幾何圖形初步第一節(jié)幾何圖形認(rèn)識(shí)立體圖形(1)幾何圖形：從實(shí)物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形.幾何圖形分為立體圖形和平面圖形.(2)立體圖形：有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形.(3)重點(diǎn)和難點(diǎn)突破：結(jié)合實(shí)物，認(rèn)識(shí)常見的立體圖形，如：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等.能區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi).點(diǎn)、線、面、體(1)體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn).(2)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.點(diǎn)、線、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界.(3)從幾何的觀點(diǎn)來看點(diǎn)是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點(diǎn)的集合.(4)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡(jiǎn)稱體.(5)面有平面和曲面之分，如長(zhǎng)方體由6個(gè)平面組成，球由一個(gè)曲面組成.歐拉公式(1)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間的關(guān)系為：V+F-E=2.這個(gè)公式叫歐拉公式.公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律.(2)V+F-E=X(P),V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù).幾何體的表面積(1)幾何體的表面積=側(cè)面積+底面積(上、下底的面積和)(2)常見的幾種幾何體的表面積的計(jì)算公式①圓柱體表面積：2nRz+2nRh(R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高)②圓錐體表面積：n「2+nn(h2+r2)360(r為圓錐體底圓半徑，h為其高，n為圓錐側(cè)面展開圖中扇形的圓心角)③長(zhǎng)方體表面積：2(ab+ah+bh) (a為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，b為長(zhǎng)方體的寬，h為長(zhǎng)方體的高)④正方體表面積：6a2(a為正方體棱長(zhǎng)認(rèn)識(shí)平面圖形(1)平面圖形：一個(gè)圖形的各部分都在同一個(gè)平面內(nèi)，如：線段、角、三角形、正方形、圓等.(2)重點(diǎn)難點(diǎn)突破：通過以前學(xué)過的平面圖形：三角形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓，了解它們的共性是在同一平面內(nèi).幾何體的展開圖(1)多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖.同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形.(2)常見幾何體的側(cè)面展開圖：①圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形.②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.③正方體的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形.④三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形.(3)立體圖形的側(cè)面展開圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系.立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問題解決.從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

展開圖折疊成幾何提體通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再?gòu)慕o定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字(1)對(duì)于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對(duì)展開圖理解的基礎(chǔ)上直接想象.(2)從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.(3)正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認(rèn)真確定哪兩個(gè)面的對(duì)面.截一個(gè)幾何體截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面.截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)則圖形，一般的截面與幾何體的幾個(gè)面相交就得到幾條交線,截面就是幾邊形，因此，若一個(gè)幾何體有幾個(gè)面,則截面最多為幾邊形。直線射線線段的表示(1)直線、射線、線段的表示方法①直線：用一個(gè)小寫字母表示，如：直線I,或用兩個(gè)大些字母(直線上的)表示，如直線AB.②射線：是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如：射線I；用兩個(gè)大寫字母表示，端點(diǎn)在前，如：射線OA.注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊.③線段：線段是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB日 - * ?——，?

A Bi Q3 ' A g(或線段BA). 皿- 二一 -三？(2)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外直線的性質(zhì)(1)直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線.(2)經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)就唯一確定，過三點(diǎn)就不一定了.線段的性質(zhì)線段公理兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短.簡(jiǎn)單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短.兩點(diǎn)間的距離(1)兩點(diǎn)間的距離連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離.(2)平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，學(xué)習(xí)此概念時(shí)，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”，也就是說，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形.線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離比較線段的長(zhǎng)短(1)比較兩條線段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法.就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB>CD、AB=CD、AB<CD.(2)線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn).(3)線段的和、差、倍、分及計(jì)算做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長(zhǎng)度，再利用刻度尺畫條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于已知線段.如圖，AC=BC,C為AB中點(diǎn)，AC=12AB,AB=2AC,D為CB中點(diǎn)，則UCD=DB=12CB=14AB,AB=4CD,這就是線段的和、差、倍、分.'

第三節(jié)角一：角(1)角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.(2)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示.其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角.角還可以用一個(gè)希臘字母(如Na,NB，/Y、…)表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字(N1，N2…)表示.(3)平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角.(4)角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60".鐘面角(1)鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時(shí)間間隔是1分鐘，時(shí)針1分鐘走112格，分針1分鐘走1格.鐘面上每一格的度數(shù)為360°-12=30°.(2)計(jì)算鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時(shí)刻分針與時(shí)針?biāo)幍奈恢茫_定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù).(3)鐘面上的路程問題：分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°?60=6°.時(shí)針：12小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°。12+60=0.5°.方向角(1)方位角是表示方向的角；以正北，正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，來描述物體所處的方向.(2)用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個(gè)方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南.(3)畫方位角：以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對(duì)象所處的方向的射線.二：角的比較與運(yùn)算度分秒的換：(1)度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60".(2)具體換算可類比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60,反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60.同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法.角平分線的定義(1)角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.(2)性質(zhì)：若OC是NAOB的平分線貝UNAOC=NBOC=12NAOB或ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.角的計(jì)算：(1)角的和差倍分①NAOB是/AOC和NBOC的和，記作：NAOB=NAOC+NBOC.NAOC是NAOB和NBOC的差，記作：NAOC=NAOB-NBOC.②若射線OC是NAOB的三等分線，則NAOB=3NBOC或NBOC=13NAOB.(2)度、分、秒的加減運(yùn)算.在進(jìn)行度分秒的加減時(shí)，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)，要借1化60.(3)度、分、秒的乘除運(yùn)算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位.②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級(jí)單位進(jìn)一步去除.計(jì)算器一角的換算科學(xué)型計(jì)算器：計(jì)算器上面的函數(shù)區(qū)，三行二列的鍵（.，，，）就是度分秒轉(zhuǎn)換的鍵.輸入數(shù)值，如輸入30.5,先按=，再按（.，，，）鍵，就顯示出30°30'0".如果要輸入30°30'0",先輸入30在“度”的位置按一下，再輸入30在“分”的位置再按一下，最后輸入0,在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30'0".若要轉(zhuǎn)化為度，則按=，再按（，，）鍵，就顯示出30.5°.三：余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角.即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等.等角的余角相等.（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.第四章：幾何圖形單元測(cè)試卷一、填空題：（一、填空題：（每空1分，共28分）.線段AB=8cm,CJ是線段AB上的一點(diǎn),BC=5cm,則AC=..如圖（2）,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分NCOD,則NBOD的余角,ZCOE的補(bǔ)角是,ZAOC的補(bǔ)角是..如圖（3），直線AB、CD相交于點(diǎn)O,NAOE=90°,從給出的A、B、C三個(gè)答案中選擇適當(dāng)答案填空.（1）/1與N2的關(guān)系是（） （2）/3與N4的關(guān)系是（）（3）/3與N2的關(guān)系是（） （4）/2與/4的關(guān)系是（）A.互為補(bǔ)角 B.互為余角 C.即不互補(bǔ)又不互余.如圖（4）,/AOD=90°,/COE=90°,則圖中相等的銳角有對(duì)..如圖（5）所示，射線OA表示方向，射線OB表示方向..四條直線兩兩相交時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有個(gè)..如果一個(gè)角是30°,用10倍的望遠(yuǎn)鏡觀察，這個(gè)角應(yīng)是.38°41,的角的余角等于,123°59,的角的補(bǔ)角等于..如果/1的補(bǔ)角是/2,且/1>/2,那么/2的余角是（用含/1的式子表示）..如果/a與/B互補(bǔ),且/a：/B=5:4,那么，/a=,/B=..根據(jù)下列多面體的平面展開圖,填寫多面體的名稱：（1）,（2）,（3）..圓錐由面組成,其中一個(gè)是面，另一個(gè)是面..已知：/AOB=35°,/BOC=75°,則/AOC=.二、選擇題：（每題2分，共14分）17、如圖，是一個(gè)正方體紙盒的展開圖，若在其中三個(gè)正方形A、B、C中分別填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得它們折成正方體后相對(duì)的面上兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則填入正方形A、B、C、中的三個(gè)數(shù)依次是（ ）A、1、一3、0B、0、一3、1C、一3、0、1 D、一3、1、018.如圖（8）,直線a、b相交，/1=130°,則/2+/3=（ ） A.50° B.100° C.130° C.180°a(8)c⑼a(8)c⑼.輪船航行到C處觀測(cè)小島A的方向是北偏西48°,那么從小島A觀測(cè)輪船在C處的方向是（A..輪船航行到C處觀測(cè)小島A的方向是北偏西48°,那么從小島A觀測(cè)輪船在C處的方向是（A.南偏東48°B.東偏北48°C.東偏南48°D.南偏東42°.如圖（9），三條直線相交于O點(diǎn)，則圖中相等的角（平角除外）有（ ）對(duì)A.3對(duì)B.4對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì).下列圖形不是正方體展開圖的是（ ）C.從正面、上面、左面看四棱錐，得到的3個(gè)圖形是（）△△口AA0△△區(qū)A B C則結(jié)果指針的指向（ ）.某測(cè)繪裝置上一枚指針原來指向南偏西55°,把這枚指針按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80A.南偏東35° B.北偏西35° C.南偏東25° D.北偏西25°三、判斷題：（每題1分，共10分）.射線AB與射線BA表示同一條射線.（ ）.直角都相等.（ ）.若N1+N2=900,Z1+Z3=900,貝|N2=N3.（ ）.鈍角的補(bǔ)角一定是銳角.（ ）.一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角,這條射線叫這個(gè)角的平分線.（ ）.兩點(diǎn)之間，直線最短.（ ）.連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離.（ ）31.20050^=20.50.（ ）.互余且相等的兩個(gè)角都是450.（ ）.若AC+CB=AB,則C點(diǎn)在線段AB上.（ ）四、計(jì)算題：（35小題6分，其余每題5分，共36分）.如圖（10）,已知C是AB的中點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn).（1）若AB=18cm,求DE的長(zhǎng)；（2）若CE=5cm,求DB的長(zhǎng).(10)(11).如圖（11）,已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，NCOE是直角,OF平分NAOE,.一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的1還少20°,求這個(gè)角.337.一個(gè)角的補(bǔ)角是123°24,16〃，則這個(gè)角的余角是多少?38.如圖,A、B兩地隔著湖水，從C地測(cè)得CA=50m,CB=60m,NACB=145°,用1厘米代表10米（就是1:1000的比例尺）畫出如圖的圖形.量出AB的長(zhǎng)（精確到1毫米），再換算出A、B間的實(shí)際距離..如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,那么N1=N2嗎?請(qǐng)說明你的理由..（8分）如圖3所示，ZAOB=90。，OE、OF分別平分/AOB、/BOC,求ZBOC的度數(shù).五、作圖題：（每題4分，共12分）.如圖，已知/1,Z2,畫出一個(gè)角,使它等于3N1-N2.42.用三角板畫出一個(gè)75°的角和一個(gè)105°的角.43、如圖，是由小立方塊塔成的幾何體，請(qǐng)分別從前面看、左面看和上面看，試將你所看到的平面圖形畫出來。

答案1.97°27’55〃 2.6 3.30° 4.13cm或3cm5.NAOEZDOEZAOD與NBOC6.(1)B(2)A(3)B(4)CTOC\o"1-5"\h\z7.2 8.北偏西65°或西偏北25°方向；南偏東15°或東偏南75°方向.9.610.30° 11.51°19; 56°112.1(/1—/2)或Z1-90°13.100°80°14.⑴長(zhǎng)方體(2)三棱柱(3)三棱錐15.兩個(gè)；曲面;平面16.40°或110二、17.A 18.B 19.A 20.C 21.C 22.C23.C三、24.X 25.V 26.V 27.V 28.X 29.X 30.X 31.X32.V33.X1_1 9 9_四、34.(1)由題意可知：AD=DC=CE=EB=AB=—X18=—cm,DE=2CE=2X—=9cm\o"CurrentDocument"4 4 2 2(2)由(1)知AD=DC=CE=BE,BD=3CE=3X5=15cm.35.解：由題意可知ZAOB=ZAOD=180°ZCOE=90°,ZCOF=34°,，ZEOF=90°-34°=56?「OF平分ZAOE,?'.ZAOE/ZEOF=56°.AZAOC=ZAOF-ZCOF=56°-34°=22°.VZAOC=180°-ZAODZBOD=180°-ZAOD .\ZAOC=ZBOD.\ZBOD=22.解:設(shè)這個(gè)角為a,則這個(gè)角的余角為90°-a,補(bǔ)角為180°-a,依題意，得900—a=1(1800