，共28頁(yè)。解此方程組，得所以(suǒyǐ)所求特解為第九頁(yè)，共28頁(yè)。(2)對(duì)應(yīng)(duìyìng)齊次方程為：(3)通解(tōngjiě)結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)(xìshù)非齊次線(xiàn)性方程(1)非齊次線(xiàn)性方程通式：第十頁(yè)，共28頁(yè)?！?.二階線(xiàn)性偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)分類(lèi)1.一般形式及分類(lèi)判別其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：3.判別式及分類(lèi)：雙曲型拋物型橢圓型第十一頁(yè)，共28頁(yè)。判斷下列方程的類(lèi)型思考：第十二頁(yè)，共28頁(yè)?！?.方程(fāngchéng)簡(jiǎn)化1.線(xiàn)性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變量)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

n個(gè)自變量：其中是自變量

的函數(shù)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。2.變量替換(tìhuàn)與方程轉(zhuǎn)型(1)變量(biànliàng)代換：(2)一般(yībān)式轉(zhuǎn)為：系數(shù)為：變量替換是研究偏微分方程的有效手段，適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡(jiǎn)化方程、易求解。第十四頁(yè)，共28頁(yè)。注：變量(biànliàng)替換必須為非奇異變換非奇異(qíyì)變換：雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)(x0,y0)不等于零，即：則：在點(diǎn)(x0,y0)附近(fùjìn)變換是可逆的。第十五頁(yè)，共28頁(yè)。3.方程(fāngchéng)簡(jiǎn)化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解，則：再求另一個(gè)特解，則A22=0偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程第十六頁(yè)，共28頁(yè)。5.特征(tèzhēng)方程與特征(tèzhēng)曲線(xiàn)1.特征方程：2.解：3.特征(tèzhēng)曲線(xiàn)：第十七頁(yè)，共28頁(yè)。例2.1.1判斷偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)類(lèi)型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解：特征(tèzhēng)線(xiàn)：令：雙曲型方程(fāngchéng)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。例2.1.3

設(shè)常數(shù)A,B,C滿(mǎn)足m1、m2是如下方程的兩個(gè)根的通解為：證明二階線(xiàn)性偏微分方程證明：設(shè)則：第十九頁(yè)，共28頁(yè)?！?三類(lèi)方程的簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)形式當(dāng)時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線(xiàn)取則方程(fāngchéng)變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

1.雙曲方程(fāngchéng)型方程(fāngchéng)：第二十頁(yè)，共28頁(yè)。當(dāng)

時(shí)，只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線(xiàn)，

。取與函數(shù)無(wú)關(guān)的作為另一個(gè)新的變量則有：2.拋物型方程(fāngchéng)：第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。當(dāng)

時(shí)，給出一族復(fù)特征線(xiàn)在該變換下：且方程化為：令則有：3.橢圓型方程(fāngchéng)：第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。小結(jié)：三種(sānzhǒnɡ)方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。例題(lìtí)1：分類(lèi)并標(biāo)準(zhǔn)化方程：解：該方程(fāngchéng)的故該方程(fāngchéng)是拋物型的。特征方程：從而得到方程的一族特征線(xiàn)為：自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無(wú)關(guān),所以η宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)原方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：特征的解：第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。例2.判斷偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)類(lèi)型并化簡(jiǎn)：解：∵

故

故該方程(fāngchéng)為雙曲型偏微分方程(fāngchéng)，其特征方程(fāngchéng)故有

或

取新變量則或

解為第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。例2(續(xù))，代入原方程(fāngchéng)得：即：第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。例3.判斷(pànduàn)偏微分方程的類(lèi)型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解：特征(tèzhēng)線(xiàn)：令：雙曲型方程第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。第二章：復(fù)習(xí)(fùxí)思考題與作業(yè)一．寫(xiě)出二階常系數(shù)(xìshù)線(xiàn)性齊次微分方程的特征方程與特征根。二.簡(jiǎn)述二階常系數(shù)(xìshù)線(xiàn)