2023年四川省眉山市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________一、單選題(20題)1.

2.A.A.

B.

C.

D.

3.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

4.

5.

6.

7.

8.設在點x=1處連續(xù)，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2

9.

10.A.

B.

C.

D.

11.（）A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.無關條件12.若x0為f(x)的極值點，則（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

13.

14.

15.設f(x)在點x0處連續(xù)，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

16.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

17.（）。A.-2B.-1C.0D.2

18.

19.=（）。A.

B.

C.

D.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.微分方程y"=y的通解為______．

26.

27.

28.

29.

30.曲線y=x3－3x2－x的拐點坐標為____。

31.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．

32.設y=sin2x，則dy=______．

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

43.

44.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．

45.

46.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

47.

48.

49.證明：

50.

51.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

52.

53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

54.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．

55.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

58.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

59.求微分方程的通解．

60.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.求∫sinxdx．

62.設y=y(x)由確定，求dy．

63.

64.研究y=3x4-8x3+6x2+5的增減性、極值、極值點、曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點．

65.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

66.計算

67.

68.

69.

70.求微分方程xy'-y=x2的通解．

五、高等數學(0題)71.求

的和函數，并求

一的和。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.C本題考查的知識點為復合函數求導．

可知應選C．

3.B解析：

4.A

5.C解析：

6.C

7.D

8.C本題考查的知識點為函數連續(xù)性的概念。

由于y為分段函數，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續(xù)點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

9.B

10.D本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

11.D內的概念，與f(x)在點x0處是否有定義無關．

12.C本題考查的知識點為函數極值點的性質．

若x0為函數y＝f(x)的極值點，則可能出現兩種情形：

(1)f(x)在點x0處不可導，如y＝|x|，在點x0＝0處f(x)不可導，但是點x0＝0為f(x)＝|x|的極值點．

(2)f(x)在點x0可導，則由極值的必要條件可知，必定有f(x0)＝0．

從題目的選項可知應選C．

本題常見的錯誤是選A．其原因是考生將極值的必要條件：“若f(x)在點x0可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f(x0)＝0”認為是極值的充分必要條件．

13.D

14.C

15.C本題考查的知識點有兩個：連續(xù)性與極限的關系；連續(xù)性與可導的關系．

連續(xù)性的定義包含三個要素：若f(x)在點x0處連續(xù)，則

(1)f(x)在點x0處必定有定義；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所給命題C正確，A，B不正確．

注意連續(xù)性與可導的關系：可導必定連續(xù)；連續(xù)不一定可導，可知命題D不正確．故知，應選C．

本題常見的錯誤是選D．這是由于考生沒有正確理解可導與連續(xù)的關系．

若f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必定連續(xù)．

但是其逆命題不成立．

16.A

17.A

18.C解析：

19.D

20.B

21.

解析：

22.

本題考查的知識點為導數的四則運算．

23.1/6

24.4

25.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

26.0

27.

28.

解析：

29.

30.（1，-1）

31.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

32.2cos2xdx這類問題通常有兩種解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分運算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．

33.

34.

35.y=x3+1

36.2/32/3解析：

37.ln|1-cosx|+Cln|1-cosx|+C解析：

38.1

39.

40.由可變上限積分求導公式可知

41.

42.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

43.

44.函數的定義域為

注意

45.由一階線性微分方程通解公式有

46.

列表：

說明

47.

48.

則

49.

50.

51.由二重積分物理意義知

52.

53.

54.

55.

56.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.

58.由等價無窮小量的定義可知

59.

60.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

61.設u=x，v'=sinx，則u'=1，v=-cosx，

62.

；本題考查的知識點為可變上限積分求導和隱函數的求導．

求解的關鍵是將所給方程認作y為x的隱函數，在對可變上限積分求導數時，將其上限y認作為x的函數．