2007高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進(jìn)行編號賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號評閱編號（ 評閱前進(jìn)行編號中國的人口問題是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因一，本文通過分析中國的實(shí)際情況和首先進(jìn)行數(shù)據(jù)搜集挖掘與整理將1949-2005年的口信息進(jìn)行完善然分別總?cè)丝谶M(jìn)行中短期預(yù)測和長期預(yù)測對于中短期預(yù)測由于宋健人口預(yù)測（模型ⅠG（11型并對2006-2015年口預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了比較分析發(fā)現(xiàn)兩種模型的預(yù)測結(jié)果GM（1，1）mGM（1，1）模型進(jìn)行了基于小m灰色預(yù)測模型（模型Ⅱ201513.75～13.79在進(jìn)行長期預(yù)測時，首先建立了適合于長期預(yù)測的Logistic模型（模型Ⅲ，并提Bertalanffy（模型Ⅳ。根據(jù)預(yù)測結(jié)果，Bertalanffy準(zhǔn)差和相對誤差平均值均比Logistic模型小，且預(yù)測的精度等級更高，根據(jù)其預(yù)測結(jié)205515.004～15.119Ⅴ，建立了方程的人口控制模型（模型Ⅵ，通過比較不同率的人口預(yù)測，發(fā)現(xiàn)過小時，人口峰值較小，但人口化速度加快，將一系列的社會問題；當(dāng)過大時，人口峰值較大且連續(xù)多年居高不下，不符合我國國策和可持續(xù)發(fā)展，(1.4,1.6)時較為符合我國國情，大2025年口達(dá)到峰值為14億左右。、后利用改進(jìn)的萊斯利模型對人口指標(biāo)如人口總數(shù)、人口結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)等進(jìn)行預(yù)測分析，得到了這些人口指標(biāo)的預(yù)測值，并用EXCEL作出了人口結(jié)構(gòu)結(jié)、關(guān)鍵字：宋健人口預(yù)測模型基于小m殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模Logistic模型Bertalanffy型改進(jìn)萊斯利模型基于人口發(fā)展方程的人口一、問題重近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長。2007發(fā)布的《國家人口發(fā)展》(附錄1)還做出了進(jìn)一步的分析。關(guān)于口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2是從《中國附錄1《國家人口發(fā) 附錄2：人口數(shù)據(jù) 口統(tǒng)計年鑒》中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說明⑴建 口增長的數(shù)學(xué)模型 二、問題分（‰ 文獻(xiàn)[1]和《中計年鑒（1991-2005）等，將數(shù)據(jù)擴(kuò)充為1949-2005年的 2LogisticLogisticLogisticBertalanffy灰色系統(tǒng)預(yù)測法是指多個因素組成的系統(tǒng)發(fā)展變化的預(yù)測,是指系統(tǒng)中含有可用GM(1,N)GM(1,1)GM(1N)綜合考慮各種預(yù)測方法的優(yōu)缺點(diǎn)，嘗試建立宋健人口預(yù)測模型、基于小m法殘差修正的基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型、Bertalanffy模型、改進(jìn)的萊斯利模型等來實(shí)現(xiàn)人口增長的中短期和長期趨勢預(yù)測、分析口各項指標(biāo)等。三、模型假不考慮國 政策、自然等對人口增長的影響人們 觀念基本不變四、符號說t：預(yù)測年期N(t：預(yù)測年（第t年）N(0)u0：基期年的人口出生率u0：相對于基期年的出生率的變化率D0：基期年的人口總數(shù)C：ps1s2：預(yù)測值、誤差值的方差五、模型的建立與求出未來的人口發(fā)展趨勢，所以，首先根據(jù)題目中附錄2的數(shù)據(jù)和查找《中計年鑒人口預(yù)（一）短期預(yù)模型Ⅰ：宋健人口預(yù)測模資料中查到，這是制約宋健人口預(yù)測模型的關(guān)鍵因素。而附錄2中人口數(shù)據(jù)《組人口狀態(tài)遞推公式[2來描述：t(t)hi(t)ki(t)xi

x0(t)(1u00(t))x1(t1)(1u0(t))x0(t)f0x2(t1)(1u1(t))x1(t)xm(t1)(1um1(t))xm1(t)

對于總?cè)丝陬A(yù)測模型，若不考慮人口擾動項f0（即機(jī)械增長）的影響，其預(yù)測公[3]可表達(dá)為N(t)N(0)N(0)eu0u0t

uN(0)

tN(t是預(yù)測年（第t年）N(0)

u0是相對于基期年的出生率的變化率，D0基于以上所建立的宋健人口預(yù)測模型，只要知道第t年的出生率與基期年的人口總數(shù)就可以對第t年的人口總數(shù)進(jìn)行預(yù)測，而基期年的人口數(shù)又可以《從中計年鑒》建模之前以2000年為基期年，通過宋健人口預(yù)測模型預(yù)測2001-2005的數(shù)據(jù)，通過比較預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際值的誤差，并對計算均方差比值Cp的大小Cs2ssppPe0ke0.6745ss s1用6.5求解的結(jié)果如下表1所12001-2005相對誤差均方差比值0122：精度檢驗(yàn)等級參照表相對誤差均方差比值根據(jù)6.5的運(yùn)行結(jié)果，相對誤差k<0.01,均方差比值C<0.35,小誤差概率p>0.95,所以宋健人口預(yù)測模型對2001-2005年中國總?cè)丝诘念A(yù)測精度為一級，預(yù)測20052006-201533：2005-2015預(yù)測總?cè)丝冢ㄈf根據(jù)宋健人口預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果，2006-2010年這五，口總數(shù)將緩慢增長，到2015年，口將達(dá)到13.75億。這與中國實(shí)行政策和人民生活水模型Ⅱ：基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模況。灰色預(yù)測法用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。GM（1，1）設(shè)有k個原始非負(fù)樣本序列x(0){x(0) x(0) x(0)(k)}為揭示系統(tǒng)的客規(guī)律,在建模前灰色系統(tǒng)理論采用了獨(dú)特的數(shù)據(jù)預(yù)處理方式,對序列x(0)(k)進(jìn)行一階1-AGOk x(1)kx(0) (k

x(1)(k){x(1)

x(1)

x(1)

據(jù)此建立關(guān)于x(1)(k)的一階線性白化微分方程dx(1)

ax(1)

利用最小二乘法求解參數(shù) u為

1ua(Bu

B

1(x(1)(1)x(1) 22B

1(x(1)(2)x(1) 11(x(1)(n1)x(1) 1 NYx(0)N

x(1)

x(0)x(1)的灰色預(yù)測GM（1，1）模型 u x1k1

ek

k0,

a x0k1x1k1x1k,

k0,

GM（1，1）⑴求出x0k與x0k之殘差ek、相對誤差k和平均相對誤差ek

kx0k

kekek in1nkkx，殘差平均值ex1nk

x0k

e1n1

e0k⑶求出原始數(shù)據(jù)方差s2與殘差方差s2的均方差比值Cp 1 1 1

x0kxnk

s2

n

2e0k 2k

C21pPe0ke0.6745s1通常ek、k、Cpm定義序列0l定義l時刻原始x0l與預(yù)測x0l之差，稱l時刻的殘差，記為0lx0lx0l,對0l作如下處理，,

0l0l

作新序列0l，令0l0l l1, ,N，則不論序列0l為種形式，恒有0l0，且1l是遞增的，這是微分模型可以表達(dá)的對序列1l建立GM（1，1）模d1

式中 b是為建立GM需要確定的參數(shù)，1是0的累加k1k0i 令aBBBYN 1121 122B

211312, 1211N1N 1 Y02,0 ,0N 確定x0l的新的預(yù)測由上面確定的參數(shù)a，可以確定微分方d1

令初值01，則響應(yīng)函數(shù)1t01beat a bak 1k

aa

k a

這樣得到了l的 列0l在此基礎(chǔ)上作新的 列x0i, x0i,10ix0i, 0i0i

i i

x0i,1就是x0i經(jīng)修正以后的 列 基于小m[6]中最早的一個數(shù)據(jù)以保證在序列維數(shù)不變的前提下樣本數(shù)據(jù)中始終含有的數(shù)用這種處理方法使預(yù)測模型得到了有效修正，其預(yù)測精度得到了明顯的提高。以1949-2005年的中國總?cè)丝冢▎挝唬喝f）為原始非負(fù)樣本序列，依據(jù)以上所建立的GM（1，1）模型和基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型，對于基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型，通過比較59維，可知 于小m法殘差修56.5201541991-2015（萬（萬差k比值（萬差k比值p0101----上表列出了GM（1，1）模型和基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果和衡量預(yù)測精度的幾項指標(biāo)，由上表可以看出，GM（1，1）2015總?cè)丝趯⑦_(dá)到13.795億，而基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型的預(yù)測值為測模型的精度水平幾乎一樣，根據(jù)精度檢驗(yàn)等級參照表（見表1.2兩個模型的精度等級都是一級，且等維遞補(bǔ)的每次預(yù)測均方差比值Cpm測模型的預(yù)測精度更高。用6.5編程擬合出的總?cè)丝趯?shí)際值與預(yù)測值擬合曲線如下圖示圖1：也從另一個角度反映了GM（1，1）模型和基于小m法殘差修正的等維遞補(bǔ)灰色預(yù)測模型表5（二）長期預(yù)模型Ⅲ：Bertalanffy模模型建立——Logistic著名的預(yù)測專家Martino在《技術(shù)預(yù)測》中：Logistic曲線和Gompertz曲線這（或長期預(yù)測(1)(2)它比使用直觀的LogisticLogisticdyby1y

L 其中b相當(dāng)于y=0時的增長率,稱固有增長率，y表示極限容量(在生態(tài)學(xué)中)或飽和平（描述技術(shù)擴(kuò)散時）；1ydy~y L yL處達(dá)到最大值。y～t是一條S2yL處，當(dāng)t→∞時，y→L2模型改進(jìn)——Bertalanffy對Logistic模型作推廣，其中最重要的當(dāng)屬世界人口增長模型[7]dy 1 yA1exp 0yk

L修正的非對稱響應(yīng)Logistic yLby L

(

和Bertalanffy ydtby1L

(

其中L（在生態(tài)學(xué)中）或飽和水平（在描述技術(shù)擴(kuò)散時Logistic式（3.1）0yt0

(L10這里的y為t0時的y值1 yL故令Y 可L y ydtbL

1L

bY1Y

L

L從而有yt

1 (

y0

yL即Bertalanffy模型可看成是進(jìn)行尺度變換Y L

后，以Y1Logistic3.4LLy 1expbty L

y令Y y

1，則有l(wèi)nYln于是，當(dāng)b，它們顯然與有關(guān)，故和bb 由于lnYilnbtii (i 故應(yīng)使s2lnYlnbt

極小化，即求*i

is*

minS，此處 是關(guān)于的預(yù)估計值的上下界 飽和水平L此時，可直接從式（3.5） Lyi 1i (i0, L

S(L,,b,)2

y

i

i0

12005，LogisticBertalanffy表6：LogisticBertalanffy口（萬Bertalanffy差差表中數(shù)據(jù)可以看出Logistic模型和Bertalanffy模型的預(yù)測值與實(shí)際值偏差均比較小，但Bertalanffy模型的標(biāo)準(zhǔn)差和相對誤差平均值均比Logistic模型小，這說明BertalanffyLogistic圖2：1981-2005 口實(shí)際值與預(yù)測值擬合曲Bertalanffy圖3：BertalanffyLogistic模型與Bertalanffy模型相比線的幾何直觀上看后者預(yù)測曲線與實(shí)測值的重合程度大，后者預(yù)測結(jié)果好于前者。所以利用Bertalanffy模型計算出的人Bertalanffy205515.004人口控制與指標(biāo)分以上這些模型得出的人口數(shù)量預(yù)測對于制定人口政策和人口規(guī)劃只能起到引導(dǎo)作測。因此又建立了基于人口發(fā)展方程的人口控制模型。1pr, tpr, tu

tp

tfr, t

pr, 0

r p

ttutNt22t(t)hi(t)ki(t)xix0(t)(1u00(t))x1(t1)(1u0(t))x0(t)f0x2(t1)(1u1(t))x1(t)

xm(t1)(1um1(t))xm1(t)x(t1)Htxt(t)BtxtFt

其中x(t)x x

x F(t)f0 f1

以年為組劃分組，令最 為m，設(shè)第t年滿i足歲不到i+1足歲的人數(shù)xit，記dit為第t年 組 率，因此xi1t11ditxit

i0,

m

t0, 令bit為i組婦女在t年的 時的女性人口比率，則第t年出生人口為2i2pitbitkitxit設(shè)d00t為第t年嬰兒出 率，x0t1d00tpit

i2為婦女的育齡期kiti組中t則有x1t11d00t1d0tbitkitxit若將bit分解為bitthit，其中hit 模式，成立hit2i2而tbit表示第t年每個育齡婦女平 嬰兒數(shù)i令bt1dt1dthtkt，i xt1tb'txt 分別令x(t)x x x(t)T 1d1t At

1d2t

1dm1t r2r2

b't

b't

Bt 那么有xt1AtxttBtxt在社會穩(wěn)定的前提下 率都比較穩(wěn)定，從而可以視At

Bt為常矩陣 B，上式化xt1AxttBxt對于率函數(shù)，采用改進(jìn)的萊斯利模型對其進(jìn)行分段預(yù)測，考慮到率與社會生活、醫(yī)療水平的聯(lián)系非常大，而且總體呈遞減趨勢但應(yīng)有極限態(tài)，的重點(diǎn)是在給定t用附錄2中的數(shù)據(jù)和《中計年鑒（1991-2006）中的補(bǔ)充數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，6.57：根據(jù)改進(jìn)的萊斯利模型不同（萬（萬（萬（萬（萬（萬（萬67890123450505800536045559664圖41.0是不可能的，那么對于1.2或1.4或1.8，也就是當(dāng)我國主體上堅持執(zhí)行政策對大多數(shù)人特別是農(nóng)村人口實(shí)行一胎政（因?yàn)檗r(nóng)村人口占了八億多是我國人口的大多數(shù)而且由于我國的傳統(tǒng)習(xí)俗認(rèn)為生兒子為了養(yǎng)老生女兒是為他人做嫁衣若是超生現(xiàn)象在農(nóng)村比較嚴(yán)重則口增長量將是非常巨大的而且農(nóng)村人口也是我國人口增長的主要部分)，但對少數(shù)民族以及一些特殊情況的人群可以允許二胎并且由于雙胞胎或者是多胞胎的可能所以取1到2之間是比較吻合我國現(xiàn)在的人口政策和人口實(shí)際情況的從選取的個值進(jìn)行計算的結(jié)果來分析人口在15到25年后會增長到最高點(diǎn)，隨后慢慢下降，這些表明我國的人口在短期到中期的十幾年內(nèi)還是在增長說明我國的人口形勢還較嚴(yán)峻的如果取消 的政策全面允許一對夫婦生兩胎或兩胎以上人口就會增長對于我國現(xiàn)在 重負(fù)的土地資源水資源、森林資源、礦產(chǎn)資源等等，以及嚴(yán)峻的就業(yè)、L作形勢是個極其嚴(yán)重的考驗(yàn)，說不定很快就會超過我國的自然資源和社會資源所能承受的能力激發(fā)乃至造成社會不安因此我國的政策在近二三十年內(nèi)使應(yīng)該繼續(xù)堅持而不應(yīng)該取消。當(dāng)然從上面的數(shù)據(jù)也可以看出，我國現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入社會化“社會化”是指一個社會的老年人數(shù)在總?cè)丝谥姓加幸欢ū壤?。?guī)定，如果一個國家60歲及以上人口占社會總?cè)丝诘?0%或65歲及以上人口占7%均可被認(rèn)為進(jìn)入化社會化程度越來越嚴(yán)重。這個結(jié)果與口年報、中新社、華聲報、科技日報、人民日報等的快速進(jìn)入了社會化的事實(shí)相符，而且隨著時間的推移社會老20206510%。據(jù)、、等一些比較發(fā)達(dá)的城市，老年人占的越來越大，老年化的問題給予重視，對出現(xiàn)的問題及時給予解決。故而針對一些比較發(fā)達(dá)城市的化得出結(jié)果的分析來看，當(dāng)越大時，化的程度增長的越慢，這樣有助于延緩化口的發(fā)展趨勢,決策通過改進(jìn)的萊斯利模型可以對未來任一年的人口在各個的人數(shù)，下面舉2020段20101092020109男女男女0-段20101092020109男女男女0-5-10-15-20-25-30-35-40-45-50-55-60-65-70-75-80-85-20102020101.97（其中女性為100利用模型求得的數(shù)據(jù)EXCEL做出20102020年的人口金字圖5：20102020-- 年--通過該模型用6.5編程還能求出 年的老年撫養(yǎng)比分別0.1203，0.2087，0.1573、0.1126因此當(dāng)為2時我國在2010年人口將達(dá)到13.5379億人其中人占1.6245101.970.12030.15732020年人口將達(dá)到14.3378億人，其中人占2.9617億人，較2010年有較大提高，且男我國人口老年人的比例上升，因此老年撫養(yǎng)率上升；而由于對人口的控制，使得我國率基本保持不變，因此少年撫養(yǎng)率有所下降，這也與人的觀念的改變有六、模型每當(dāng)預(yù)測出一個新值時，把它加入到樣本序列之后同時去掉樣本序列中最早的一個數(shù)據(jù)以保證在序列維數(shù)不變的前提下樣本據(jù)中始終含有的數(shù)據(jù)信息然后據(jù)時根據(jù)的數(shù)據(jù)對原序列進(jìn)行預(yù)測更能反應(yīng)序列的一般規(guī)律且該模型在進(jìn)行殘修正時采用了小m法殘差修提高了修正的精度減少了預(yù)測誤差大大減小了預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，使模型更具有適用性。BertalanfyLogistic夠的歷史數(shù)據(jù)來確定方程中的參數(shù)估計值而這些估計值在統(tǒng)計中作用十分顯著時更是BertalanffyLogistic的人口預(yù)測，尋求適七、模型推⑴基于小m⑷由于人們的觀念隨著時間的推移有所變化，因此模式是一個隨著時間變化的函數(shù)，在進(jìn)行萊斯利改進(jìn)模型預(yù)測時，可以對人們的觀念，得出人們的觀念，由此分析出對模式的影響，進(jìn)而進(jìn)行預(yù)測。八、參考文中計局口信息網(wǎng) /tjsj/tjsj_cy_1.asp，2007年923宋健，于景元，人口控制論，：科學(xué)，1985宋健等，人口預(yù)測與人口控制，：人民，1980湯江龍，，土地利用規(guī)劃中人口預(yù)測模型的比較研究，中地科學(xué)，192；2005。，等，數(shù)學(xué)模型，：復(fù)旦，20061612007孟亮，高亮，Bertalanffy213；2004，黨耀國，預(yù)測方法與技術(shù)，：高等教育,2005姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)模型（第三版 ：高等教 ，2006九、附下列程序均是用編寫實(shí)現(xiàn) %%%%到1951+b1n=b1- %%%%從1951+a1年開 長度是b1-fory(i-x1(i)=x1(i-b(i-1,1:2)=[-0.5.*(x1(i-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k- e=x0-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1fprintf('均差比為 %%%%到1951+b1 %%%%從1951+a1年開始 長度是b1-a1+1=nwhile%%%%fory(i1-x1(i1)=x1(i1-b(i1-1,1:2)=[-0.5*(x1(i1-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k- forqy(i11-q1(i11)=q1(i11-qb(i11-1,1:2)=[-0.5*(q1(i11-fork=1:n+1ifk==1q01(k)=q11(k)-q11(k- %%%% e=x0-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1forii=1:n-1 saveccwhilei>=1&i<=10fory(i1-x1(i1)=x1(i1-b(i1-1,1:2)=[-0.5.*(x1(i1-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k-forii=1:n-1 %%%%whileformat fort=1:10n(t)=n0+n0*(exp(csl(t)*t)-1)*(1-loadcforshice(t)=n2000+n2000*(exp(csl(t)*t)-1)*(1-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1logisticformatx=[98705100072101654103008104357105851107507109300111026114333115823117171118517119850121121122389123626124761125786127627128453129227129988130756];holdon;holdoff;disp('20062055forxi=c(1)./(1+(c(1)./98705-1).*exp(-c(2).*(ti-e(ti-1979)=abs(xi-x(ti- ei(ti-1979)=e(ti-1979)./x(ti- logisticBertalanffyformatx=[98705100072101654103008104357105851107507109300111026114333115823117171118517119850121121122389123626124761125786127627128453129227129988130756];fun=inline('c(1)./(1+((c(1)/98705).^c(3)-

holdon;holdoff;disp('20062055forxii=c(1)./(1+((c(1