主講：程龍生南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院管理科學(xué)與工程系cheng_longsheng@163.com025–8430401113815873482Ch3線性規(guī)劃的靈敏度分析

和解答的意義

本章安排如下：靈敏度分析簡介圖解靈敏度分析靈敏度分析的計算機(jī)求解多系數(shù)同時變化

3.1靈敏度分析簡介

靈敏度分析是研究當(dāng)一個線性規(guī)劃問題中的系數(shù)發(fā)生變化時，函數(shù)最優(yōu)解受影響的程度。

因此借助靈敏度分析，我們可以知道：

（1）如果目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生了變化，對最優(yōu)解所產(chǎn)生的影響

（2）如果改變約束條件右邊的值，對最優(yōu)解產(chǎn)生的影響

靈敏度分析是研究系數(shù)的改變對最優(yōu)解的影響，所以必須首先計算出原線性規(guī)劃的答案，也因此靈敏度分析又稱為后最優(yōu)分析靈敏度分析對于一個經(jīng)營者必須在動態(tài)環(huán)境中對系數(shù)進(jìn)行不精確估計具有很重要的作用。3.2圖解靈敏度分析

對于雙變量的線性規(guī)劃問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)或約束條件右邊的值變化時，可用圖解法進(jìn)行靈敏度分析

以第二章的例1為例，我們分析目標(biāo)系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，目標(biāo)函數(shù)的值不變3.2.1目標(biāo)函數(shù)系數(shù)

第二章例1的可行域和目標(biāo)函數(shù)可行域直線B（與成型約束條件重合）1S+2/3D=708目標(biāo)函數(shù)線10S+9D直線A(與切割印染約束直線重合）7/10S+1D=630可行域目標(biāo)函數(shù)線只要在區(qū)域范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)，極點(diǎn)（3）依然是最優(yōu)解直線B的斜率≤目標(biāo)函數(shù)的斜率≤直線A的斜率直線B直線A目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)直線A：（與切割印染約束直線重合）7/10S+1D=630其斜截式為：D＝-7/10S+630直線B：（與成型約束直線重合）1S+2/3D=708其斜截式為：D=-3/2

記為標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤，為高檔袋的利潤，則目標(biāo)函數(shù)寫作其斜截式為：故

直線B的斜率≤目標(biāo)函數(shù)的斜率≤直線A的斜率計算目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化范圍計算標(biāo)準(zhǔn)袋利潤的最優(yōu)范圍：

假設(shè)高檔袋利潤,代入公式，得到解此不等式，我們得到標(biāo)準(zhǔn)袋利潤的最優(yōu)范圍：同理，假定標(biāo)準(zhǔn)袋利潤不變，即可得出高檔袋利潤的最優(yōu)范圍：

注：畫函數(shù)線的方法，只適用于單一目標(biāo)函數(shù)系數(shù)改變的情況

3.2.2約束條件右邊值的變化

以第二章的例1為例，假設(shè)它的第一個約束條件切割印染的右側(cè)值從630變化到640，寫作：7/10S+1D≤640,如圖所示：

7/10S+1D=640新的可行域最優(yōu)解（S=527.50D=270.75)）新的最優(yōu)解S=527.5,D=270.75新的目標(biāo)函數(shù)值10×527.5＋9×270.75＝7711.75利潤的增量為7711.75－7668＝43.75因此利潤的增加率為43.75/10＝4.375即每增加一小時，利潤增加4.375這就是對偶價格的定義：——約束條件右側(cè)每增加一個單位導(dǎo)致的最優(yōu)解的增加量。注：對偶價格只適用于約束條件右側(cè)值變化比較小的情況3.3靈敏度分析的計算機(jī)求解對第二章的例1，使用ManagementScientist進(jìn)行敏感分析，結(jié)果如下

在取近似解之后，我們得到最優(yōu)解S=540,D=252;目標(biāo)函數(shù)值是7668?？s減費(fèi)用均為0（因為兩個變量的值均為正數(shù)）縮減費(fèi)用：如果使目標(biāo)函數(shù)變量值為正，目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)應(yīng)該提高的值束縛性的約束條件（1，3），約束條件2、4各有120、18的松弛，這個模型中的松弛也稱為未使用的生產(chǎn)能力。

對偶價格：約束條件1、3的對偶價格說明1、3右側(cè)值每增加一個單位，目標(biāo)函數(shù)的值就會分別增加4.375、6.936；約束條件2、4都有松弛，對偶價格為0，即使增加也不會提高目標(biāo)函數(shù)的值。

第一個變量S的變化范圍（6.30，13.50），即只要高檔袋的利潤在6.30～13.50，產(chǎn)量S=540,D=252就仍然是最優(yōu)解第二個變量D的變化范圍（6.67，14.29），即只要標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤在6.64～14.29，產(chǎn)量S=540,D=252就仍然是最優(yōu)解

這部分是對偶價格的適用范圍。只要約束條件的右側(cè)值在系統(tǒng)給出的上限與下限之間，就可以通過對偶變量來計算增加約束條件右側(cè)的值對模型最優(yōu)解的值影響。3.3.2多系數(shù)同時變化前面講的靈敏度分析方面的信息是針對單系數(shù)變化的情況。對于多系數(shù)改變的問題，可用百分之百定理

定義兩個詞組：

可行增加：在單系數(shù)容許范圍中，上限與當(dāng)前值的差。

可行減少：在單系數(shù)容許范圍中，當(dāng)前值與下限的差?？梢姷谝粋€變量S的上限是13.49993，因此，可行增加是3.49993＝13.49993－10，現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤增加到11.50，增加了（從10增加到11.50）1.50。實際增加占可行增加的比例：（1.50/3.49993）×100＝42.86％；同理，D的下限6.66670，可行減少2.33330＝9-6.66670。按百分率的觀點(diǎn)，高檔袋的利潤減少了0.75，占可行減少的（0.75/2.33330）×100＝32.14％目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的百分之百定理對于所有變化的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)，求其占可行增加和可行減少的百分率的絕對值的和，如果和沒有超過100％，則最優(yōu)解不變約束條件右側(cè)值的百分之百定理對于所有變化的約束條件的右側(cè)的值，求這些值占可行增加和可行減少的百分率的絕對值的和，如果和沒有超過100％，則對偶價格不變3.3.3對偶價格的深入理解先引入兩個名詞：

相關(guān)成本：一個由決策變量資源的變化而影響的資源成本

沉沒成本：不考慮決策變量的資源數(shù)量而必須被支付的資源成本相關(guān)成本都必須在目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)中反映出來，沉沒成本不受目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)影響資源成本是沉沒的對偶價格是你想為額外增加一個單位資源而樂意付出的最大量資源成本是相關(guān)的

對偶價格是你想為一個單位資源在正常的成本上樂意再增加的最大額外數(shù)量。3.4當(dāng)決策變量多于兩個的時候3.4.1對第二章的例1進(jìn)行修改假設(shè)該公司準(zhǔn)備增加生產(chǎn)一種小型袋，每個小型袋需要0.8小時進(jìn)行切割印染，1小時縫合，1小時成型，0.25檢驗和包裝，每個小型袋的利潤可達(dá)12.85增加決策變量：小型袋的數(shù)量為L，模型修改如下

最大化：10S+9D+12.85L

約束條件0.75S+1D+0.8L≤6300.5S+0.83333D+1L≤6001S+0.66667D+1L≤7080.1S+0.25D+0.25L≤135S,D,L≥0計算機(jī)輸出結(jié)果D的縮減費(fèi)用是1.15003也就是說：高檔袋的費(fèi)用增加1.15003后，D在最優(yōu)解時的值就不會是0了縮減費(fèi)用：使得變量為正數(shù)時，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的增加量（1）假設(shè)將D的系數(shù)增加1.15003，結(jié)果為：（2）增加約束條件：D≥0.3S表示將高檔袋的產(chǎn)量由原來的30％提高1個單位，總利潤將減少1.38（3）增加兩個約束條件：D≥0.3S;L≤0.2(S+D+L)在現(xiàn)有20％的基礎(chǔ)上每增加1單位產(chǎn)量，目標(biāo)函數(shù)的值增加0.89。同時這種只適用于約束值不超過1563.4.2牧草農(nóng)場問題這節(jié)我們舉一個三變量的最小化問題：

牧草農(nóng)場正在試驗一種新的賽馬食品。賽馬食品有以下三種，有普通飼料、富含維生素的燕麥飼料和一種新的含維生素和礦物質(zhì)的食品添加劑飼料。這些高營養(yǎng)食品的各組成要素的營養(yǎng)值和成本值如圖所示一匹馬一天的最小進(jìn)食量3單位A，6單位B，4單位C。為了保持馬的體型，總攝入量不可以超過6磅。農(nóng)場希望找到一種飼料組合，可以滿足馬的一天營養(yǎng)，又可以使總成本最低飼料成分普通飼料高營養(yǎng)燕麥飼料添加劑A成分B成分1.01.53.0C成分每磅成本美元0.250.503.00對此問題建模定義三個決策變量：S＝普通飼料的量E＝高營養(yǎng)燕麥的量A＝飼料添加劑的量成本最小的目標(biāo)函數(shù)：

最小化：0.25S+0.50E+3A

約束條件0.8S+0.2E≥3A成分1.0S+1.5E+3.0A≥6B成分0.1S+0.6E+2.0A≥4C成分S+E+A≤6總量S,E,A≥0計算機(jī)求解及解的說明對偶價格為負(fù)，說明相應(yīng)的增加會對目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生消極影響，對于最小化問題，消極意味著成本增加最優(yōu)解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化范圍對偶價格的適用范圍3.5電子通信公司問題電子通信公司生產(chǎn)雙向便攜式無線電話機(jī)，公司開發(fā)了一種新的產(chǎn)品，通信范圍覆蓋25英里，適合企業(yè)和個人使用。新產(chǎn)品的分銷渠道是；1.航海器材經(jīng)銷店。2.商用器材經(jīng)銷店。3.全國范圍的連鎖零售商店4.直接郵購因為分銷和促銷的價格不同，產(chǎn)品的利潤也因銷售渠道而異。此外廣告成本也因渠道的不通有所差異，分銷渠道單位銷售利潤單位廣告成本單位銷售時間航海分銷店90102商業(yè)分銷店8483全國連鎖店7093直接郵購6015無公司的廣告預(yù)算是5000美元，每個分銷點(diǎn)的最大銷售時間是1800。管理層決定現(xiàn)階段大約制造600件產(chǎn)品。還有一點(diǎn)，全國連鎖零售商店要求最少有150件產(chǎn)品在這個渠道內(nèi)銷售。

目標(biāo)：銷售利潤最大。（合理分配各渠道的銷售量、銷售時間以及廣告預(yù)算）3.5.1建模定義四個決策變量：M＝通過航海器材分銷店銷售的產(chǎn)品的數(shù)量B＝通過商用器材分銷店銷售的產(chǎn)品的數(shù)量R＝通過全國范圍的連鎖零售商店銷售的產(chǎn)品數(shù)量D＝通過直接郵購銷售的產(chǎn)品數(shù)量目標(biāo)：利潤最大化90M+84B+70R+60D

約束條件(廣告預(yù)算、銷售總時間、生產(chǎn)能力、連鎖零售店的限制)10M+8B+9R+15D≤50002M+3B+3R≤1800