II”.冪級(jí)數(shù)

3nx2n1的收斂區(qū)間是(1133已知(1cos1pp33 n f(x的周期是2f(x)x(0x2，函數(shù)Sxf(x葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則S(0)

S() 已知冪級(jí)數(shù)anxnx

處條件收斂，則級(jí)數(shù)

an(x2)n1n1n

n設(shè)有級(jí)數(shù)

nasin1，則使該級(jí)數(shù)收斂的a的范圍是an判斷級(jí)數(shù)

的斂散性(收斂212n1(2 n發(fā)散的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其同不趨于0.[x,,

exe2

e2設(shè)af(x的瑕點(diǎn)，則必有l(wèi)imf(x)數(shù)列an有界的充要條件是其任一子列都有收斂的子列。二、解答證明題（701（12（1）

（2）

ln(1n)xn1 limn

1，所以收斂半徑是exe時(shí)，級(jí)數(shù)為 [e(11)n]n.因?yàn)閑(11)n1(n1, )所以級(jí)數(shù)的同項(xiàng)不趨于零從而級(jí) xexe處，級(jí)數(shù)發(fā)散.所以收斂域是(ee)1x1時(shí)，相應(yīng)級(jí)數(shù)的斂散性可以用積ln(1

ln(1

ln(1f(x)

x1

dx發(fā)散因此 xnxn（法二）比較法：由于1ln(1n)(n3)，故發(fā)散。當(dāng)x1時(shí)， 別法知，級(jí)數(shù)收斂。故收斂域?yàn)?（7

1x2

x0解法一：f'(x)

(1)nx2n(|x|1),f(0)1

nx

f(x

f(t)dt

0tdt

2n解法二：令tarctgx則當(dāng)|x|1|t|42nf(x)

1tgt2

arctg(tg2t)2t2arctgx(|x|1arctgxx0

f(x)22n1

3.(16（1）求冪級(jí)數(shù)

2n

22

.當(dāng)x

2(2

2).S(x)

2nxx

0

2n1

2n1x x

x

)'( (

))'=

)'

2x

（x

22,2)2n1

x

2x (2x2

（2）求

4n4n

4n解：考查冪級(jí)4n

4n5 記u

，則lim lim

x

,從而收斂半徑為 4n

nun n4n當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為4n1 級(jí)數(shù)，從而收斂當(dāng)x=-1時(shí)，原級(jí)數(shù)為4n1是 (1)n1f(x)4n1

x[1,1x(1,1

'(x)(1)n

1f(x)

x f(0) dt,xx01t 01tx由于

dt在閉區(qū)間[-1,1]01txf(x) x01tx=112 124n1＝f(1)=01t4dt=42

2)4.（14）（1）(1)n(1x)xn在[0,1（2）(1x)xn在[0,1（1）|S(x)

(x)||r(x)||(1)k(1x)xk|(1x)xn. k n再求函數(shù)u(x)(1x)xnn令u'(x)0x

n所以|S(x

(x)

1(

)n

1 n1

1nn

nsup|S(xSn(x|0(n故原級(jí)數(shù)在[0,1 0x（2）當(dāng)nSn(x)S(x)

x

續(xù)，故級(jí)數(shù)在[0,1（法二）因?yàn)閟up|S(x

|supxn10(n（法三

0 0解：S(x解：S(x)(1x)x1x)x1 nk

kS(x)limSn(x)

0若xn1取0＝14對(duì)任意的nn1

11n1|n1n1n1

)S(

)||11| 因此(1x)xn在[0,1]上收斂,但不一致收斂。5.(9

1

26x22

(0xf(x)

1(3x261

(0x)作偶開(kāi)拓，并求系數(shù)a03

ann2

f(x連續(xù)且逐段光滑，因此當(dāng)0x2cosnx (3x6 由此可得

1

26x22

(0x6.（12）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nenxx(0證明此級(jí)數(shù)在(0（1）對(duì)任意的自然數(shù)n

1n

則

1ne1 (nn

un(x(0（2）級(jí)數(shù)（0

逐項(xiàng)求導(dǎo)后得

.因?yàn)閷?duì)任意的

x[,nenxnen，而nen收斂，所以在[上nenx

x0(0取

由于在[上22

一致收斂因此在x