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第．〔2023年北京卷〔理〕〕如圖在三棱柱ABC-A1B1C1AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC⊥平面AA1C1C(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)證明:在線段BC1存在點(diǎn)D使得AD⊥A1B并求的值【答案】解:(=1\*ROMANI)因?yàn)锳A1C1C為正方形所以AA1⊥AC因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC所以AA1(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知AA1⊥ACAA1⊥AB由題知AB=3BC=5AC=4所以AB⊥AC如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-那么B(030)A1(004)B1(034)C1(404)設(shè)平面A1BC1的法向量為那么即令那么所以同理可得平面BB1C1的法向量為所以由題知二面角A1-BC1-B1為銳角所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為(=3\*ROMANIII)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)且所以解得所以[]由即解得因?yàn)樗栽诰€段BC1上存在點(diǎn)D使得AD⊥A1B此時(shí)
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