會(huì)計(jì)學(xué)1材料科學(xué)屈服應(yīng)力應(yīng)變主應(yīng)力

5.1有關(guān)材料的一些基本概念

材料中沒(méi)有空隙裂縫，叫做“連續(xù)”；各質(zhì)點(diǎn)性能相同，叫做“均質(zhì)”；材料各個(gè)方向性能一樣，叫做“各向同性”，否則就叫“各向異性”。對(duì)于各向同性材料，可用與坐標(biāo)取向無(wú)關(guān)的不變量的函數(shù)來(lái)表示屈服準(zhǔn)則。實(shí)用金屬材料可以近似看成是連續(xù)均質(zhì)材料。經(jīng)過(guò)仔細(xì)退火的金屬材料可以近似看作是各向同性材料。理想彈性材料：彈性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系。（a，b，d）理想塑性材料：塑性變形時(shí)不產(chǎn)生硬化的材料。（b，c）變形硬化材料：塑性變形時(shí)要產(chǎn)生硬化的材料。（d，e）第1頁(yè)/共74頁(yè)彈塑性材料：塑性變形之前及塑性變形時(shí)，都有彈性變形。剛塑性材料：塑性變形之前不產(chǎn)生彈性變形。（c，e）對(duì)于大塑性變形時(shí)，彈性變形很小，可以忽略不計(jì)，可以近似看成剛塑性材料.a實(shí)際金屬材料（①有物理屈服點(diǎn)②無(wú)明顯物理屈服點(diǎn)）b理想彈塑性c理想剛塑性d彈塑性硬化e剛塑性硬化本章重點(diǎn)討論兩個(gè)適用于各向同性理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則。第2頁(yè)/共74頁(yè)5.2屈雷斯加屈服準(zhǔn)則(最大剪應(yīng)力不變條件)屈雷斯加通過(guò)對(duì)金屬擠壓研究，于1864年提出了一個(gè)屈服準(zhǔn)則。他提出這一準(zhǔn)則表述如下： 當(dāng)材料（質(zhì)點(diǎn)）中最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，材料就屈服。

或者說(shuō)材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，最大剪應(yīng)力始終為定值。該定值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。第3頁(yè)/共74頁(yè)

只要之中有一個(gè)達(dá)到某一定值，材料即屈服如設(shè)

則常數(shù)c可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)求得，屈服準(zhǔn)則適用于任何應(yīng)力狀態(tài)，故可用最簡(jiǎn)單的應(yīng)力狀態(tài)，例如單向拉伸實(shí)驗(yàn)求得常數(shù)，設(shè)在某一溫度和變形速度條件下，由材料單向拉伸實(shí)驗(yàn)所得的屈服應(yīng)力為

應(yīng)力狀態(tài)為：得第4頁(yè)/共74頁(yè)于是屈雷斯加屈服準(zhǔn)則為：若事先不知道主應(yīng)力大小次序，則屈雷斯加屈服準(zhǔn)則普遍表達(dá)為：在事先知道主應(yīng)力次序的情況下，屈雷斯加準(zhǔn)則的使用是非常方便的。但是在一般的三向應(yīng)力條件下，主應(yīng)力是待求的，大小次序也是不能事先知道的，這時(shí)使用屈雷斯加準(zhǔn)則就不很方便。第5頁(yè)/共74頁(yè)5.3密席斯(Mises)屈服準(zhǔn)則（彈性變形能不變條件）

Mises1913年提出密席斯屈服準(zhǔn)則，密席斯認(rèn)為，為了便于數(shù)學(xué)處理，將式子的三個(gè)式子統(tǒng)一起來(lái)寫(xiě)成平方和的形式，則左面就等于應(yīng)力偏張量第二不變量的6倍。所以密席斯屈服準(zhǔn)則可以表述為：

當(dāng)應(yīng)力偏張量第二不變量達(dá)到某一定值時(shí)，材料就會(huì)屈服。更為方便的表達(dá)是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)力達(dá)到某一與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)的定值時(shí)，材料屈服；或者說(shuō)，材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，等效應(yīng)力始終是一不變的定值，即第6頁(yè)/共74頁(yè)用單向拉伸屈服時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)代入上式即可得到常數(shù)C

則Mises屈服準(zhǔn)則表達(dá)式為即或

第7頁(yè)/共74頁(yè)漢基于1924年闡明了密席斯屈服準(zhǔn)則的物理意義：當(dāng)材料的質(zhì)點(diǎn)內(nèi)單位體積的彈性形變能（形狀變化的能量）達(dá)到某臨界值時(shí)，材料就屈服。對(duì)于絕大多數(shù)金屬材料，密席斯屈服準(zhǔn)則接近于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。第8頁(yè)/共74頁(yè)5.4屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用幾何圖形形象化的表示出來(lái)。在坐標(biāo)系中，屈服準(zhǔn)則都是空間曲面，叫做屈服表面。如把屈服準(zhǔn)則表示在各種平面坐標(biāo)系中，則它們都是封閉曲線，叫做屈服軌跡。兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡以帶入密希斯屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的密希斯屈服準(zhǔn)則上式在坐標(biāo)平面上是一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與坐標(biāo)軸成450，長(zhǎng)半軸為，短半軸為，與坐標(biāo)軸的截距為。這個(gè)橢圓叫做平面上的屈服軌跡。屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用幾何圖形形象化的表示出來(lái)。在坐標(biāo)系中，屈服準(zhǔn)則都是空間曲面，叫做屈服表面。如把屈服準(zhǔn)則表示在各種平面坐標(biāo)系中，則它們都是封閉曲線，叫做屈服軌跡。兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡以帶入密希斯屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的密希斯屈服準(zhǔn)則上式在坐標(biāo)平面上是一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與坐標(biāo)軸成450，長(zhǎng)半軸為，短半軸為，與坐標(biāo)軸的截距為。這個(gè)橢圓叫做平面上的屈服軌跡。第9頁(yè)/共74頁(yè)以帶入屈雷斯加屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則這是一個(gè)六邊形，內(nèi)接于密希斯橢圓。屈雷斯加六邊形內(nèi)接于密希斯橢圓，這就意味著，在六個(gè)角點(diǎn)上，兩個(gè)準(zhǔn)則是一致的。密希斯屈服準(zhǔn)則需要較大的應(yīng)力才能使材料屈服。第10頁(yè)/共74頁(yè)第11頁(yè)/共74頁(yè)5.5平面問(wèn)題中屈服準(zhǔn)則的簡(jiǎn)化

在平面問(wèn)題中，一些應(yīng)力分量或?yàn)榱慊驗(yàn)槌?shù)，故屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式可得到某些簡(jiǎn)化。對(duì)于密席斯屈服準(zhǔn)則，其通式為

（1）或

（2）

平面應(yīng)力時(shí)，，故上兩式簡(jiǎn)化為式

第12頁(yè)/共74頁(yè)或

平面變形時(shí)，

，故式（1）（2）簡(jiǎn)化為

或

第13頁(yè)/共74頁(yè)第六章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）

6.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

6.2塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

6.3塑性變形的增量理論(流動(dòng)理論)6.4最大散逸功原理第14頁(yè)/共74頁(yè)

塑性變形過(guò)程中應(yīng)力與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為本構(gòu)方程，也叫物理方程。塑性本構(gòu)方程從本質(zhì)上反映了物體發(fā)生塑性變形時(shí)的特征，這一方程和屈服準(zhǔn)則都是求解塑性成形問(wèn)題的基本方程。 對(duì)于理想塑性材料某些簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)平衡微分方程及屈服準(zhǔn)則即可求解。但對(duì)于一般問(wèn)題，可能有六個(gè)未知的應(yīng)力分量，而平衡微分方程和屈服準(zhǔn)則最多只能給出四個(gè)方程，所以為超靜定問(wèn)題，這時(shí)就要用到本構(gòu)方程。第15頁(yè)/共74頁(yè)6.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

在單向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，由虎克定律表達(dá)式中:E為彈性模量

G為剪切模量

v為泊松比如將它推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)的各向同性材料，就叫做廣義虎克定律

第16頁(yè)/共74頁(yè)將正應(yīng)變相加將正應(yīng)變減去應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性的體積改變第17頁(yè)/共74頁(yè)同理可得簡(jiǎn)記為

表明：應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比，即表明物體的形狀改變只是由應(yīng)力偏張量引起。第18頁(yè)/共74頁(yè)廣義虎克定律可以寫(xiě)成張量的形式彈性變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系1)應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系2)彈性變形是可逆的，與變形歷史無(wú)關(guān)，所以應(yīng)力與應(yīng)變之間是單值關(guān)系。3)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸重合

4)應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積變化，泊松比v<0.5

第19頁(yè)/共74頁(yè)6.2塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 塑性變形時(shí)全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系則完全不同：1)塑性變形可以認(rèn)為體積不變，應(yīng)變球張量為零，泊松比v＝0.5；

2)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的；3)全量應(yīng)變與應(yīng)力的主軸不一定重合；4)塑性變形是不可恢復(fù)的，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒(méi)有一般的單值關(guān)系，而是與加載歷史或應(yīng)變路線有關(guān)。第20頁(yè)/共74頁(yè)對(duì)于后兩個(gè)特點(diǎn)，舉加以說(shuō)明。最簡(jiǎn)單的例子就是單向拉伸。在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變只取決于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力。反之亦然，例如σc總是對(duì)應(yīng)εc，不管σc是由σa加載而得還是由σd卸載而的。在塑性范圍內(nèi)，如果是理想塑性材料（見(jiàn)上圖虛線），則同一σs可以對(duì)應(yīng)任意應(yīng)變；如果是硬化材料，則由σs加載σe，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舉，如果從σf卸載到σe,對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舊’，所以不是單值關(guān)系。

第21頁(yè)/共74頁(yè)6.3塑性變形的增量理論（流動(dòng)理論）

在塑性理論中，提出增量(流動(dòng))理論的年代要比全量理論早得多。圣維南(B．SaintVonant)早于1870年就提出應(yīng)力主軸與應(yīng)變?cè)隽恐鬏S重合而不是與全量應(yīng)變主軸重合的見(jiàn)解，并發(fā)表了自己的應(yīng)力—應(yīng)變速率方程(塑性流動(dòng)方程)。列維（M.Levy）1871年提出了應(yīng)力—應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系，但當(dāng)時(shí)不大為人所知。之后塑性理論經(jīng)歷了近四十年的停滯。直至1913年，密席斯獨(dú)立提出與列維相同的方程，才廣為人知，所以人們稱(chēng)之為列維—密席斯方程。它適用于服從密席斯屈服準(zhǔn)則的理想剛塑性材料。增量理論又稱(chēng)為流動(dòng)理論，是描述物體處于塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽炕驊?yīng)變速率之間關(guān)系的理論，它是通過(guò)加載過(guò)程中的每一變形瞬間的應(yīng)力狀態(tài)來(lái)確定該瞬間的應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

第22頁(yè)/共74頁(yè)(1)材料是理想剛塑性材料，也即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱悖苄詰?yīng)變?cè)隽烤褪强倯?yīng)變?cè)隽浚?2)材料符合密席斯屈服準(zhǔn)則，即(3)塑性變形時(shí)體積不變，即(4)應(yīng)力主軸和應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S重合；(5)應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏張量成正比，即式中為瞬時(shí)的非負(fù)比例系數(shù)．它在變形過(guò)程是變化的，但在卸載時(shí)，上式是密席斯方程的關(guān)鍵性的表達(dá)式

一、列維—密席斯方程列維－密席斯的理論包含以下的假定第23頁(yè)/共74頁(yè)利用等比定律就可得到（*）將上式寫(xiě)成如下形式（**）第24頁(yè)/共74頁(yè)比例系數(shù)可按如下方法求得。將式（*）分成三個(gè)式子然后平方，得

將式中的三個(gè)式子平方并乘以6，得

第25頁(yè)/共74頁(yè)將上列六式相加，整理后可得所以

對(duì)于理想塑性材料，式中的于是式中i=j的三個(gè)式子都可按如下方式改寫(xiě)第26頁(yè)/共74頁(yè)于是

上列前三式中的1/2就是體積不變時(shí)的泊松比。（***）

密席斯方程僅適用于理想剛塑性材料，所以它只給出了應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏量之間關(guān)系，對(duì)應(yīng)力球張量則沒(méi)有限制。因此，若已知，只能求得，這是剛塑性假設(shè)的一個(gè)弱點(diǎn)。另一方面，對(duì)于理想塑性材料，上式中的等效應(yīng)力等于常數(shù)，而實(shí)際上是不定的，所以若已知，則只能求得各分量之間的比值。而不能直接求得它們的實(shí)際數(shù)值。因此，對(duì)于理想剛塑性材料，應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力分量之間還不完全是單值關(guān)系。第27頁(yè)/共74頁(yè)下面利用密席斯方程來(lái)證明平面變形時(shí)的結(jié)論：塑性平面變形時(shí)，如設(shè)Z向沒(méi)有變形，則有：按體積不變條件有：由此可得：

將式（***）中的前兩式代入上式，有：第28頁(yè)/共74頁(yè)二、應(yīng)力－應(yīng)變速率方程（圣維南塑性流動(dòng)方程）將式除以dt,可得式中，就是應(yīng)變速率張量，設(shè)以表示，則上式即為式中其中為等效應(yīng)變速率。卸載時(shí)上式就是應(yīng)力—應(yīng)變速率方程。（****）第29頁(yè)/共74頁(yè)應(yīng)力—應(yīng)變速率方程同樣可寫(xiě)成式（****）最早由圣維南于1870年提出的，它和粘性流體的牛頓公式很相似，所以也叫塑性流動(dòng)方程。密席斯方程實(shí)際上就是流動(dòng)方程的增量形式，所以，如果不考慮應(yīng)變速率對(duì)材料性質(zhì)的影響，則兩者是一致的。第30頁(yè)/共74頁(yè)6.4最大散逸功原理一、塑性功增量設(shè)一剛塑性單元體，棱長(zhǎng)為dx、dy、dz，它在x方向的正應(yīng)變?cè)隽繛椋瑒t正應(yīng)力分量所作的塑性功增量為：?jiǎn)挝惑w積的塑性功增量為第31頁(yè)/共74頁(yè)同樣，剪應(yīng)力分量所作的單位塑性功增量為：其他應(yīng)力分量所作的塑性功也可同樣處理，由此，單元體單位體積的塑性功增量為：設(shè)變形體積為V，則整個(gè)變形體的塑性功增量為：第32頁(yè)/共74頁(yè)二、最大散逸功原理一種應(yīng)力狀態(tài)可以用主應(yīng)力空間中的矢量來(lái)表示，塑性變形時(shí)，該矢量的端點(diǎn)一定在屈服表面上，則得到一個(gè)單位塑性功增量（1）與前述的符合同一屈服準(zhǔn)則，但不一定與前述符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)是很多的。用表示這樣的應(yīng)力狀態(tài)。將其與前述的相乘，同樣可以得到一個(gè)單位塑性功增量（2）將（1）減去（2）可得

第33頁(yè)/共74頁(yè)對(duì)上式可作如下的表述：對(duì)于一定的應(yīng)變?cè)隽繄?chǎng)而言，在所有符合屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場(chǎng)中，與該應(yīng)變?cè)隽繄?chǎng)符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場(chǎng)所作的塑性功最大。上述原理就叫最大散逸功原理。

第34頁(yè)/共74頁(yè)第七章真實(shí)應(yīng)力—應(yīng)變曲線

7.1拉伸圖和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線

7.2拉伸時(shí)的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線

7.3拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線塑性失穩(wěn)點(diǎn)的特

7.4真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線的簡(jiǎn)化形式第35頁(yè)/共74頁(yè)根據(jù)上兩式可由拉伸圖作出條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線。7.1拉伸圖和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線

1.拉伸圖及條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線下圖所示為退火低碳鋼的拉伸圖。圖的縱坐標(biāo)表示載荷，橫坐標(biāo)表示標(biāo)距的伸長(zhǎng)。將拉伸圖的縱坐標(biāo)除以試樣原始斷面積，即得條件應(yīng)力將拉伸圖的橫坐標(biāo)除以試樣標(biāo)距長(zhǎng)度，即得相對(duì)伸長(zhǎng)第36頁(yè)/共74頁(yè)

低碳鋼的拉伸圖或條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線第37頁(yè)/共74頁(yè)

如果取的比例適當(dāng)，則條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線與原來(lái)的拉伸圖完全一致。所以上圖既是拉伸圖又是條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線，只是坐標(biāo)不同。其中符號(hào)說(shuō)明如下第38頁(yè)/共74頁(yè)

根據(jù)上圖條件應(yīng)力——應(yīng)變曲線來(lái)說(shuō)明試樣從開(kāi)始加載到斷裂過(guò)程中的力學(xué)特性。在作用于試樣上的應(yīng)力小于彈性極限以前，材料只產(chǎn)生彈性變形，只有在應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，材料才產(chǎn)生明顯的塑性變形，在曲線的c處出現(xiàn)了一段所謂屈服平臺(tái)。但大多數(shù)工業(yè)用塑性金屬，如調(diào)質(zhì)處理的合金鋼，退火鋁合金，青銅，鎳等，則沒(méi)有明顯的屈服點(diǎn)，這時(shí)的屈服應(yīng)力規(guī)定用時(shí)的應(yīng)力表示。

試樣在屈服點(diǎn)以上繼續(xù)拉伸，應(yīng)力隨變形程度的增加而上升，直到最大拉力點(diǎn)b，這時(shí)的條件應(yīng)力即強(qiáng)度極限。b點(diǎn)以后繼續(xù)拉伸，試樣斷面出現(xiàn)局部收縮，形成所謂縮頸。此后，應(yīng)力逐漸減小，曲線下降，直至k點(diǎn)發(fā)生斷裂。第39頁(yè)/共74頁(yè).試驗(yàn)研究表明，單向拉伸試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力和單向壓縮試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力絕對(duì)值相等，如圖所示。但當(dāng)試樣在一個(gè)方向加載（例如拉伸）超過(guò)屈服點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)后,卸載到零，然后再在反方向加載（即壓縮），則發(fā)現(xiàn)反向加載時(shí)的屈服點(diǎn)s的應(yīng)力不但比A點(diǎn)的小，而且小于初始的屈服應(yīng)力。這一隨加載路線和方向不同而屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，稱(chēng)包申格效應(yīng)。

包申格效應(yīng)可用緩慢退火除去。

下面介紹一下材料的另一個(gè)特性——包申格效應(yīng).試驗(yàn)研究表明，單向拉伸試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力和單向壓縮試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力絕對(duì)值相等，如圖所示。但當(dāng)試樣在一個(gè)方向加載（例如拉伸）超過(guò)屈服點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)后,卸載到零，然后再在反方向加載（即壓縮），則發(fā)現(xiàn)反向加載時(shí)的屈服點(diǎn)s的應(yīng)力不但比A點(diǎn)的小，而且小于初始的屈服應(yīng)力。這一隨加載路線和方向不同而屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，稱(chēng)包申格效應(yīng)。

包申格效應(yīng)可用緩慢退火除去。第40頁(yè)/共74頁(yè)7.2拉伸時(shí)的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線1.三種應(yīng)變表達(dá)式用真實(shí)應(yīng)力表示的應(yīng)力－應(yīng)變曲線，按不同的應(yīng)變表示方式，可以有三種型式：真實(shí)應(yīng)力和相對(duì)伸長(zhǎng)組成的曲線、真實(shí)應(yīng)力和相對(duì)斷面收縮組成的曲線、真實(shí)應(yīng)力和對(duì)數(shù)應(yīng)變組成的曲線。真實(shí)應(yīng)力S是作用于試樣瞬時(shí)斷面積上的應(yīng)力，也即瞬時(shí)的流動(dòng)應(yīng)力。表示為式中P----載荷

F----試樣瞬時(shí)斷面積

第41頁(yè)/共74頁(yè)相對(duì)伸長(zhǎng)可表示為

—拉伸后標(biāo)距的長(zhǎng)度。相對(duì)斷面收縮

—試樣原始斷面積；—拉伸后試樣的斷面積。

式中—試樣原始標(biāo)距長(zhǎng)度；式中第42頁(yè)/共74頁(yè)對(duì)數(shù)應(yīng)變（真實(shí)應(yīng)變）定義為

式中—瞬時(shí)的長(zhǎng)度改變量?！嚇拥乃矔r(shí)長(zhǎng)度；當(dāng)試樣從拉伸至?xí)r，總的真實(shí)應(yīng)變?yōu)?/p>

在出現(xiàn)縮頸以前，試樣處于均勻拉伸狀態(tài)，因此上述三種應(yīng)變間存在以下關(guān)系（*）對(duì)數(shù)應(yīng)變（真實(shí)應(yīng)變）定義為

式中—瞬時(shí)的長(zhǎng)度改變量?！嚇拥乃矔r(shí)長(zhǎng)度；第43頁(yè)/共74頁(yè)因?yàn)槎钥赏瞥龅?4頁(yè)/共74頁(yè)2、真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線的繪制在金屬塑性成形理論中，較普遍的是采用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線。因?yàn)閷?duì)數(shù)應(yīng)變反映了瞬時(shí)的變形。下面簡(jiǎn)要介紹用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線的繪制方法。下圖是根據(jù)條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線a)作出的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線b)。條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線與真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線第45頁(yè)/共74頁(yè)求出該瞬間的真實(shí)應(yīng)變。這樣就可以畫(huà)出曲線的段。

在屈服點(diǎn)c以前，兩種曲線幾乎沒(méi)有區(qū)別。在細(xì)頸點(diǎn)b以前的cb段是均勻變形階段，各點(diǎn)的對(duì)數(shù)應(yīng)變可用公式（*）求得。但在b點(diǎn)以后，由于出現(xiàn)縮頸，不再是均勻變形，所以上述公式不再成立。為了求得b點(diǎn)以后的真實(shí)應(yīng)變，必須記錄下每一瞬間細(xì)頸處的斷面積F，以求出其真實(shí)應(yīng)力，然后根據(jù)關(guān)系式

第46頁(yè)/共74頁(yè)

可見(jiàn)前面求得的段的應(yīng)力是斷面上應(yīng)力的平均值，它必然大于S。這一由于出現(xiàn)縮頸而產(chǎn)生的應(yīng)力升高現(xiàn)象，稱(chēng)為“形狀硬化”。在繪制這一段時(shí)，這一硬化效應(yīng)必須去除。段經(jīng)修正后成。于是即為所求的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線。但要指出，作出的段還必須加以修正，因?yàn)橛捎诔霈F(xiàn)縮頸，細(xì)頸處斷面上已不再受均布的單向拉伸應(yīng)力，而是處于不均勻的三向拉伸應(yīng)力作用下。細(xì)頸邊緣處受單向拉伸應(yīng)力，離開(kāi)邊緣的部分，則逐漸受加大的三向拉伸應(yīng)力，越近中心，拉伸應(yīng)力越大。邊緣上的拉伸應(yīng)力為S,中心則達(dá)第47頁(yè)/共74頁(yè)

和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線相比，真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線在塑性失穩(wěn)點(diǎn)b’處沒(méi)有極大值，b’點(diǎn)以后的曲線仍是上升的。這說(shuō)明材料抵抗塑性變形的能力隨應(yīng)變的增加而增加，就是不斷的產(chǎn)生硬化，所以真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線有時(shí)也稱(chēng)硬化曲線。第48頁(yè)/共74頁(yè)7.3.拉伸真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線塑性失穩(wěn)點(diǎn)的特性如某一瞬間的軸向力為P，試樣斷面積為F，真實(shí)應(yīng)力為S，則有：因?yàn)楣实?9頁(yè)/共74頁(yè)當(dāng)在塑性失穩(wěn)點(diǎn)時(shí)，P有極大值，所以dP=0即因在塑性失穩(wěn)點(diǎn)，所以上式表示在曲線失穩(wěn)點(diǎn)所做的切線的斜率為這樣，此切線和橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到失穩(wěn)點(diǎn)橫坐標(biāo)間的距離必為這就是真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線在塑性失穩(wěn)點(diǎn)上所作切線的特征。第50頁(yè)/共74頁(yè)第51頁(yè)/共74頁(yè)7.4真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的簡(jiǎn)化型式

實(shí)驗(yàn)所得的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般都不是簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系。為了實(shí)際應(yīng)用，常希望能將此曲線表達(dá)成某一函數(shù)形式。根據(jù)對(duì)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的研究，可將它歸成四種類(lèi)型，第52頁(yè)/共74頁(yè)a)對(duì)于立方晶格的退火金屬（如鐵、銅、鋁等），它的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可相當(dāng)精確的用指數(shù)方程表示。式中B---與材料有關(guān)的常數(shù)

n---硬化指數(shù)第53頁(yè)/共74頁(yè)b)對(duì)于有初始屈服應(yīng)力的冷變形金屬材料，可較好地表達(dá)為這里略去了彈性變形階段，式中B1、m需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線求出。第54頁(yè)/共74頁(yè)c)有時(shí)為了簡(jiǎn)單，可將真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線視作直線，其表達(dá)式為：這一直線是硬化曲線的簡(jiǎn)化，故稱(chēng)為硬化直線。第55頁(yè)/共74頁(yè)d)對(duì)于幾乎不產(chǎn)生硬化的材料，可認(rèn)為真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一水平線。這時(shí)的表達(dá)式為在室溫下，只有純度極高的鉛可認(rèn)為不產(chǎn)生加工硬化。高溫下的鋼，也可采用這一無(wú)硬化的假設(shè)。第56頁(yè)/共74頁(yè)第九章塑性成形問(wèn)題的主應(yīng)力解法9.1主應(yīng)力法的實(shí)質(zhì)9.2幾種金屬流動(dòng)類(lèi)型變形公式的推導(dǎo)9.3拉延凸緣變形區(qū)應(yīng)力分布第57頁(yè)/共74頁(yè)9.1主應(yīng)力法的實(shí)質(zhì)

塑性成形力學(xué)的基本任務(wù)之一就是確定各種成形工序所需的變形力，這是合理選擇加工設(shè)備、正確設(shè)計(jì)模具和制定工藝規(guī)程所不可缺少的。由于塑性成形時(shí)，變形力是通過(guò)工具表面或毛坯的彈性變形區(qū)傳遞給變形金屬的，所以為求變形力，需要確定變形體與工具的接觸表面或變形區(qū)分界面上的應(yīng)力分布。聯(lián)解平衡微分方程和塑性條件，可求得變形體內(nèi)的應(yīng)力大小及分布，進(jìn)而求得變形力。但是，這種數(shù)學(xué)解析法只在某種特殊情況下能解，而對(duì)于一般的空間問(wèn)題，數(shù)學(xué)上及其困難，甚至不可解。因此，引進(jìn)了各種簡(jiǎn)化假設(shè)，以使平衡方程和塑性條件得到簡(jiǎn)化，在此基礎(chǔ)上建立起來(lái)的計(jì)算方法，稱(chēng)為主應(yīng)力法。第58頁(yè)/共74頁(yè)這樣我們可以直接沿變形體整個(gè)高度截取基元體，并對(duì)其求靜力平衡.則得

主應(yīng)力法的實(shí)質(zhì)是平衡方程與塑性條件聯(lián)解，但為了計(jì)算簡(jiǎn)化，采用了下述基本假設(shè)：

1.把問(wèn)題簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題或軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。對(duì)于形狀復(fù)雜的變形體，則根據(jù)金屬流動(dòng)的情況，將其劃分成若干部分，每一部分分別按平面問(wèn)題或軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題處理，最后“拼合”在一起，即得到整個(gè)問(wèn)題的求解。

2.假設(shè)變形體內(nèi)的法向應(yīng)力分布與一個(gè)坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，結(jié)果使平衡微分方程縮減至一個(gè)，而且可將偏微分方程改為常微分方程。例如：對(duì)于平面應(yīng)變鐓粗，法向應(yīng)力與一個(gè)坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)的假設(shè)，就表示法向應(yīng)力沿變形體高度均勻分布，

第59頁(yè)/共74頁(yè)目前所說(shuō)的主應(yīng)力法大都就是這樣處理的，并形象化地稱(chēng)為切塊法或板塊法。第60頁(yè)/共74頁(yè)3.在對(duì)基元體或基元板塊列塑性條件時(shí)，通常假設(shè)其上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，即忽略了摩擦切應(yīng)力的影響。這樣就使塑性條件簡(jiǎn)化為線性方程。例如平面應(yīng)變問(wèn)題的塑性條件(屈服準(zhǔn)則)4.將上述的近似平衡微分方程與塑性條件聯(lián)解，以求接觸面上的應(yīng)力分布，這就是主應(yīng)力法。變成第61頁(yè)/共74頁(yè)9.2幾種金屬流動(dòng)類(lèi)型變形公式的推導(dǎo)一、平面應(yīng)變的橫向流動(dòng)（鐓粗型）變形力公式的推導(dǎo)右圖表示平行砧板間的平面應(yīng)變鐓粗，第62頁(yè)/共74頁(yè)利用邊界條件確定積分常數(shù)C:第63頁(yè)/共74頁(yè)1.軸對(duì)稱(chēng)狀態(tài)的一些知識(shí)特點(diǎn)：在塑性成形中經(jīng)常遇到旋轉(zhuǎn)體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力為對(duì)稱(chēng)于旋轉(zhuǎn)軸的分布力而且沒(méi)有周向力時(shí)，則物體內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)就處于軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)。由于變形體是旋轉(zhuǎn)體，所以采用圓柱坐標(biāo)。