會計學1Chapt薄板彎曲實用第九章薄板彎曲問題

薄板彎曲問題屬于空間問題。其中，根據(jù)其內力及變形的特征，又提出了3個計算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點當薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板的彈性曲面。第1頁/共54頁1三個基本假定取薄板中面為xy面，z軸向下Z方向線應變極其微小，可以不計這說明在中面的任一根法線上，薄板全厚度內的所有各點都有相同的z向位移，也就等于撓度。xzyo第2頁/共54頁與z有關的應力分量遠小于其余應力分量，因而是次要的，它們引起的變形可以不計（但它們本身卻是維持平衡所必須的，不能不計）以上兩個假設說明：中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮，且成為彈性曲面(薄板中面彎曲后成為一個曲面）的法線，即直法線假設第3頁/共54頁因為不計z向正應力引起的形變，固薄板彎曲時的本構方程與薄板平面應力問題一樣第4頁/共54頁最后一個假設：薄板中面內各點都沒有平行于中面的位移第5頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

因此，中面在變形后，其線段和面積在xy面上的投影形狀保持不變。由于故最后一個假設：薄板中面內各點都沒有平行于中面的位移第6頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

(1)在薄板彎曲問題中，略去了次要應力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。

說明：第7頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

⑵薄板彎曲問題的物理方程與平面應力問題的物理方程相同。但沿板厚方向，對于平面應力問題的應力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問題的應力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。第8頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

1.試考慮在材料力學梁的彎曲問題中，是否也應用了這3個計算假定？2.在材料力學的梁彎曲問題中，采用了平面截面假設。在薄板中有否采用此假設？思考題第9頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

§9-2薄板彎曲的基本方程

本節(jié)從空間問題的基本方程出發(fā)，應用3個計算假定進行簡化，導出按位移求解薄板彎曲問題的基本方程。

薄板問題解法第10頁/共54頁1、形變分量用位移w表示對假設2結果積分，得由假設3得第11頁/共54頁由幾何方程得第12頁/共54頁2、把與x,y有關的三個應力分量用w表示把本構方程代入得到此，應力與應變分量有何規(guī)律？第13頁/共54頁第14頁/共54頁3、利用平衡微分方程求與z有關的應力分量第15頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

3.次要應力用表示。應用平衡微分方程的前兩式（其中縱向體力），有

代入式(c)，并對z積分，得：其中第16頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

因為上下板面是大邊界，必須精確滿足應力邊界條件

由此求出及，代入得到第17頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

4.更次要應力用表示。應用第三個平衡微分方程，將體力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并對z積分，得第18頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

由下板面的邊界條件

求出，故更次要應力為第19頁/共54頁5.導出w的微分方程在薄板的上表面，有邊界條件為薄板彎曲剛度第20頁/共54頁6.薄板橫截面上的應力與內力第21頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

x面面積上，應力的主矢量和主矩為：x面內力─合成主矢量稱為橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,第22頁/共54頁第23頁/共54頁代入并積分第24頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

xyz內力符號第25頁/共54頁應力與內力關系第26頁/共54頁薄板最大應力發(fā)生在何處？其值與內力之關系？彎應力和扭應力數(shù)值上最大，是主要的應力；橫向切應力在數(shù)值上較小，是次要應力；擠壓應力是更次要的應力。第27頁/共54頁7邊界條件固定邊界簡支邊界自由邊界第28頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

§9－4邊界條件薄板的邊界條件：

在上下板面（大邊界），已精確地滿足了3個應力邊界條件。

邊界條件第29頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

板邊為小邊界，可以應用圣維南原理來簡化邊界條件,將板邊的邊界條件歸結為中面的位移邊界條件或中面的內力邊界條件。

板邊（小邊界）的邊界條件尚未考慮,是求解撓曲線微分方程的邊界條件。

，可看成是中面的撓曲微分方程,或中面的平衡方程；邊界條件第30頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

薄板板邊的邊界條件分為三類：

1.固定邊

--若為廣義固定邊，則其中為給定的約束位移。若完全固定，則固定邊(a)第31頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

2.簡支邊

--

若為廣義簡支邊，則其中，分別為給定的約束位移和彎矩。若，則一般的簡支邊條件為簡支邊第32頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

故第二個條件可以簡化。簡支邊的條件為因簡支邊第33頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

3.自由邊

--若為一般的自由邊，則上式邊界條件共有3個，與四階微分方程不相對應。經過約20年后，基爾霍夫指出，薄板板邊上的扭矩可化為等效的橫向剪力。自由邊第34頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

第35頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

在EF=dx微分段上，總扭矩，化為E、F上等效的一對力，分別向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，總扭矩，化為F、G上等效的一對力，分別向下（F）和向上（G）。

圖中，取出板邊AB（y面），

扭矩的等效剪力第36頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

在F點，合成集中力,向下。再化為寬度上的分布剪力。故AB邊界總的分布剪力為

第37頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

此外，在A，B兩端，還有兩個未被抵的集中剪力

用撓度表示為

因此，自由邊的邊界條件成為

同理可導出的自由邊條件。第38頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

4.自由邊交點的角點條件─在角點B，集中力為

若B點有支承，阻止撓度的發(fā)生，則有

若B點無支承，應無集中力，有

角點條件第39頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

角點集中力的正負號及方向，根據(jù)扭矩確定，見習題9-2。

固定邊是位移邊界條件，自由邊是內力邊界條件，簡支邊是混合邊界條件。第40頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

小撓度薄板的彎曲問題，已經歸結為求解撓度w，w應滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件。

§9－5矩形薄板的經典解法求w條件第41頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊簡支第42頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

納維將w表示為重三角級數(shù)，

其中m，n為正整數(shù)。代入式(b)，全部邊界條件滿足。第43頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

將q(x,y)也展為重三角級數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比較兩邊系數(shù)，得

第44頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于各種形式的荷載q

，均可方便地求出解答。它的主要是，只能適用于四邊簡支的薄板。第45頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

設矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊為任意邊界?！?－6矩形薄板的單三角級數(shù)解兩對邊簡支第46頁/共54頁第九章薄板彎曲問題

其中是待定的函數(shù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡支邊條件,

萊維采用單三角級數(shù)表示撓度，

將式(a)代入撓曲線微分方程，得兩對邊簡支第47頁/共54頁第48頁/共54頁9能量法應用:求臨界荷載當薄板在一定的縱向荷載作用下處于平面內平衡時，為了判斷這個狀態(tài)是否穩(wěn)定，只須判別：如果薄板受有橫向干擾力而進入臨近的某一彎曲狀態(tài)，當干擾力移去后，它是否會恢復原來的狀態(tài)。為此，又只須判別：當薄板從該平面狀態(tài)進入彎曲狀態(tài)時，勢能是增加還是減少。如增加，就表示該平面狀態(tài)下的勢能為極