會計學(xué)1D對坐標(biāo)曲面積分其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共27頁二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共27頁對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共27頁設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共27頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共27頁3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點,則(2)用ˉ表示的反向曲面,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共27頁三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共27頁

?

若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面取下側(cè),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共27頁例1.

計算其中是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共27頁解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共27頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共27頁例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計算解:

利用輪換對稱性,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共27頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共27頁令向量形式(A在

n上的投影)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共27頁例4.

位于原點電量為q的點電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E

通過球面:r=R外側(cè)的電通量

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共27頁例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共27頁例6.

計算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共27頁原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共27頁內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共27頁性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個與的方向無關(guān),一個與機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共27頁2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共27頁當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共27頁思考與練習(xí)1.P167題2提示:

設(shè)則取上側(cè)時,取下側(cè)時,2.P184題13.P167題3(3)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共27頁是平面在第四卦限部分的上側(cè),計算提示:求出的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P167題3(3).

設(shè)作業(yè)

P1673(1),(2),(4);4(1),(2)第六節(jié)目