第三章3.4第2課時(shí)一、選擇題1．已知正數(shù)a、b滿足ab＝10，則a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．210[答案]D[分析]a＋b≥2ab＝210，等號(hào)在a＝b＝10時(shí)成立，∴選D.2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[分析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤m2＋n22時(shí)成立，應(yīng)選B.2＝50，等號(hào)在m＝n＝53．若a>0，b>0且a＋b＝4，則以下不等式恒成立的是()1111A.ab>2B．a(chǎn)＋b≤111C.ab≥2D．a(chǎn)2＋b2≤8[答案]Da＋b[分析]∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴ab≤2＝2，∴ab≤4，∴1≥1，ab4∴1＋1＝a＋b4≥1，故A、B、C均錯(cuò)，選D.ab＝abab1＋4＝1，則xy有()4．已知正數(shù)x、y滿足xy1B．最大值16A．最小值161C．最小值16D．最大值16[答案]C[分析]∵x>0，y>0，∴14≥24114＝1，x＋yxy＝4xy，又∵x＋y-1-∴41≤1，xy∴xy1≤161，∴xy≥16，應(yīng)選C.5．設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是()A．6B．42C．26D．8[答案]B[分析]ab，a＋b＝3，∵2>0,2>0∴2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝223＝42，ab3等號(hào)成即刻，2＝2，∴a＝b＝2.6．實(shí)數(shù)x、y滿足x＋2y＝4，則3x＋9y的最小值為()A．18B．12C．23D．43[答案]A[分析]∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32yx2y3x2y＝4≥23·3＝2＋23＝18，等號(hào)在3x＝32y即x＝2y時(shí)成立．∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1時(shí)取到最小值18.二、填空題7．已知5＋3＝2(x>0，y>0)，則xy的最小值是________．xy[答案]553[分析]∵x>0，y>0，x＋y＝2，15∴2≥2xy，∴xy≥15，5353當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，且x＋y＝2，即x＝5，y＝3時(shí)，取等號(hào)．8．建筑一個(gè)容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，假如池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為__________元．-2-[答案]1760[分析]xm，則另一邊長為4設(shè)水池池底的一邊長為xm，則總造價(jià)為：y＝480＋80×2x＋2×4×2＝480＋320x＋4xx≥480＋320×2x×4＝1760.x4當(dāng)且僅當(dāng)x＝x即x＝2時(shí)，y取最小值1760.因此水池的最低總造價(jià)為1760元．三、解答題9．已知a、b、c∈R＋，求證：a222＋b＋c≥a＋b＋c.bca[證明]∵a、b、c∈R＋，a2，b2，c2均大于0，bcaa2a2又b＋b≥2b·b＝2a，b2b2c＋c≥2c·c＝2b，c2c2a＋a≥2a·a＝2c，a2b2c2三式相加得b＋b＋c＋c＋a＋a≥2a＋2b＋2c，222∴a＋b＋c≥a＋b＋c.bca10．已知a、b、c∈R，求證：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[證明]a＋ba2＋b2a＋b∵2≤2，∴a2＋b2≥222(a＋b)(a，b∈R等號(hào)在a＝b時(shí)成立)．222同理b＋c≥2(b＋c)(等號(hào)在b＝c時(shí)成立)．a(chǎn)2＋c2≥2(a＋c)(等號(hào)在a＝c時(shí)成立)．2三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2222(a＋b)＋2(b＋c)＋2(a＋c)-3-2(a＋b＋c)(等號(hào)在a＝b＝c時(shí)成立).一、選擇題1．設(shè)x＋3y－2＝0，則3x＋27y＋1的最小值為()A．7B．339C．1＋22D．5[答案]A[分析]由已知得x＋3y＝2，xy3>0,27>0，∴3x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝27y，1即x＝1，y＝3時(shí)等號(hào)成立．112．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則a2－1b2－1的最小值為( )A．6B．7C．8D．9[答案]D[分析]∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤1，等號(hào)在a＝b＝1時(shí)成立．42111－a21－b2a2－1b2－1＝a2·b2＝1＋a·b1＋ba1＋a1＋b2·b2＝aba＝2＋ab＝2＋1≥2＋1＝9，應(yīng)選D.abab143．若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則1＋1ab的最小值為()1B．1A.42-4-C．2D．4[答案]D[分析]圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓的直徑為4，而直線被圓截得的弦長為4，則直線應(yīng)過圓心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，1111ba∴a＋b＝a＋b(a＋b)＝1＋1＋a＋b2＋2ba×ab＝4(等號(hào)在a＝b＝12時(shí)成立)．故所求最小值為4，選D.55322322ab4．設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a≠b，①a＋b>ab＋ab，②a＋b≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三個(gè)式子恒成立的有( )A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)[答案]B[分析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0abab恒成立；b＋a>2或b＋a<－2，應(yīng)選B.二、填空題1a5．已知不等式(x＋y)(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為________．[答案]4a[分析]∵a>0，∴(x＋y)(x＋y)xa1＋a＋x＋y≥1＋a＋2a，由條件知a＋2a＋1＝9，∴a＝4.6．若實(shí)數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．23[答案]3[分析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.x＋y2又∵xy≤(2)，-5-x＋y∴(x＋y)2≤(2)2＋1，2即4(x＋y)≤1.4∴(x＋y)≤3.23≤x＋y≤23∴－33.3∴x＋y的最大值為3.三、解答題7．已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[分析]∵2a＋8b－ab＝0，∴8a＋2b＝1，又a>0，b>0，828b2a∴a＋b＝(a＋b)(a＋b)＝10＋a＋b8b2a8b＝2a，即a＝2b時(shí)，等號(hào)成立．≥10＋2·＝18，當(dāng)且僅當(dāng)ababa＝2ba＝12由82，得.a＋b＝1b＝6∴當(dāng)a＝12，b＝6時(shí)，a＋b取最小值18.8．某單位決定投資3200元建一庫房(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花銷，正面用鐵柵，每米長造價(jià)40元，雙側(cè)墻砌磚，每米長造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元．試求：(1)庫房面積S的取值范圍是多少？(2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)質(zhì)投資又不超出估量，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)多長？[分析](1)設(shè)正面鐵柵長xm，側(cè)面長為ym，總造價(jià)為z元，則z＝40x＋2×45y＋20xy40x＋90y＋20xy，庫房面積S＝xy.由條件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6