材料力學(xué)(5)2022年10月8日第5章梁的剪力圖與彎矩圖基礎(chǔ)篇之五材料力學(xué)工程中的梁與梁的力學(xué)模型描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩剪力圖與彎矩圖第5章剪力圖與彎矩圖結(jié)論與討論應(yīng)用力系簡化方法確定橫截面上的剪力和彎矩剪力方程和彎矩方程工程中的梁與梁的力學(xué)模型返回返回總目錄第5章剪力圖與彎矩圖

桿件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲（bending）。主要承受彎曲的桿件稱為梁（beam）。第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

第5章剪力圖與彎矩圖架在空中的懸臂梁梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

第5章剪力圖與彎矩圖架在空中的懸臂梁梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

第5章剪力圖與彎矩圖ABFP梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型（懸臂梁）固定端lAB自由端梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

梁的力學(xué)模型（簡支梁）

簡支梁ABl固定鉸支座輥軸支座第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

ABCD固定鉸支座輥軸支座外伸端外伸端l1l3l2外伸梁（兩端外伸）第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

工程中可以看作梁的桿件很多第5章剪力圖與彎矩圖梁的力學(xué)模型梁的力學(xué)模型與工程中梁的模型

ABC固定鉸支座輥軸支座外伸端l1l2外伸梁（一端外伸）第5章剪力圖與彎矩圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩第5章剪力圖與彎矩圖FQFQFQFQ＋○－○第5章剪力圖與彎矩圖剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定MM－○MM＋○第5章剪力圖與彎矩圖++++－－－－剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力圖與彎矩圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩總體平衡與局部平衡的概念FP2FP1M1q(x)FP4FP3FP5M2q(x)FQMM'F'Q第5章剪力圖與彎矩圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩FP1M1FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)xxFQM第5章剪力圖與彎矩圖梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法第5章剪力圖與彎矩圖描述內(nèi)力變化規(guī)律有兩種方法：

1.數(shù)學(xué)方程——剪力方程與彎矩方程；

2.圖形——剪力圖與彎矩圖。兩種描述方法都要：

1.確定變化區(qū)間；

2.遵循正負(fù)號規(guī)則。第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法

某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡；

在載荷無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化.

桿件內(nèi)力變化的一般規(guī)律FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法當(dāng)梁上的外力（包括約束力）沿桿的軸線方向發(fā)生突變時，剪力和彎矩的變化規(guī)律也將發(fā)生變化。所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。

第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)

所謂剪力和彎矩變化規(guī)律是指表示剪力和彎矩變化的函數(shù)或變化的圖線。這表明，如果在兩個外力作用點之間的梁上沒有其他外力作用，則這一段梁所有橫截面上的剪力和彎矩可以用同一個數(shù)學(xué)方程或者同一圖線描述。第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)FP1M1xFQM

根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個端截面稱為控制面（controlcross-section）。據(jù)此，下列截面均可為控制面：

集中力作用點的兩側(cè)截面；集中力偶作用點的兩側(cè)截面；

均布載荷（集度相同）起點和終點處的截面。

變化區(qū)間——控制面第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法

變化區(qū)間——控制面FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力圖與彎矩圖描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化的兩種方法應(yīng)用力系簡化方法確定梁的剪力和彎矩第5章剪力圖與彎矩圖應(yīng)用力系簡化方法確定梁的剪力和彎矩

將力系簡化方法用于確定控制面上的剪力和彎矩FPaaFPFPaFPaFPFPFPFPaFPaFP簡化的直接結(jié)果簡化的間接結(jié)果第5章剪力圖與彎矩圖第5章剪力圖與彎矩圖例題1

懸臂梁在B、C兩處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全長為2l。

試用力系簡化方法確定指定截面上的剪力和彎矩。

FPllABCMO=2FPl應(yīng)用力系簡化方法確定梁的剪力和彎矩第5章剪力圖與彎矩圖FPllABCMO=2FPlMAFA=FPllABCMO=2FPlFQ=FPM=-FPlllABCMO=2FPlFP應(yīng)用力系簡化方法確定梁的剪力和彎矩FPM=0FQ=FP第5章剪力圖與彎矩圖FPllABCMO=2FPlFQ=FPFPllABCMO=2FPlFPllABCMO=2FPlFA=FPMA=0M=0M=FPlFQ=FP應(yīng)用力系簡化方法確定梁的剪力和彎矩剪力方程與彎矩方程第5章剪力圖與彎矩圖

一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱為簡支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長度為l。

試寫出：該梁的剪力方程和彎矩方程。例題2第5章剪力圖與彎矩圖lBAq剪力方程與彎矩方程

lBAq解：1．確定約束力因為只有鉛垂方向的外力，所以支座A的水平約束力等于零。又因為梁的結(jié)構(gòu)及受力都是對稱的，故支座A與支座B處鉛垂方向的約束力相同。于是，根據(jù)平衡條件不難求得：FRBFRA第5章剪力圖與彎矩圖剪力方程與彎矩方程

Oyx解：2．確定控制面和分段因為梁上只作用有連續(xù)分布載荷(載荷集度沒有突變)，沒有集中力和集中力偶的作用，所以，從A到B梁的橫截面上的剪力和彎矩可以分別用一個方程描述，因而無需分段建立剪力方程和彎矩方程。3．建立Oxy坐標(biāo)系：以梁的左端A為坐標(biāo)原點，建立Oxy坐標(biāo)系lBAqFRBFRA第5章剪力圖與彎矩圖剪力方程與彎矩方程

FQ(x)M(x)

解：4．確定剪力方程和彎矩方程對于坐標(biāo)為x的截面，將其左側(cè)的均布載荷和約束力向右側(cè)簡化，得到該截面上的剪力方程和彎矩方程：第5章剪力圖與彎矩圖xFRAqFRBl－xqOyxlBAqFRBFRAx剪力方程與彎矩方程

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系返回返回總目錄第5章剪力圖與彎矩圖將FQ(x)對x求一次導(dǎo)數(shù)，將M(x)對x求一次和二次導(dǎo)數(shù)，得到OyxllBACqFRBFRA第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

FQMM+dMq(x)dxFP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)dxx

考察微段的受力與平衡

剪力、彎矩與載荷集度之間微分關(guān)系的證明第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

CFQ+dFQΣFy=0:ΣMC=0:

考察微段的受力與平衡第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

FQFQ+dFQMM+dMq(x)dxC略去高階項，得到此即適用于所有平面載荷作用情形的平衡微分方程根據(jù)上述微分方程，由載荷變化規(guī)律，即可推知內(nèi)力FQ

、M

的變化規(guī)律。0第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

FQFQ+dFQMM+dMq(x)dxC

根據(jù)上述微分方程，由載荷變化規(guī)律，即可推知內(nèi)力FQ

、M的變化規(guī)律。

例如，如果兩個相鄰控制面之間沒有外部載荷，則有平行于x軸的直線斜直線第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

FQxMxq=0第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

q=0FQxMx第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

根據(jù)上述微分方程，由載荷變化規(guī)律，即可推知內(nèi)力FQ

、M

的變化規(guī)律。

例如，如果兩個相鄰控制面之間作用有均勻分布載荷，則有斜直線拋物線第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

q>0FQxMx第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

q<0FQxMx第5章剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖返回返回總目錄第5章剪力圖與彎矩圖

作用在梁上的平面載荷如果不包含縱向力，這時梁的橫截面上只有剪力FQ和彎矩M兩種內(nèi)力分量。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向變化的圖形，分別稱為剪力圖（diagramofshearingforces）和彎矩圖（diagramofbendingmoment）。剪力圖與彎矩圖

第5章剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖的繪制方法與軸力圖和扭矩圖大體相似，但略有差異。主要步驟如下：

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面。

應(yīng)用力系簡化的方法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值。

建立FQ-x和M–x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫出剪力圖與彎矩圖。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

FA簡支梁受力的大小和方向如圖所示。例題41kN.m2kN1.5m1.5m1.5m試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。解：1．確定約束力求得A、B

兩處的約束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kNFRAFRF根據(jù)力矩平衡方程第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

解：2．確定控制面在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。3．建立坐標(biāo)系建立FQ-x和M-x坐標(biāo)系。xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEFA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFFRA第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線因為梁上無分布載荷作用，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸的直線。xFQ/kNOxM/kN.mO

解：4．應(yīng)用力系簡化方法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA彎矩M圖形均為斜直線。于是，順序連接FQ－x和M－x坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

5．確定剪力與彎矩的最大絕對值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值分別為(發(fā)生在EF段)

(發(fā)生在D、E截面上)xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

從所得到的剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎矩圖具有相同的斜率。此外，在集中力作用點兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是維持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

回顧dx微段的取法注：集中載荷與彎矩圖上的尖點；彎矩圖與受拉側(cè)；回顧M軸正方向的規(guī)定。例題

5qBADa4aqaFAyFBy

梁由一個固定鉸鏈支座和一個輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、F

兩處的約束力第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

qBADa4aqaFAyFByCOxFQOxM

解：2．確定控制面由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

qaqBADa4aFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2

解：4．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

qaqBADa4aFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa25．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對于剪力圖：在AB段上，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點而得，或者由其中任一點作平行于x軸的直線而得到。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對于彎矩圖：在AB段上，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因為q向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個控制面上彎矩數(shù)值外，還需要確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒有極值點，以及極值點的位置和極值點的彎矩數(shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點剪力為零。9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeE第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

qAExE6．確定彎矩圖極值點的位置(可用多種方法)qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeE81qa2/32第5章剪力圖與彎矩圖FQ＝0ME剪力圖與彎矩圖

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE7．確定剪力與彎矩的最大絕對值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值分別為第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

注意到在右邊支座處，由于有約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等），彎矩圖在該處出現(xiàn)折點（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

注：均布載荷方向與彎矩圖的凸凹性；集中載荷與彎矩圖上的尖點；彎矩圖與受拉側(cè)；回顧M軸正方向的規(guī)定。第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

幾則有利于復(fù)習(xí)與思考的示例

示例

1llqqql/2ql/2FQxMxql/2ql/2ql/2ql2/8ql2/8第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

llqqFQxMxqlql2/2ql2第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

示例

2FQxllqqqlqlMxqlqlql2/2第5章剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖

示例

3剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖第5章剪力圖與彎矩圖返回返回總目錄

剛架的組成——橫梁、立柱與剛節(jié)點。立柱剛節(jié)點橫梁剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖CAllBq

面內(nèi)載荷作用下，剛架各桿橫截面上的內(nèi)力分量——軸力、剪力和彎矩。特點

內(nèi)力分量的正負(fù)號與觀察者位置的關(guān)系：軸力的正負(fù)號與觀察者位置無關(guān)；剪力的正負(fù)號與觀察者位置無關(guān)；彎矩的正負(fù)號與觀察者位置有關(guān)。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖軸力的正負(fù)號與觀察者位置無關(guān)FNFN剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖剪力的正負(fù)號與觀察者位置無關(guān)FQFQ剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖彎矩的正負(fù)號與觀察者位置有關(guān)MM剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖受拉邊與受壓邊保持不變MM++––++––剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖

剛架內(nèi)力圖的畫法(1)無需建立坐標(biāo)系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)彎矩的數(shù)值標(biāo)在受拉邊;(4)軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號；(5)注意節(jié)點處的平衡關(guān)系。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖節(jié)點處的平衡關(guān)系FNFQFNFQMMFNFQFNFQMMCAllBq剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖例題9

已知平面剛架上的均布載荷集度q,長度l。試：畫出剛架的內(nèi)力圖。CAllBq剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖

解：1.確定約束力FCCAllBqFAyFAx剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖ql

解：2.確定控制面B'B"CAllqB剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖

解：3.確定控制面上的內(nèi)力qlAB采用力系簡化方法ql/2qlql/2qlA剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq

解：3.確定控制面上的內(nèi)力采用力系簡化方法qlqlql/2qlAB'ql2/2ql/2qlql2受拉邊剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq解：3.確定控制面上的內(nèi)力應(yīng)用力系簡化的方法ql/2ql2/2受拉邊lql/2CB''剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq解：3.確定控制面上的內(nèi)力lCB''ClCB''剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq解：4.畫剪力圖和彎矩圖＋－ql/2b''

FQAB○Cqlab'

c

ql/2剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq解：4.畫剪力圖和彎矩圖BCA○Mac

b''

ql2/2ql2/2b'

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllq解：4.畫軸力圖＋CAB○FNql/2ac

b’'

ql/2b'

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖qlB'B"CAllqCAllBq＋－ql/2b''

FQAB○Cqlab'

c

ql/2BCA○Mac

b''

ql2/2ql2/2b'

＋CAB○FNql/2ac

b'

ql/2b''

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章剪力圖與彎矩圖

結(jié)論與討論返回返回總目錄第5章剪力圖與彎矩圖

結(jié)論與討論

關(guān)于彎曲內(nèi)力的幾點重要結(jié)論第5章剪力圖與彎矩圖

一個重要概念

三個微分方程一套方法

關(guān)于彎