數(shù)字高程模型主講：嚴(yán)勇Chapter6InterpolationTechniquesforterrainsurfacemodellingContents6.1內(nèi)插方法的分類6.2整體內(nèi)插

6.3分塊內(nèi)插

6.4逐點(diǎn)內(nèi)插法

6.5一些例子介紹

根據(jù)若干相鄰參考點(diǎn)的高程求出待定點(diǎn)上的高程值。

內(nèi)插前提假設(shè)原始地形起伏變化是連續(xù)并且光滑鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)間有很大相關(guān)性。

DEM內(nèi)插6.1內(nèi)插方法的分類Interpolationisinvolvedinthevariousstagesofthemodelingprocesssuchas

qualitycontrolsurfacereconstructionaccuracyassessmentterrainanalysisandapplications

ImportanceDEM內(nèi)插分類方法二維插值（exactfitting

）：曲面通過內(nèi)插范圍的全部參考點(diǎn)。曲面擬合（bestfitting

）：曲面不要求通過全部參考點(diǎn)，但要遵從最小二乘法則，即擬合面相對于已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的高差的平方和最小。6.2整體內(nèi)插多項(xiàng)式函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式：整體函數(shù)法內(nèi)插優(yōu)點(diǎn)：整個區(qū)域上函數(shù)的唯一性能得到全局光滑連續(xù)的DEM

充分反映宏觀地形特征保凸性較差。當(dāng)?shù)孛矎?fù)雜時，用高次多項(xiàng)式來描述，參考點(diǎn)間會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。不易得到穩(wěn)定的數(shù)值解。參考點(diǎn)測量誤差、計(jì)算的舍入誤差、數(shù)據(jù)采樣誤差引起。參考《計(jì)算方法》

多項(xiàng)式系數(shù)物理意義不明顯。H＝ax+by+c

解算速度慢且對計(jì)算機(jī)容量要求較高。不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征。缺點(diǎn)：6.2分塊內(nèi)插Interpolationapproaches

Bythesizeoftheareaforinterpolation,two

approachesareidentified:

area-basedpoint-based

Area-based

interpolation

Thesurfaceisconstructedbyusingallthereference(known)pointswithinthisareaandtheheightofanypointwithinthisareacanbedeterminedbyusingthisconstructedsurface

ItcouldbeeitherglobalorlocalPointwiseinterpolation

6.3.1Simplelinearinterpolation線性內(nèi)插函數(shù)形式：若方陣可逆，則該方陣的行列式不為零。三個參考點(diǎn)不在一條直線上。若三個參考點(diǎn)趨近于一條直線時，采用雙線性內(nèi)插方法。

Morepracticalbilinearinterpolation

algorithmintriangle點(diǎn)l，r分別位于直線AB和AC上。使用最靠近插值點(diǎn)的四個已知數(shù)據(jù)點(diǎn)組成一個四邊形，進(jìn)而確定一個雙線性多項(xiàng)式來內(nèi)插待插點(diǎn)的高程。函數(shù)形式：6.3.2雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插

Bilinearinterpolation1234P如果數(shù)據(jù)參考點(diǎn)呈正方形格網(wǎng)分布1,2,3,4為正方形四個格網(wǎng)點(diǎn)，d是格網(wǎng)邊長。1234xyPd(a)Forsquaregrids Morepracticalbilinearinterpolation

algorithmingrid6.3.3二元樣條函數(shù)內(nèi)插

BilinearinterpolationAdvantagesItiswidelyusedinDTMinterpolationbecauseitissimple,intuitiveandreliableDisadvantageTheresultingsurfaceisnotsmooth二元樣條函數(shù)內(nèi)插Bicubic

splineinterpolation

以每一個方格網(wǎng)作為分塊單元，任一矩形ABCD可構(gòu)成雙三次曲面方程：

16個待定系數(shù)，須列出16個線性方程；12個方程根據(jù)下述力學(xué)條件建立：相鄰面片拼接處在x和y方向的斜率都應(yīng)保持連續(xù)；相鄰面片拼接處的扭矩連續(xù)(即二階混合導(dǎo)數(shù)連續(xù))。較簡單的方式：使用等權(quán)一階差商中數(shù)代替導(dǎo)數(shù)在ABCD矩形，已知四角點(diǎn)高程ZA、ZB、ZC、ZD，以及它們的導(dǎo)數(shù)值RA、RB、RC、RD、SA、SB、SC、SD和TA、TB、TC、TD就可建立16個方程，求解后得出曲面方程系數(shù)a1,a2,a3,…a16,代入方程，解算某一點(diǎn)的高程。

6.3.4Area-basedbestfittingofsurfaces

Oscillationofhigh-orderpolynomialsurface

參考點(diǎn)間的振蕩現(xiàn)象Least-squaresfittingofalocalsurface最小二乘法擬合

whereisthedeviationoftheithreferencepointfromthefittingsurfaceandnisthetotalnumberofreferencepoints.

ResidualsatreferencepointsondifferentsurfacesCommonlyusedfunctions

2ndorderpolynomialwherearethesixcoefficients.

Theyneedtobedeterminedbymakinguseofnreferencepoints

CommonlyusedfunctionsIftherearen(>6)referencepointsTheerrorfunctions

Simplifiedas

6.4Point-basedmovingsurfaces逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動曲面法）

以待插點(diǎn)為中心，定義一個局部函數(shù)去擬合周圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的范圍隨待插點(diǎn)位置的變化而移動。1、移動擬合法

對于每個待插的點(diǎn)，可選取其鄰近的n個數(shù)據(jù)點(diǎn)(可稱其為參考點(diǎn))擬合一多項(xiàng)式曲面。

數(shù)學(xué)表達(dá)式：當(dāng)采樣點(diǎn)不足6個時，需要擴(kuò)大取樣半徑；當(dāng)采樣點(diǎn)超過6個時，要列出n個采樣點(diǎn)的誤差（vi）方程的矩陣如下：

根據(jù)平差理論，二次曲面系數(shù)的解為：式中P為權(quán)重矩陣。可取為：

移動擬合法的關(guān)鍵問題：

如何確定待插點(diǎn)的最小鄰域范圍以保證有足夠的參考點(diǎn)；如何確定各參考點(diǎn)的權(quán)重。選擇鄰近點(diǎn)的兩個因素

動態(tài)圓半徑方法:N為總點(diǎn)數(shù)，A為總面積。

按方位取點(diǎn)法以格網(wǎng)點(diǎn)為中心把平面平均分成n個扇面，從每個扇面內(nèi)取一點(diǎn)作加權(quán)平均，克服了數(shù)據(jù)點(diǎn)偏向的缺點(diǎn)。(a)Noselectors(b)4sectors

(c)8sectors漢威Hannover大學(xué)的TASH程序使用的就是二次曲面移動內(nèi)插法。

目前，許多大型的地理信息系統(tǒng)軟件中都有專門的DEM模塊。ARC/INFO系列產(chǎn)品中的GRID、TIN模塊，GeoStar中的GeoTIN和GeoGrid模塊，MAPGIS中的DTM模塊，GeoCity中的GeoDem模塊等均可用來進(jìn)行DTM分析。此外，國際上還有一些比較著名的專門DTM軟件包。如德國慕尼黑大學(xué)的HIFI，斯圖加特大學(xué)的SCOP，漢威大學(xué)的TASH，奧地利維也納工業(yè)大學(xué)的SORA以及瑞士蘇黎士工業(yè)大學(xué)的CIP等。這些程序都擁有廣泛的DEM應(yīng)用模塊。

國內(nèi)外軟件DEM模塊由于解的穩(wěn)定性決定法方程的狀態(tài)，而法方程的狀態(tài)又與點(diǎn)位分布有關(guān)，所以當(dāng)?shù)匦纹鸱^大時，半徑R不能太大。尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)較稀疏或分布不均勻時，二次多項(xiàng)式移動內(nèi)插法容易產(chǎn)生很大的誤差。此時可以考慮采用加權(quán)平均法（移動平均法）。2、加權(quán)平均法

加權(quán)平均法是移動擬合法的特例，它是在解算待定點(diǎn)P的高程時，使用加權(quán)平均值代替誤差方程。3、Voronoi圖法

P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P3(a)Nearestneighbour(b)Averaging(C)Linearsurface(d)Curvedsurface(1)一維線性的Voronoi圖內(nèi)插

一維線性的Voronoi圖內(nèi)插：二維線性的Voronoi圖內(nèi)插：如何理解？(2)二維的Voronoi圖內(nèi)插

插入新點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)x無限接近（狄洛尼三角形頂點(diǎn)）時，兩Voronoi多邊形完全重合，即

對點(diǎn)賦全權(quán)（等于1）

若采樣點(diǎn)x逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)，伏隆諾多邊形VX與VP的相交區(qū)域以及公共邊界都將隨之縮小；不再屬于x的鄰接點(diǎn)集時，權(quán)重為0。從上述討論可以看出，權(quán)的確定是一個連續(xù)的過程，符合權(quán)函數(shù)的要求。

Discuss加權(quán)平均計(jì)算點(diǎn)x的高程插值：鄰接點(diǎn)的Voronoi多邊形與多邊形VX的相交區(qū)域記為，的高程記為

其中，VoronoidiagramTIN6.5OtherExamples

TheInverseDistanceWeighted(IDW)反距離權(quán)法：離散點(diǎn)內(nèi)插構(gòu)建DEM比較常用的方法?；舅枷胧牵河捎诘匦蔚淖韵嚓P(guān)性，較近的采樣點(diǎn)對內(nèi)插點(diǎn)的影響要大一些，故距離越近，權(quán)值越大，反之越小。Kriginginterpolation克立金法。廣泛用于GIS中的空間內(nèi)插，克立金法與最小二乘配置比較類似，也是將變量的空間變化分為趨勢、信號與誤差三個部分，采用半方差估計(jì)未采樣點(diǎn)和采樣點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而求得內(nèi)插點(diǎn)的高程。由點(diǎn)、線、面的層數(shù)據(jù)上的高程產(chǎn)生一些水文學(xué)上正確的格網(wǎng)。利用地表面的信息以及內(nèi)插過程中的約束條件，構(gòu)建特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，正確的表現(xiàn)山脊、山谷，從而地形就能得以正確顯示。ArcInfo’s

TOPOGRIDMultivariateRegularizedSplinewithTension(RST)多元有序張力樣條內(nèi)插：張力參數(shù)與濾波參數(shù)使用戶能夠協(xié)調(diào)內(nèi)插DEM的一些特點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)最好的表現(xiàn)地表面。當(dāng)濾波設(shè)為0時，