會計學(xué)1計量經(jīng)濟學(xué)李子奈第二多元線性回歸模型§3.1多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

第1頁/共131頁一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。

一般表現(xiàn)形式：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)（regressioncoefficient）。第2頁/共131頁也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它的非隨機表達式為:表示：各變量X值固定時Y的平均響應(yīng)。

習(xí)慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。于是：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）

第3頁/共131頁總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為:

其中

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;

或者說j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。第4頁/共131頁用來估計總體回歸函數(shù)的樣本回歸函數(shù)為：第5頁/共131頁其隨機表示式:

ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項i的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達:

或其中：第6頁/共131頁二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。

假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性。第7頁/共131頁

假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān)假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布

第8頁/共131頁上述假設(shè)的矩陣符號表示

式：

假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩=k+1，即X滿秩。假設(shè)2，

第9頁/共131頁假設(shè)4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設(shè)：假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n∞時，

假設(shè)3，E(X’)=0，即

第10頁/共131頁

其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣

假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。

或第11頁/共131頁§3.2多元線性回歸模型的估計

一、普通最小二乘估計*二、最大或然估計*三、矩估計四、參數(shù)估計量的性質(zhì)五、樣本容量問題六、估計實例

第12頁/共131頁說明估計方法：3大類方法：OLS、ML或者MM在經(jīng)典模型中多應(yīng)用OLS在非經(jīng)典模型中多應(yīng)用ML或者MM在本節(jié)中，ML與MM為選學(xué)內(nèi)容第13頁/共131頁一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n

根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應(yīng)該是右列方程組的解

其中第14頁/共131頁

于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

解該（k+1）

個方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1)個待估參數(shù)的估計值$,,,,,bjj=012L。k第15頁/共131頁□正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

第16頁/共131頁

將上述過程用矩陣表示如下：

即求解方程組：第17頁/共131頁得到：

于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消費支出例中，

第18頁/共131頁可求得：

于是：

第19頁/共131頁?正規(guī)方程組的另一種寫法對于正規(guī)方程組

于是

或

(*)或（**）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法。

(*)(**)第20頁/共131頁?樣本回歸函數(shù)的離差形式i=1,2…n

其矩陣形式為：其中：

在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為

第21頁/共131頁?隨機誤差項的方差的無偏估計

可以證明，隨機誤差項的方差的無偏估計量為：

第22頁/共131頁*二、最大或然估計對于多元線性回歸模型易知Y的隨機抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率第23頁/共131頁

對數(shù)或然函數(shù)為對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對

求極小值。即為變量Y的或然函數(shù)

第24頁/共131頁

因此，參數(shù)的最大或然估計為結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同第25頁/共131頁*三、矩估計（MomentMethod,MM）

OLS估計是通過得到一個關(guān)于參數(shù)估計值的正規(guī)方程組并對它進行求解而完成的。

該正規(guī)方程組

可以從另外一種思路來導(dǎo):

求期望

:第26頁/共131頁稱為原總體回歸方程的一組矩條件，表明了原總體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。

第27頁/共131頁由此得到正規(guī)方程組

解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的MM估計量。

易知MM估計量與OLS、ML估計量等價。矩方法是工具變量方法(InstrumentalVariables,IV)和廣義矩估計方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基礎(chǔ)第28頁/共131頁

在矩方法中利用了關(guān)鍵是

E(X’)=0

如果某個解釋變量與隨機項相關(guān)，只要能找到1個工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。

如果存在＞k+1個變量與隨機項不相關(guān)，可以構(gòu)成一組包含＞k+1方程的矩條件。這就是GMM。第29頁/共131頁

四、參數(shù)估計量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有：

線性性、無偏性、有效性。

同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有：

漸近無偏性、漸近有效性、一致性。第30頁/共131頁

1、線性性

其中,C=(X’X)-1X’為一僅與固定的X有關(guān)的行向量

2、無偏性

第31頁/共131頁

3、有效性（最小方差性）

這里利用了假設(shè):E(X’)=0第32頁/共131頁其中利用了

和第33頁/共131頁

五、樣本容量問題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。

⒈最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即

n

≥

k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1第34頁/共131頁

2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計檢驗的角度：

n30時，Z檢驗才能應(yīng)用；

n-k≥8時,t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗認為:

當(dāng)n≥30或者至少n≥3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明第35頁/共131頁

六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例

例3.2.2

在例2.5.1中，已建立了中國居民人均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：人均GDP：GDPP

前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間：1979~2000年第36頁/共131頁Eviews軟件估計結(jié)果

第37頁/共131頁§3.3多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗二、方程的顯著性檢驗(F檢驗)

三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）四、參數(shù)的置信區(qū)間

第38頁/共131頁一、擬合優(yōu)度檢驗1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則

總離差平方和的分解第39頁/共131頁由于:

=0所以有：

注意：一個有趣的現(xiàn)象第40頁/共131頁

可決系數(shù)該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問題：在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量，

R2往往增大（Why?)

這就給人一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可?！?/p>

但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整。第41頁/共131頁

調(diào)整的可決系數(shù)（adjustedcoefficientofdetermination）

在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。第42頁/共131頁第43頁/共131頁

*2、赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則

為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有:

赤池信息準(zhǔn)則（Akaikeinformationcriterion,AIC）施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarzcriterion，SC）

這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時才在原模型中增加該解釋變量。

第44頁/共131頁Eviews的估計結(jié)果顯示：中國居民消費一元例中：

AIC=6.68AC=6.83

中國居民消費二元例中：

AIC=7.09AC=7.19從這點看，可以說前期人均居民消費CONSP(-1)應(yīng)包括在模型中。

第45頁/共131頁二、方程的顯著性檢驗(F檢驗)

方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗

即檢驗?zāi)Ｐ?/p>

Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。第46頁/共131頁

可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)：H0：0=1=2==k=0H1：j不全為0F檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS第47頁/共131頁

如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。

因此,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進行推斷。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的知識，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計量

第48頁/共131頁服從自由度為(k,n-k-1)的F分布。

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過

F

F(k,n-k-1)或F≤F(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。第49頁/共131頁對于中國居民人均消費支出的例子：一元模型：F=285.92

二元模型：F=2057.3給定顯著性水平

=0.05，查分布表，得到臨界值：一元例：F(1,21)=4.32

二元例：

F(2,19)=3.52顯然有F

F(k,n-k-1)

，即二個模型的線性關(guān)系在95%的水平下顯著成立。第50頁/共131頁

2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)系的討論

由可推出：與或第51頁/共131頁第52頁/共131頁

在中國居民人均收入—消費一元模型中，

在中國居民人均收入—消費二元模型中，第53頁/共131頁三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）

方程的總體線性關(guān)系顯著每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。這一檢驗是由對變量的t檢驗完成的。第54頁/共131頁

1、t統(tǒng)計量

由于

以cii表示矩陣(X’X)-1

主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為：

其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替:

第55頁/共131頁因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量

第56頁/共131頁

2、t檢驗

設(shè)計原假設(shè)與備擇假設(shè)：

H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過

|t|

t/2(n-k-1)或|t|≤t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。

H0：i=0

（i=1,2…k）

第57頁/共131頁注意：一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致

一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設(shè)H0：1=0

進行檢驗;

另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關(guān)系：

第58頁/共131頁在中國居民人均收入-消費支出二元模型例中，由應(yīng)用軟件計算出參數(shù)的t值：

給定顯著性水平=0.05，查得相應(yīng)臨界值：t0.025(19)=2.093。

可見，計算的所有t值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即:包括常數(shù)項在內(nèi)的3個解釋變量都在95%的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。第59頁/共131頁四、參數(shù)的置信區(qū)間

參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近”。在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：第60頁/共131頁容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是

其中，t/2為顯著性水平為、自由度為n-k-1的臨界值。

在中國居民人均收入－消費支出二元模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093第61頁/共131頁計算得參數(shù)的置信區(qū)間：

0

：(44.284,197.116)

1

：(0.0937,0.3489)

2

：(0.0951,0.8080)

從回歸計算中已得到：第62頁/共131頁如何才能縮小置信區(qū)間？

增大樣本容量n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。第63頁/共131頁提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致使區(qū)間縮小。第64頁/共131頁§3.4多元線性回歸模型的預(yù)測

一、E(Y0)的置信區(qū)間

二、Y0的置信區(qū)間第65頁/共131頁對于模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測值：

它可以是總體均值E(Y0)或個值Y0的預(yù)測。但嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。

為了進行科學(xué)預(yù)測，還需求出預(yù)測值的置信區(qū)間，包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。

第66頁/共131頁一、E(Y0)的置信區(qū)間易知

第67頁/共131頁容易證明

于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間：其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值。第68頁/共131頁二、Y0的置信區(qū)間如果已經(jīng)知道實際的預(yù)測值Y0，那么預(yù)測誤差為：容易證明

第69頁/共131頁e0服從正態(tài)分布，即

構(gòu)造t統(tǒng)計量

可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間：

第70頁/共131頁

中國居民人均收入-消費支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，

于是人均居民消費的預(yù)測值為

?2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）

實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：-0.31%預(yù)測的置信區(qū)間：第71頁/共131頁于是E(?2001）的95%的置信區(qū)間為:

或（1741.8，1811.7）第72頁/共131頁或

（1711.1,1842.4）

同樣，易得?2001的95%的置信區(qū)間為第73頁/共131頁§3.5回歸模型的其他函數(shù)形式

一、模型的類型與變換

二、非線性回歸實例第74頁/共131頁說明在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。第75頁/共131頁一、模型的類型與變換

1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法

例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線

s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設(shè)X1=r，X2=r2，則原方程變換為

s=a+bX1+cX2c<0

第76頁/共131頁2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法

例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù)

Q=AKLQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動

方程兩邊取對數(shù)：

lnQ=lnA+lnK+lnL第77頁/共131頁3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法

方程兩邊取對數(shù)后，得到：

(1+2=1)

Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動投入

：替代參數(shù)，1、2：分配參數(shù)例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)第78頁/共131頁

將式中l(wèi)n(1K-

+2L-)在=0處展開臺勞級數(shù),取關(guān)于的線性項，即得到一個線性近似式。

如取0階、1階、2階項，可得:第79頁/共131頁二、非線性回歸實例

例3.5.1

建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。

根據(jù)需求理論，居民對食品的消費需求函數(shù)大致為:

Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數(shù)，P0：居民消費價格總指數(shù)。

(*)第80頁/共131頁

零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變

(**)為了進行比較，將同時估計（*）式與（**）式。

第81頁/共131頁

根據(jù)恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關(guān)系:

首先,確定具體的函數(shù)形式對數(shù)變換:

(***)第82頁/共131頁考慮到零階齊次性時(****)式也可看成是對（***）式施加如下約束而得:因此，對（****）式進行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。(****)第83頁/共131頁X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數(shù)FP：居民食品消費價格指數(shù)XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費價格縮減指數(shù)（1990=100第84頁/共131頁中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費

特征：消費行為在1981~1995年間表現(xiàn)出較強的一致性；1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動特征。

第85頁/共131頁建立1981~1994年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型:

(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)第86頁/共131頁按零階齊次性表達式回歸:

（75.86）(52.66)(-3.62)為了比較，改寫該式為：

第87頁/共131頁與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。第88頁/共131頁§3.6受約束回歸

一、模型參數(shù)的線性約束二、對回歸模型增加或減少解釋變量三、參數(shù)的穩(wěn)定性*四、非線性約束第89頁/共131頁說明在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需要對模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。例如：——需求函數(shù)的0階齊次性條件——生產(chǎn)函數(shù)的1階齊次性條件模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回歸（restrictedregression）;未加任何約束的回歸稱為無約束回歸（unrestrictedregression）。第90頁/共131頁一、模型參數(shù)的線性約束例如對模型:施加約束:得:或:(*)(**)第91頁/共131頁如果對（**）式回歸得出:則由約束條件可得：

然而，對所考查的具體問題能否施加約束？需進一步進行相應(yīng)的檢驗。常用的檢驗有：F檢驗、x2檢驗與t檢驗。第92頁/共131頁F檢驗

在同一樣本下，記無約束樣本回歸模型為:受約束樣本回歸模型為:于是:第93頁/共131頁

受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR于是e’e為無約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU(*)受約束與無約束模型都有相同的TSS第94頁/共131頁

這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力。但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。由（*）式RSSR

≥

RSSU從而ESSR≤

ESSU第95頁/共131頁可用RSSR-RSSU的大小來檢驗約束的真實性

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的知識：于是：第96頁/共131頁

討論：如果約束條件無效，RSSR

與RSSU的差異較大，計算的F值也較大。

于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。注意，kU-kR恰為約束條件的個數(shù)。第97頁/共131頁

例3.6.1

中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性檢驗：

無約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3

受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2

樣本容量n=14，約束條件個數(shù)kU-kR=3-2=1第98頁/共131頁取=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。這里的F檢驗適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗如：多元回歸中對方程總體線性性的F檢驗：

H0：j=0j=1,2,…,k第99頁/共131頁這里：受約束回歸模型為這里，運用了ESSR

＝0。第100頁/共131頁二、對回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：第101頁/共131頁相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計量為：

Ｆ統(tǒng)計量的另一個等價式第102頁/共131頁

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較??；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較大。因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：第103頁/共131頁三、參數(shù)的穩(wěn)定性1、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗

建立模型時往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變，這將提高模型的預(yù)測與分析功能。如何檢驗？

假設(shè)需要建立的模型為在兩個連續(xù)的時間序列（1,2,…，n1）與（n1+1,…，n1+n2）中，相應(yīng)的模型分別為：第104頁/共131頁

合并兩個時間序列為(1,2,…，n1

，n1+1,…，n1+n2)，則可寫出如下無約束回歸模型

如果=，表示沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對如下假設(shè)進行檢驗：

H0:=(*)式施加上述約束后變換為受約束回歸模型(*)（**）第105頁/共131頁因此，檢驗的F統(tǒng)計量為：

記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證，于是第106頁/共131頁參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟：

（1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方：RSS1與RSS2

（2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR

第107頁/共131頁

（3）計算F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較：

若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。該檢驗也被稱為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（Chowtestforparameterstability）。第108頁/共131頁2、鄒氏預(yù)測檢驗

上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求n2>k。如果出現(xiàn)n2<k

，則往往進行如下的鄒氏預(yù)測檢驗（Chowtestforpredictivefailure）。

鄒氏預(yù)測檢驗的基本思想:

先用前一時間段n1個樣本估計原模型，再用估計出的參數(shù)進行后一時間段n2個樣本的預(yù)測。第109頁/共131頁

如果預(yù)測誤差較大，則說明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說明參數(shù)是穩(wěn)定的。

分別以、表示第一與第二時間段的參數(shù)，則:其中，(*)第110頁/共131頁

如果

=0，則

=，表明參數(shù)在估計期與預(yù)測期相同(*)的矩陣式：

可見，用前n1個樣本估計可得前k個參數(shù)的估計，而是用后n2個樣本測算的預(yù)測誤差X2(-)(**)第111頁/共131頁如果參數(shù)沒有發(fā)生變化，則=0，矩陣式簡化為(***)（***）式與（**）式第112頁/共131頁這里：KU-KR=n2RSSU=RSS1

分別可看成受約束與無約束回歸模型，于是有如下F檢驗：第113頁/共131頁

第一步，在兩時間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR

；

第二步，對前一時間段的n1個子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1

；

第三步，計算檢驗的F統(tǒng)計量，做出判斷：鄒氏預(yù)測檢驗步驟：

給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(n2,n1-k-1)，如果

F>F(n2,n1-k-1)

，則拒絕原假設(shè)，認為預(yù)測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。第114頁/共131頁

例3.6.2

中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。

1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗1981~1994：RSS1=0.003240

1995~2001：

(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)

第115頁/共131頁1981~2001:

(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)給定=5%，查表得臨界值F0.05(4,13)=3.18第116頁/共131頁

結(jié)論：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。

2、鄒氏預(yù)測檢驗給定=5%，查表得臨界值F0.05(7,10)=3.18

結(jié)論：

F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)

第117頁/共131頁*四、非線性約束

也可對模型參數(shù)施加非線性約束,如對模型

施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型:

第118頁/共131頁

該模型必須采用非線性最小二乘法（nonlinearleastsquares）進行估計。

非線性約束檢驗是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗.第119頁/共131頁1、最大似然比檢驗

(likelihoodratiotest,LR)

估計:無約束回歸模型與受約束回歸模型，

方法:最大似然法，

檢驗:兩個似然函數(shù)的值