自考-線性代數(shù)-第六章-實(shí)二次型解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)牡男D(zhuǎn)變換使得mx'2+ny'2=0．定義：含有n個(gè)變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數(shù)稱(chēng)為二次型．令aij=aji，則2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj，于是對(duì)稱(chēng)陣對(duì)稱(chēng)陣A的秩也叫做二次型f的秩．線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)稱(chēng)陣的二次型二次型的矩陣對(duì)于二次型，尋找可逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng)，即f=k1

y12+k2

y22+…+kn

yn2

定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）.如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)k1,k2,…,kn只在?1,0,1三個(gè)數(shù)中取值,即 f=k1

y12+…+kp

yp2?kp+1

yp+12?…?kr

yr2

則上式稱(chēng)為二次型的規(guī)范形．說(shuō)明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍.簡(jiǎn)記為x=Cy，于是f=xTAx=

(Cy)TA(Cy)=yT

(CTAC)y寫(xiě)出二次型

對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣A。解：可根據(jù)所給的二次型的各個(gè)系數(shù)直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)?寫(xiě)出由對(duì)稱(chēng)矩陣

確定的二次型。解：可根據(jù)所給的對(duì)稱(chēng)矩陣直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型例2【練習(xí)109】三元二次型的矩陣為（）。A． B．

C．D．A【練習(xí)110】實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型______________________．【練習(xí)111】二次型的矩陣是______________________。【練習(xí)112】二次型的秩是______________________。2【解】

秩為2．

【練習(xí)113】實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型是________________________________．【練習(xí)114】二次型的秩是().A．1 B．2 C．3 D．4C【解】

秩為3．

【練習(xí)115】二次型=的正慣性指數(shù)為

.1【解】只有的系數(shù)是正的。

定義：設(shè)A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣

P滿(mǎn)足P?1AP=B，則稱(chēng)矩陣A和B相似．（P.121定義7）定義：設(shè)A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣

C滿(mǎn)足CTAC=B，則稱(chēng)矩陣A和B合同．（P.129定義9）顯然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B 即若A為對(duì)稱(chēng)陣，則B也為對(duì)稱(chēng)陣．R(B)=R(A)．經(jīng)過(guò)可逆變換后，二次型f的矩陣由A變?yōu)榕cA合同的矩陣CTAC，且二次型的秩不變．若二次型f經(jīng)過(guò)可逆變換

x=Cy變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即問(wèn)題：對(duì)于對(duì)稱(chēng)陣A，尋找可逆矩陣C，使CTAC為對(duì)角陣,（把對(duì)稱(chēng)陣合同對(duì)角化）．定義：如果

n階矩陣A滿(mǎn)足ATA=E，即

A?1=AT，則稱(chēng)矩陣A為正交矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)正交陣．定理：設(shè)

A為n階對(duì)稱(chēng)陣，則必有正交陣P，使得P?1AP

=PTAP=L，其中L是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）.（P.124定理7）定理：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在正交變換

x=Py

，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2

其中l(wèi)1,l2,…,ln是f的矩陣A的特征值．推論：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．推論：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．證明：

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2若R(A)=r，不妨設(shè)l1,l2,…,lr不等于零，lr+1=…=ln=0,令則K可逆，變換y=Kz把f(Py)化為f(PKz)=(PKz)T

A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中【例3】求一個(gè)正交變換x=Py

，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形．【解】二次型的矩陣根據(jù)P.125例12的結(jié)果，有正交陣使得于是正交變換x=Py

把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=－2y12+y22+y32如果要把f化為規(guī)范形，令，即可得f的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32在以下4個(gè)矩陣中，哪些是合同矩陣？哪些是不合同矩陣？【例4】【解】這4個(gè)方陣的秩都同為3，因?yàn)?，A與C的正慣性指數(shù)同為1，所以A與C合同。B與D的正慣性指數(shù)同為2，所以B與D合同。但A與B不合同，B與C不合同?！揪毩?xí)116】二次型=經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形

.解:用配方法【練習(xí)117】求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出是否為正定二次型解:二次型的矩陣

由

得的特征值為對(duì)于，由

得特征向量

對(duì)于，由

得特征向量

將單位化，得

令，則為正交矩陣，從而經(jīng)正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

由于的特征值都大于零，故正定.§6.2正定二次型和正定矩陣1.正定矩陣具有對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型如果對(duì)于任何，都有成立，則稱(chēng)為正定二次型，矩陣A稱(chēng)為正定矩陣。2.半正定矩陣具有對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型如果對(duì)于任何，都有成立，則稱(chēng)為半正定二次型，矩陣A稱(chēng)為半正定矩陣。3.負(fù)定矩陣具有對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型如果對(duì)于任何，都有成立，則稱(chēng)為負(fù)定二次型，矩陣A稱(chēng)為負(fù)定矩陣。4.半負(fù)定矩陣具有對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型如果對(duì)于任何，都有成立，則稱(chēng)為半負(fù)定二次型，矩陣A稱(chēng)為半負(fù)定矩陣。5.不定二次型其他的實(shí)二次型稱(chēng)為不定二次型，其他的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣稱(chēng)為不定矩陣。以n=3為例。

【例6】（1）正定二次型：對(duì)應(yīng)的矩陣（2）半正定二次型：對(duì)應(yīng)的矩陣（3）負(fù)定二次型：對(duì)應(yīng)的矩陣（4）半負(fù)定二次型：對(duì)應(yīng)的矩陣（5）不定二次型：對(duì)應(yīng)的矩陣問(wèn)

是不是正定二次型？【例7】解：因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)角元素，所以它不是正定二次型。定理：n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A=（aij）是正定矩陣A的n個(gè)順序主子式Dk>0,k=1,2,…，n。判定是不是正定矩陣?！纠?】解：因?yàn)锳的三個(gè)順序主子式：所以，A是正定矩陣。問(wèn)為何值時(shí)，以下三元二

次為正定二次型：【例9】解：它是標(biāo)準(zhǔn)二次型。它是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的所有系數(shù)都是正數(shù)，即得問(wèn)為何值時(shí)，以下三元二次為正定二次型：【例10】解：寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣得定理：矩陣為正定矩陣的充分必要條件是.稱(chēng)為的順序階主式，即…【練習(xí)118】設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則

的取值范圍是_____________．

【解】

【練習(xí)119】設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則

的取值范圍是_____________．

【解】

【練習(xí)120】已知二次型正定，則數(shù)k的取值范圍為_(kāi)__________．

【解】

【練習(xí)121】設(shè)，則二次型是（）A．正定 B．負(fù)定 C．半正定 D．不定已知二次型【解】

B負(fù)定。

【練習(xí)122】設(shè)矩陣A=，則二次型的規(guī)范形是___________．

【解】