會計學(xué)1ch雙曲型方程的差分方法實用第1頁/共38頁采用對流方程開始研究雙曲型方程的數(shù)值解法的原因：第一、對流方程非常簡單，對它的研究是探討更復(fù)雜的雙曲型方程（組）的基礎(chǔ)。第二、盡管對流方程簡單，但是通過它可以看到雙曲方程在數(shù)值計算中特有的性質(zhì)和現(xiàn)象。第三，利用它的特殊的、復(fù)雜的初值給定，完全可以用來檢驗數(shù)值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推廣到變系數(shù)雙曲方程（組）以及非線性雙曲方程領(lǐng)域。第2頁/共38頁幾種典型的差分格式迎風格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式Courant-Friedrichs-Lewy條件利用特征線構(gòu)造差分格式隱式格式蛙跳格式第3頁/共38頁迎風格式的思想:在對微商進行近似的時候,關(guān)于空間導(dǎo)數(shù)用在特征線方向一側(cè)的單邊差商來代替，于是有如下格式：1、迎風格式第4頁/共38頁第5頁/共38頁迎風格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，一階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第6頁/共38頁所以此格式絕對不穩(wěn)定.2、Lax-Friedrichs格式

第7頁/共38頁第8頁/共38頁第9頁/共38頁Lax-Friedrichs格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，一階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第10頁/共38頁兩種格式的比較:1、它們的精度都是一階的精度,在實際應(yīng)用中,L-F格式可以不考慮對應(yīng)方程的特征線的走向,而迎風格式卻要考慮其走向.注、如果迎風格式寫成統(tǒng)一格式,也不必考慮特征線走向，但多了絕對值的計算。第11頁/共38頁2、比較截斷誤差第12頁/共38頁L-F格式的右端項：第13頁/共38頁第14頁/共38頁3、Lax-Wendroff格式1960年Lax和Wendroff構(gòu)造了一個二階精度的二層格式。構(gòu)造的思想是利用Taylor展開式及方程本身。第15頁/共38頁代入上面的式子,于是有第16頁/共38頁得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式第17頁/共38頁利用Fourier方法分析穩(wěn)定性，得增長因子為：第18頁/共38頁Lax-Wendroff格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第19頁/共38頁4、Courant-Friedrichs-Lewy條件

由差分方程解的依賴區(qū)域與微分方程解的依賴區(qū)域的關(guān)系導(dǎo)出的差分方程收斂的必要條件注：即差分方程解的依賴區(qū)域包含微分方程解的依賴區(qū)域第20頁/共38頁注、Courant條件是保證穩(wěn)定性（收斂性）的必要條件，而非充分條件。例如：針對一維對流方程的差分格式的CFL條件（a>0）右偏格式：顯然，微分方程的依賴區(qū)域在差分方程的依賴區(qū)域之外，不滿足CFL條件，所以格式不穩(wěn)定。左偏格式（迎風格式）：實際上也是穩(wěn)定性的充分條件第21頁/共38頁中心格式：格式不穩(wěn)定,所以CFL條件不是穩(wěn)定性的充分條件

Lax-Wendroff格式：實際上也是穩(wěn)定性的充分條件第22頁/共38頁5、利用特征線構(gòu)造差分格式

第23頁/共38頁第24頁/共38頁第25頁/共38頁第26頁/共38頁Beam-Warming格式

第27頁/共38頁第28頁/共38頁6、隱式格式

①隱式中心第29頁/共38頁隱式中心格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，對時間一階，對空間二階精度，截斷誤差為：2、無條件穩(wěn)定3、無條件收斂注、計算上需要人工邊界條件第30頁/共38頁②第31頁/共38頁Grank-Nicolson格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，截斷誤差為：2、無條件穩(wěn)定3、無條件收斂注、計算上需要人工邊界條件第32頁/共38頁7、蛙跳（leap－frog）格式

第33頁/共38頁分析穩(wěn)定性的Fourier方法適用于二層格式，所以把三層格式化為二層格式第34頁/共38頁注：容易驗證增長矩陣不是正規(guī)矩陣，所以Neumann條件是滿足穩(wěn)定性的必要條件。第35頁/共38頁第36頁/共38頁蛙跳格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，