《球的表面積和體積》同步作業(yè)一、選擇題1．如果兩個球的體積之比為8：27，那么兩個球的表面積之比為()A．8：27B．2：3C．4：9D．2：9C解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))＝8：27，∴r：R＝2：3，∴S1：S2＝4：9.2．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．6πB解析：[由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面積，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π.]3.一個正方體表面積與一個球表面積相等,那么它們的體積比是()A. B.C. D.A解析：設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R,由6a2=4πR2得.4．設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2B解析：設(shè)該球的半徑為R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面積為S＝4πR2＝6πa2.5．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π\(zhòng)f(3π,4)\f(π,2)\f(π,4)B解析：[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B.]二、填空題6．把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為cm12解析：[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，檢驗(yàn)知R＝12.]7.若一個正方體內(nèi)接于表面積為4π的球,則正方體的表面積等于8解析：設(shè)正方體棱長為x,球半徑為R,則S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方體內(nèi)接于球,∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8.7.8.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8的水,若放入3個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖),則球的半徑是.

4解析：設(shè)球的半徑為r,則圓柱形容器的水高為6r(放置球后),容積為πr2×6r=6πr3,高度為8的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3×πr3=4πr3,由題意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．已知球心O到過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積．解析：如圖所示，設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的截面為圓O′，連接OO′，AO，AO′，因?yàn)锳B＝BC＝CA＝3cm，所以O(shè)′為正三角形ABC的中心，且AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)cm.設(shè)球的半徑為R，則OO′＝eq\f(1,2)R.由球的截面性質(zhì)，知△OO′A為直角三角形，所以AO′＝eq\r(OA2－OO′2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R，所以R＝2cm.所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)．[等級過關(guān)練]1．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()\f(8π,3)\f(8\r(2)π,3)C．8eq\r(2)π\(zhòng)f(32π,3)B解析：截面面積為π，則該小圓的半徑為1，設(shè)球的半徑為R，則R2＝12＋12＝2，所以R＝eq\r(2)，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2)π,3).2．已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，且這個球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個三棱柱的體積是（）\r(3).\r(3)C．18eq\r(2)π\(zhòng)r(2)A解析：設(shè)球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，三棱柱的高為2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為4eq\r(3)，所以正三棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).3.如圖，圓錐型容器內(nèi)盛有水，水深3dm，水面直徑2eq\r(3)dm，放入一個鐵球后，水恰好把鐵球淹沒，則該鐵球的體積為________dm.eq\f(12π,5)解析：如圖，設(shè)鐵球的半徑為r，則放入鐵球后水深為3r，上底面半徑為eq\r(3)r，此時鐵球與水的體積和為eq\f(1,3)·π·(eq\r(3)r)2·3r＝3πr3.原來水的體積為eq\f(1,3)·π·(eq\r(3))2·3＝3π，鐵球的體積為eq\f(4,3)πr3，則3π＋eq\f(4,3)πr3＝3πr3，解得r3＝eq\f(9,5).∴鐵球的體積V＝eq\f(4,3)π×eq\f(9,5)＝eq\f(12π,5).4.已知三棱錐DABC中，AD＝2，AC＝eq\r(2)，BC⊥BD，AD⊥AC，則三棱錐的外接球的表面積為6π.解析：設(shè)DC的中點(diǎn)為O，如圖．因?yàn)镈A⊥AC，所以CD的中點(diǎn)O為△ADC外接圓圓心．又因?yàn)镈B⊥BC，所以CD的中點(diǎn)O為△BDC外接圓圓心．所以O(shè)點(diǎn)到點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，所以O(shè)為三棱錐外接球的球心．又因?yàn)锳D＝2，AC＝eq\r(2)，所以CD＝eq\r(6)，所以三棱錐外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以三棱錐外接球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝6π.5如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分是以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的一幾何體，求該幾何體的表面積和體積．(其中∠BAC＝30°)解過C作CO1⊥AB于點(diǎn)O1，由已知得∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.∴S球＝4πR2，＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴＝4πR2＋eq\f(3,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(